行测数学心算方法

一、数量整除关系 被 2 整除特性：偶数

被 3 整除特性：一个数字的每位数字相加，如果能被 3 整除，说明这个数能被 3整除；如果不能被 3 整除，说明这个数就不被 3整除。 如：377，3+7+7=17，17不能被 3 整除，说明 377 不能被 3 整除。15282，1+5+2+8+2=18，18 能被 3 整除，说明 15282 能被 3 整除。

被 4 和 25 整除特性：只看一个数字的末 2 位能不能被 4 和 25 整除。如：275016，16 能被 4 整除，说明 275016 能被 4 整除。

被 5 整除特性：末尾是 0 或者是 5 即可被整除。

被 6 整除特性：兼被 2 和 3 整除的特性。如： 32532，能被 2 整除，3+2+5+3+2=15，15 能被 3 整除，故 32532 能被 6 整除。

被 7 整除特性：一个数字的末三位划分，大的数减去小的数除以 7，能被整除说明这个数就能被 7 除。如：1561578，末 3 位划分 1561 | 578，大的数字减小的数即 1561-578=983， 983÷7=140 余 3，说明 1561578 除 7 余 3，不能被7整除。

被 8 和 125 整除特性：看一个数字的末 3 位。如：96624，96| 624，624÷8=78，说明这个数能被 8 整除。

被 9 整除特性：即一个数字的每位数字相加能被 9 整除。如：23568，2+3+5+6+8=24，24÷9=2 余 6，说明 23568 这个数不能被 9 整除，余数是 6。

被 11 整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差能被 11 整除。如：8956257，间隔相加分别是 8+5+2+7=22，9+6+5=20。再相减 22-20=2，2÷11=0余 2，说明 8956257 这个数不能被 11 整除。

二、奇偶数运算基本法则

1、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。 2、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。 三、十字相乘法，推数比例关系：

假若个体 A、个体 B、两者平均数为 C，求 A ：B= ？ 十字相乘法： A C-B C

B A-C

推出 A ：B=（C-B） ：（A-C） 十字相乘法使用时要注意几点：

1、用来解决两者之间的比例关系问题。 2、得出的比例关系是基数的比例关系。

3、总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 四、牛吃草问题（水池放水、上电梯与排队问题均可适用） 解题方程： 草原原有产量=（牛数-每天长草量）×天数 五、时针分针与路程问题 1、相遇追及问题

相遇距离 S＝（V1＋V2）×相遇时间T 追及距离 S＝（V1－V2）×追及时间T 2、时针的问题

分针与时针重合时间：时钟共有 60 格，时针速度为每分钟 1/12 格，分针速度每分钟一格。

若已知 T 点钟（每小时为 5 格）求分针与时针重合时间 t即 t=（T×5）/（1-1/12)

分针时针角度成直线时间：分针与时针角度每小时增加 30 度，分针每分钟走 6 度，时针每分钟走 0.5 度。

若已知在 T 点的时候，求经过 N 分钟时针与分针成一条直线。即（T×30）+0.5N-6N=180，求出 N 即可 3、环形运动问题

环形周长 S＝（V1＋V2）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔T 环形周长 S＝（V1－V2）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔T 4、流水行船问题

顺流路程＝顺流速度×顺流时间＝（船速＋水速）×顺流时间 逆流路程＝逆流速度×逆流时间＝（船速－水速）×逆流时间 5、电梯运动问题（也可使用“牛吃草”解题技巧，结果一样）

能看到的电梯级数＝（人速＋电梯速度）×沿电梯运动方向运动所需时间 能看到的电梯级数＝（人速－电梯速度）×逆电梯运动方向运动所需时间 六、页码规律：

1、在页码 1-99 中，含 1～9 九个数字均会出现 20 次（0 不符合这一规律）； 含 1～9 九个数字的页数为 19 页（重复数页去掉一次，如 33）。 2、在页码 1-999 中，含 1～9 九个数字均会出现 20*9+100 次； 含 1～9 九个数字的页数为 19*9+100 页。

3、在页码 1-9999 中，含 1～9 九个数字均会出现(20*9+100)*9+1000 次； 含 1～9 的九个数字的页数为(19*9+100)*9+1000 页。

4、在页码 1-99999 中，含 1～9 九个数字均会出现[(20*9+100)*9+1000]*9+10000 次； 含 1～9 九个数字的页数为[(19*9+100)*9+1000]*9+10000=40951 页。

5、假设总页数为 A 页，因每个页码都有个位数，则有 A 个个位数，每个页码除了 1～9，其他都有十位数，则有 A-9 个十位数，同理：有 A-99 个百位数，有 A-999 个千位数，有 A-9999个万位数，依次类推。

6、关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的 1/10 乘以（数字位数-1），再加上 10 的（数字位数不清）次方。如总页数为 3 位数 300，其中含“1”的页数。即 300*1/10*(3-1)+10^(3-1)=30*2+100=160 页

