答：400名

2007年重点中学入学模拟试题及分析二十二

1.从甲地到乙地，如果车速每小时提高20千米，那么时间由4小时变为3小时。甲乙两地相距 千米。

【答案】240

【解】3个小时多行20×3＝60（千米），这60千米原来需行1小时，所以两地相距60×4＝240（千米）。 【另解】根据比例关系，原来与现在所用时间比为4︰3,则原来与现在的速度比为3︰4,所以按比例分配得，现在的速度为20÷（4-3）×4＝80（千米），所以路程为80×3＝240（千米）。

13. 某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有 ___ 人报名

参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同. 【答案】46

2C10【解】 十项比赛，每位同学可以任报两项，那么有＝45种不同的报名方法．

那么，由抽屉原理知为 45+1＝46人报名时满足题意．

14.

20. 如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是对角线，图中的阴影部分以CD为轴旋转一

周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π=3.14） 【答案】565.2立方厘米

【解】设三角形BOC以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是S，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。即： 11S=3×62×10×π-2×3×32×5×π=90π， 2S=180π=565.2（立方厘米）

【提示】S也可以看做一个高为5厘米，上、下底面半径是3、6厘米的圆台的体积减去一个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。

4．如图，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些

线段的长度的积为10500，则线段AB的长度是 。

【答案】5

【解】由A，B，C，D四个点所构成的线段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由于点B是线段AD的中点，可以设线段AB和BD的长是x，AD=2x，因此在乘积中一定有x3。 对10500做质因数分解： 10500=22×3×53×7，

所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7, 所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

5．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，??.如此下去，当只有两个水龙头时，巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少.这时间等于_________分钟. 【答案】125分钟

【解】 不难得知应先安排所需时间较短的人打水．

不妨假设为：

第一个水龙 第二个水龙头 头 第一A F 个 第二B G 个 第三C H 个 第四D I 个 第五E J 个 显然计算总时间时，A、F计算了5次，B、G计算了4次，C、H计算了3次，D、I计算了2次，E、J计算了1次．

那么A、F为1、2，B、G为3、4，C、H为5、6，D、I为7、8，E、J为9、10．

所以有最短时间为(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分钟． 评注：下面给出一排队方式： 第一个水龙 第二个水龙头 头 第一1 2 个 第二3 4 个 第三5 6 个 第四7 8 个 第五9 10 个 【提示】想象一下，如果你去理发店理发，只需要一分钟，可能这时已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小时。这时，你请她让你先理，她可能很轻松地答应你了。

可是，如果反过来，你排队在前，这位阿姨请你让她先理，你很难同意她的要求，而且大家都认为她的要求不合理，这是为什么呢？

可以看到，一个水龙头时的等待总时间算法是：

S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E 所以，要想使总时间S最小，则要A

两个水龙头可参见排队方法，但排队方法不唯一。有一个原则: （A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

6.用140个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下92个小正方体(见右图). 留下的多面体的表面积是________. 【答案】 142.

【解】大长方体的长、宽、高都大于2，否则所有的小正方体都在棱上，与题意不符. 140分解成3个大于2的自然数的乘积只有457，所以大长方体的长、宽、高分别是4，5，7，表面积是

(45+47+57)2=166.

拆下沿棱的小正方体后，对比原来的表面积，相当于每个面减少4或每个角减少3，表面积为

166-46=142 或 166-38=142.

【提示】整体思考的经典范例，一是从整体考虑前后表面积的变化关系，看变化可以简化运算。 二是，如何看变化，本题可以用“阳光照面”法。

7. 在三位数中，个位、十位、百位都是一个数的平方的共有 个。 【答案】48

【解】百位有1、4、9三种选择，十位、个位有0、1、4、9四种选择。满足题意的三位数共有 3×4×4＝48（个）。

8. 老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2的倍数。”第二个同学说：“这个数是3的倍数。”第三个同学说：“这个数是4的倍数。”??第十四个同学说：“这个数是15的倍数。”最后，老师说：“在所有14个陈述中，只有两个连续的陈述是错误的。”老师写出的最小的自然数是 。

【答案】60060

【解】2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果这个数不是2，3，4，5，6，7的倍数，那么这个数也不是4，6，8，10，12，14的倍数，错误的陈述不是连续的，与题意不符。所以这个数是2，3，4，5，6，7的倍数。由此推知，这个数也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍数。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是连续的，所以这个数不是8和9的倍数。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060。

12.小王和小李平时酷爱打牌，而且推理能力都很强。一天，他们和华教授围着桌子打牌，华教

授给他们出了道推理题。华教授从桌子上抽取了如下18张扑克牌： 红桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5 草花K，Q，9，4，6，lO 方块A，9 华教授从这18张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉小王，把这张牌的花色告诉小李。然后，华教授问小王和小李，“你们能从已知的点数或花色中推断出这张牌是什么牌吗? 小王：“我不知道这张牌。”

小李：“我知道你不知道这张牌。” 小王：“现在我知道这张牌了。” 小李：“我也知道了。”

请问：这张牌是什么牌? 【答案】方块9。

【解】小王知道这张牌的点数，小王说：“我不知道这张牌”，说明这张牌的点数只能是A，Q，4，9中的一个，因为其它的点数都只有一张牌。

如果这张牌的点数不是A，Q，4，9，那么小王就知道这张牌了，因为A，Q，4，9以外的点数全部在黑桃与草花中，如果这张牌是黑桃或草花，小王就有可能知道这张牌，所以小李说：“我知道你不知道这张牌”，说明这张牌的花色是红桃或方块。 现在的问题集中在红桃和方块的5张牌上。

因为小王知道这张牌的点数，小王说：“现在我知道这张牌了”，说明这张牌的点数不是A，否则小王还是判断不出是红桃A还是方块A。

因为小李知道这张牌的花色，小李说：“我也知道了”，说明这张牌是方块9。否则，花色是红桃的话，小李判断不出是红桃Q还是红桃4。

【提示】在逻辑推理中，要注意一个命题真时指向一个结论，而其逆命题也是明确的结论。 10.

3【答案】11

【解】将分子、分母分解因数：9633＝3×3211，35321=11×3211 【提示】用辗转相除法更妙了。

12.已知三位数的各位数字之积等于10，则这样的三位数的个数是 _____ 个. 【答案】6