?e2b??,最近邻??RRm u(r)?? 2e??,最近邻以外??r(1) 求晶体平衡时,离子间总的相互作用势能U(R0) (2) 证明: U(R0)??????Zm????1m?1
其中?是马德隆常数，Z是晶体配位数 [解答]
(1)设离子数目为2N, 以rij?ajR表示第j个离子到参考离子i的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示
?'?e2?b?????m?(?表示最近邻) U=N??????R???ajR??j???e2b??Zm?, =N??R??R?1?'??,为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子.Z 为任一离子的最近邻数目,设平衡时其中??????i?aj?R=R0由平衡条件
dUdrR0??e2Zmb?Zmb?N?2?m?1??0,得m?1=?e2
R0?R0?R0?Zmb?R?即0??e2?????1m?1.
于是,晶体平衡时离子间总的相互作用势能
?Zmbb?NZbU0=N??m?Zm???m(m?1).
R0?R0?R0(2)晶体平衡时离子间的相互作用势能可进一步化为
U0=?(m?1)NbZm?1m?1mm?1??(m?1)Nb(?e)Z1m?1m2m1m?1mm?1.
?Zmb????e2????m(mb)由上式可知 U0???Z???????1m?1.
n8.一维离子链,其上等间距载有正负2N个离子,设离子间的泡利排斥只出现在最近邻离子之间,且为b/R,b,n 是常R是两最近邻离子的间距,设离子电荷为q ,
2Nq21n2?1?(1) 试证明平衡间距下 U(R0)=??1??;
4??0R0?n?(2) 令晶体被压缩,使R0?R0(1??), 试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力作功的主项为c?2其中
9
(n?1)q21n2c=;
R0(3) 求原子链被压缩了2NR0?e(?e??1)时的外力
[解答]
(1) 因为离子间是等间距的,且都等于R,所以认定离子与第j个离子的距离rj 总可表示成为rj?ajR
aj是一整数,于是离子间总的互作用势能
?q22N?'q2b?U(R)??n???N????4??02?4??0rjrj???j?R??i'?1???a?i?2b????, ?Rn???其中+、-分别对应相异离子和相同离子的相互作用.一维离子晶格的马德隆常数(参见本章习题2)为利用平衡条件
?i'?1????a???21n2.
i??dU(R)dR?0
R0n-1q21n2R0 得到b=, 4??0n2Nq21n2?1R0n?1????. U(R)=?n?4??0?RnR??在平衡间距下
2Nq21n2?1? U(R0)??1??.
4??0R0?n?(2) 将互作用势能在平衡间距附近展成级数
1?d2U??dU??(R?R0)2?? U(R)?U(R0)???(R?R0)??2??2?dR?R?dR?R00由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作功的主项为
1?d2U?2?(R?R)W=U(R)?U(R0)??, 02?2?dR??R0其中利用平衡条件，将R=R0(1??) ，代入上式，得到
1?(n?1)q21n2? W=??(2NR0?)?. 22??4??0R0??晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项
1?(n?1)q21n2?W =??? 222NR0???4??0R0??(n?1)q21n2令c=
4??0R02(CGS)
得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为
c?. 2（3）设???e时外力为Fe,由于在弹性范围内，外力与晶格的形变成正比，所以
?(2NR0?), Fe= ?(2NR0?e),
其中?为比例系数离子链被压缩2NR0?e过程中外力作的功
F=
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W2NR0?e?ee=
?0Fdx??0[?(2NR0?e)]2NR0d?
= ?(2NR210)2?21e?22NR0?eFe. 由于 Wc?ee=
2(2NR0?e), 所以离子链被压缩了2NR0?e时的外力为
Fq21n2(n?1)?ee=c?e?R2. 09．设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对NaC1晶格常数，体积弹性模量以及结合能的影响。 [解答]
NaC1离子间的互作用势为 u?rij???q24???b0rr. ijij如果晶体共含有N个原子，令rij=ajR,R是最近邻离子间的距离，则总的互作用势能
NN??q2U=2?'u?r????B?ij???, ?4??nj20RR??式中 ???'???1??,B?j??a??'bn. j?jaj若平衡时R=R0,由平衡条件
dU(R)dR?N???q2R02?4??2?nB?n?1??0, 0R0R0?1得R4??0nB0?(n?1?q2). 利用体积弹性模量公式
2 K=
R2 0????9V0?U???R2?? R0得K=?q272??4(n?1).平衡时的结合能为 UN?q2?1?0?0R08??R?1??. 00?n?由于晶格常数 a与R0成线形关系,于是,当电荷加倍时,晶格常数,体积弹性模量以及结合能与原来值的比值为a(2q)1(q)?41?na,n?1 K(2q)(q)?4n?1K,
Un0(2q)U?4n?1.0(q)10．两原子间互作用势为 u(r)???r2??r8
A?当两原子构成一稳定分子时，核间距为3,解离能为4eV,求?和?.
[解答]当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，于是有
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du(r)2?8??3?9?0.
drr?r0r0r0?4???, (1) ?????3?而平衡时的势能为 u?r0???2?8??2. (2)
r0r04r0由此是平衡时两原子间的距离为r0??根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需用的能量，其值等于u(r0)已知解离能为4eV因此得
163?=4eV. (3) 24r0??12
再将r0=3A,1eV=1.602*10
erg代入(1)(3)两式,得
??7.69*10?27erg?cm2
?=1.40*10?72erg?cm8.
1011．NaC1晶体的体积弹性模量为2.4*10帕，在2万个大气城压作用下，原子相互作用势能增加多少？晶格常数将缩小百分之几？（1帕=10个大气压）
[解答]假定在外力作用下,晶体的形变为弹性形变，此时可将K 视为常量，由《固体物理教程》（2.6）式
?5??p??, ?V??TVKV得 P?P0???dV??K1n.
V0VV0 K=?V?式中 P0=1个大气压,P=2*10个大气压, V0为晶体在压强为P0时的体积, 由此得 V=V0eP0?PK?P?P0K???1?及 ?V=V-V0?V0e?? ??4在弹性形变情况下,体积的相对变化率
?V?V, ??1.因此,由《固体物理教程》(2.10)式 P=?KV0V0可知体积弹性械量K甚大于压强P ,于是 ?V?V0(P0?P)再根据 P?V???U,
KPV0(P0?P)
KP(P0?P)2*109(2*109?105)833Jm单位体积热能增加量为 ?u??==1.67*10. Jm10K2.4*10?V?a3设晶格常数为a, 则有V??a, ?是一常数,于是 . ?3V0a0得相互作用势能增加量为?U??P?V =?得晶格常数缩小的百分比为
?a1?V1P?P0 ??a03V03K2*109?105 = =2.8%. 103*2.4*10 12