个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型. 【例3】求证：
1?cos??sin?1?sin??.
1?cos??sin?cos?思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明. 证法1：左边=
1?cos??sin?
1?cos??sin?cos??cos2??sin?cos?=
cos?(1?cos??sin?)cos?(1?sin?)?1?sin2?=
cos?(1?cos??sin?)=
(1?sin?)(cos??1?sin?)1?sin??=右边.
cos?(1?cos??sin?)cos?∴原式成立.
思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角θ的函数，因此可用三角函数定义证明. 证法2：设P（x,y）是象限角θ终边上一点，|OP|=r＞0,则由三角函数的定义知：
yx222
,cosθ=,且x+y=r. rrxy1??rr 所以，左式=
xy1??rrsinθ=
x?r?yx(x?r?y)x2?x(y?r)r2?y2?x(r?y)= ???x?r?yx(x?r?y)x(x?r?y)x(x?r?y)?(r?y)(r?y?x)r?y?
x(x?r?y)x1?=
yr?1?sin?=右式. xcos?r故原式成立.
思路分析3：考虑到A=B?A-B=0,故此题可采用比较法. 证法3：因为
1?cos??sin?1?sin?-=
1?cos??sin?cos?cos?(1?cos??sin?)?(1?sin?)(1?cos??sin?)
cos?(1?cos??sin?)sin2??cos2??1=?0, cos?(1?cos??sin?)
15
所以
1?cos??sin?1?sin??.
1?cos??sin?cos?3.关于“1”的变换
2
【例4】 已知tanα=2,求sinα-3sinαcosα+1的值. 思路分析：主要应用“1”的变换.
2
解：sinα-3sinαcosα+1
222
=sinα-3sinαcosα+(sinα+cosα)
22
=2sinα-3sinαcosα+cos α
2sin2??3sin?cos??cos2?2tan2??3tan??1??
sin2??cos2?tan2??12?22?3?2?13?. =252?1温馨提示
22
已知tanα的值，求形如asinα+bsinαcosα+ccosα的值，可将分母1化为
22
1=sinα+cosα代入，从而转化为关于tanα的表达式后再求值. 各个击破 类题演练1
tan?=-1,求值.
tan??1sin??3cos?.
sin??cos?1解析：由已知，tan α=,所以，
21?3sin??3cos?tan??325????
sin??cos?tan??113?12已知
变式提升1
已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα,cosα.
22
解：∵sin α+cos α=1,
22
∴sinα=1-cosα. 又∵
sin?=tanα, cos?2
sin2?1?cos2?1???1. ∴tanα=
cos2?cos2?cos2?于是
1122
=1+tanα cosα=.
cos2?1?tan2?由于tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，
16
1?,当?为第一,四象限角,?2?1?tan?从而cosα=?
1??,当?为第二,三象限角.2??1?tan?sinα=cosαtanα
?tan2?,当?为第一,四象限角,?2?1?tan?=?
2??tan?,当?为第二,三象限角.?1?tan2??类题演练2 已知sinθ+cosθ=
1,θ∈(0,π)，求 tanθ的值. 5解：将已知等式平方，得 2sinθ2cosθ=?∵sinθ+cosθ=
24. 251＞0,∴sinθ＞0,cosθ＜0 52
∴cosθ＜0＜sinθ,∴sinθ-cosθ＞0. 而（sinθ-cosθ）=1-2sinθcosθ=和已知等式联立，便可解得 sinθ=
497,于是sinθ-cosθ=. 255433,cosθ=?,tanθ=?. 554变式提升2 已知f(x)=
?1?x,若α∈(,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________.
21?x1?cos?1?cos?(1?cos?)2(1?cos?)2解：f(cosα)+f(-cosα)= ???221?cos?1?cos?1?cos?1?cos?=
1?cos?1?cos?22???.
|sin?||sin?||sin?||sin?|2 sin?tan??sin?tan??sin??;
tan??sin?tan??sin?答案：
类题演练3 求证：（1）
(2)
2sinxcosx1?cosx?.
(sinx?cosx?1)(sinx?cosx?1)sinx思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.
17
证明：（1）左边=
sin??sin2?cos?sin2?1?cos2?1?cos? ???sin??sin?cos?sin?(1?cos?)sin?cos??sin=
1sin??cos?sin??1sin??1tan??tan??sin?tan??sin?=右边. 所以,原命题成立. （2）左边=
2sinxcosx[sinx?(cosx?1)][sinx?(cosx?1)]
=
2sinxcosxsin2x?(cosx?1)2 =2sinxcosxsin2x?cos2x?2cosx?1
=2sinxcosxsin2cosx?2cos2x?1?cosx =
sinx(1?cosx)(1?cosx)(1?cosx)
=
sinx(1?cosx)1?sin2x?cosxsinx 所以，原命题成立.
变式提升3
已知tan2α=2tan2β+1,求证：sin2β=2sin2
α-1.
证明：因为tan2α=2tan2
β+1,
所以sin2?cos2??2sin2?cos2??1 2sin2=??cos2?1?sin2?cos2??cos2?, sin2?1?sin2所以?1?sin2??1?sin2?. 所以sin2
α(1-sin2
β)=(1-sin2
α)(1+sin2
β).
所以sin2β=2sin2
α-1. 类题演练4
1?2sin?cos?的值为（ ）
A.sinα+cosα B.sinα-cosα D.|sinα+cosα|
解析：∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2
α
18
C.cosα-sinα