【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．

②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．

③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k＝m+推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．

④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：①设点A（m，），M（n，）， 则直线AC的解析式为y＝﹣∴C（m+n，0），D（0，∴S△ODM＝

n×

＝

x++， ），

，S△OCA＝

（m+n）×＝

，

2

2

，

∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴O是AB的中点， ∵BM⊥AM， ∴OM＝OA， ∴k＝mn，

∴A（m，n），M（n，m）， ∴AM＝

（n﹣m），OM＝

，

∴AM不一定等于OM， ∴∠BAM不一定是60°，

∴∠MBA不一定是30°．故②错误， ∵M点的横坐标为1， ∴可以假设M（1，k）， ∵△OAM为等边三角形， ∴OA＝OM＝AM， 1+k＝m+∴m＝k， ∵OM＝AM， ∴（1﹣m）+∴k﹣4k+1＝0， ∴k＝2∵m＞1， ∴k＝2+

，故③正确， ，

2

2

2

2

，

＝1+k，

2

如图，作MK∥OD交OA于K． ∵OF∥MK， ∴∴

＝

＝，

＝，

∵OA＝OB， ∴∴

＝， ＝，

∵KM∥OD， ∴

＝

＝2，

∴DM＝2AM，故④正确． 故答案为①③④．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

3. （2019?湖南岳阳?4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线AC.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是 ①②④ ．（写出所有正确结论的序号） ①AM平分∠CAB； ②AM＝AC?AB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，则

的长为

； ．

2

④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝

【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出

的长为

，故③错误；由BD∥AC可得PB＝

，可得出CM＝DM＝DP＝

，则PB＝，故④正确．

OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2【解答】解：连接OM，

∵PE为⊙O的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确； ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴

2

，

∴AM＝AC?AB，故②正确； ∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴

的长为

，故③错误；

∵BD⊥PC，AC⊥PC， ∴BD∥AC， ∴∴PB＝

， ，