这个公式有一定局限性，仅适用于总页数为三位数或四位数 。 七、排列组合

1、特殊元素（位置）用优先法

把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 2、相邻问题用捆绑法

对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 3、相离问题用插空法

元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例：7 人排成一排，甲、乙、丙 3 人互不相邻有多少种排法？

解：先将其余 4 人排成一排，有 4*3*2*1 种，再往 4 人之间及两端的 5 个空位中让甲、乙、丙插入，有 5*4*3 种，所以排法共有：1440（种） 4、分排问题用直排法

对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例：有 10 个三好学生名额，分配到 6 个班，每班至少 1 个名额，共有多少种不同的分配方案？

解：6 个班，可用 5 个隔板，将 10 个名额并排成一排，名额之间有 9 个空，将 5 个隔板插入9 个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C(5,9) 5、处理排列、组合综合问题一般是先选元素，后排列的策略。 6、隔板模型法

常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 八、水电相关运算—拆分（秒杀方法） 直接将题目中结果的那个数进行拆分，可以直接得出结果。拆分需要根据其它相关数字进行拆分，比如总电费价格 8，标准用电 2 元/度，超出部分 3 元/度，那拆分肯定需要考虑 2 和 3 的倍数问题。拆分如下 8=2+3*2，说明超出用电是 2 度。

刻度尺的妙用(用来看直方图)

手表的妙用(判断时针与分针的角度)

两个集合的容拆关系公式：A + B = A∪B + A∩B

三个集合的容拆关系公式：A + B + C = A∪B∪C + A∩B + B∩C + C∩A - A∩B∩C 九、数列基本规律

1、求差：-1，2，11，38，（119=38+81） 2、求和：0，2，1，4，3，8，（5=13-8）

3、求积/求商：2，2，4，12，48，(240=48*5) 十、数字推理部份：

1、基本思路：第一反应是两项相减，相除，平方，立方。数字推理最基本的形式是等差，等比，立方，质数列，合数列。

2、特列观察：项很多，分组。三个一组，两个一组。 如: 4，3，1，12，9，3，17，5，（12）三个一组 2，-1，4，0，5，4，7，9，11，（14）两项和为平方数列 3、数字从小到大到小，与指数有关； 1，32，81，64，25，6，1，1/8

4、每个数都两个数以上，考虑拆分相加（相乘）法。 87，57，36，19，（11=1*9+1）

5、数跳得大，与次方（不是特别大），乘法（跳得很大）有关 1，2，6，42，（42^2+42) 3，7，16，107，（16*107-5）

6、C=A^2-B 及变形（看到前面都是正数，突然一个负数，可以试试） 如 3，5，4，21，（4^2-21），446 C=A^2+B 及变形（数字变化较大）

如 1，6，7，43，（7^2+43） ；

1，2，5，27，（5+27^2）

7、分数，通分，使分子/分母相同，或者分子分母之间有联系。也有考虑到等比的可能。 例如：2/3，1/3，2/9，1/6，（2/15）； 3/1，5/2，7/2，12/5，（18/7）分子分母相减为质数列 十一、几种重要的数量关系模型： 1、等差数列：

A、简单的等差数列 2，4，6，8，10

B、二级（三级）等差数列 1，2，4，7，11 2、等比数列：

A、2，4，8，16，32，64 B、1，3，9，27，81，243 3、高次方数列：

自然数数列 1，2，3，4，5，6 对应的 6，5，4，3，2，1 次方分别是 1，32，81，64，25，6。

又如 27，16，5，（1），1/7，经分析为 3，4，5，6，7 对应的 3，2，1，0，-1 次方。 4、合数（质数）数列：

合数列 4，6，8，9，10，12，14，15，16 质数列 2，3，5，7，11，13，17，19，23 5、交错数列，分组数列，分段数列

交错数列，交错数列的特点是至少 7 个数字。例:3,15,7,12,11,9,15,(6) 分段数列，1，4，8，13，16，20，（20+5） 分组数列，1，1，8，16，7，21，4，16，2，（2*5） 6、分数数列：2/3，1/2，2/5，1/3，2/7，（2/8）

7、相连数字项之间存在函数关系的数列（都是简单的函数关系，比如倍数关系，平方关系，立方关系）数列相连两项，三项或四项之间存在函数关系。 例：25，15，10，5，5，（0=5-5）

8、其他特殊关系：6，7，3，0，3，3，6，9，5，（4） 十二、概率问题

1、抽签原理（摸奖原理）

M张彩票中有N个奖, X个人去摸奖(不放回), 甲先, 乙其次, 丙再次??X最后，不管甲、乙、丙??X摸奖的先后顺序，摸到奖的概率都是M/N。

例：一个箱子里面装有10个大小相同的球，其中4个红球，6个白球。无放回的每次抽取一个，则第二次取到红球的概率是2/5。