∴∠OA'C＝135°

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°

∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°

∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似

∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2.图3） ①若△AOD∽△OA'C，则∴OD＝A'C＝4

∴D（4，0）或（0，4） ②若△DOA∽△OA'C，则∴OD＝

OA'＝8

＝1

∴D（8，0）或（0，8）

综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A.O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第

（2）题求点旋转90°后对应点的坐标，第（3）题相似三角形存在性问题中确定一角对应再分两种情况讨论，属于常考题型．

7. （2019?湖北十堰?8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；

（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得． 【解答】解：（1）如图，连接OD，AD， ∵AC是直径， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC， ∵∠CDE＝∠BAC． ∴∠CDE＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵∠ADO+∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠CDE＝90° ∴∠ODE＝90°

又∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC，

设DC＝x，则AC＝3x， ∴AD＝

＝2

x，

∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED， ∴△CDE∽△DAE， ∴∴DE＝4

＝

，即

， ＝

＝

，x＝

∴AC＝3x＝14， ∴⊙O的半径为7．

【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．

8. （2019?湖北十堰?12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

2

（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．

【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．

（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．

（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣

（n﹣2）+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再

2

根据对称性即可解决问题． 【解答】解：（1）由题意：

，

解得，

2

∴抛物线的解析式为y＝﹣∴顶点D坐标（2，3）．

（2）可能．如图1，

（x﹣2）+3，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5，

①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD， ∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．