2017-2018学年高中数学必修4全册导学案苏教版99P 下载本文

?4?2?3?+cos)+(cos+cos)

5555??2?2?=[cos+cos(π-)]+[cos+cos(π-)]

5555??2?2?=(cos-cos)+(cos-cos)=0.

5555解:(1)原式=(cos

(2)原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin1 866°-sin(-606°) =tan10°+

sin(180??10?)+sin(53360°+66°)-sin[(-2)3360°+114°]

cos(180??10?)=tan10°-tan 10°+sin66°-sin66°=0. 类题演练2 化简:

sin[??(2n?1)?]?sin[??(2n?1)?](n∈Z).

sin(??2n?)?cos(??2n?)sin(???)?sin(???)?2sin?2???.

sin??cos?sin??cos?cos?思路分析:考查诱导公式的应用,关键在于去掉“n”. 解:原式=

变式提升2

sin2??2sin?cos??cos2?(1)已知tan(π-α)=2,求的值. 224cos??3sin??1思路分析:首先求出tanα,其次将所求式子“弦化切”化简. 解:由tan(π-α)=2得tanα=-2.

sin2??2sin?cos??cos2?tan2??2tan??1?则原式= 2225cos??2sin?5?2tan?=?7. 3?3?-2α)=m,求cos(2α+)的值.

44?3?思路分析:根据(-2α)与(2α+)是互补的角,适当选择诱导公式计算.

44?3?解:∵(-2α)+(2α+)=π,

443??∴cos(2α+)=cos[π-(-2α)]

44?=-cos(-2α)=-m.

4(2)已知:cos(

类题演练3

求证sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 证明:设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1(x,y),由于角(π-α)的终边与角α的终边关于y轴对称,角(π-α)的终边与角α的终边关于x轴对称,角(π-α)的终边与单位圆的交点P2与点P1关于y轴对称,因此点P2的坐标是(-x,y),由三角函数的定

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义得:

sinα=y,cosα=x,tanα=

y; xy; xsin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-α)=-

从而得sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα. 变式提升3 求证:sin(

??-α)=cosα,cos(-α)=sinα. 22?-α的终边与角α2证明:设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y).由于角的终边关于直线y=x对称,角

?-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,2因此点P2的坐标是(y,x).于是我们有: cosα=x,sinα=y;

??-α)=y,sin(-α)=x. 22??从而得sin(-α)=cosα,cos(-α)=sinα.

22cos(

类题演练4

在△ABC中,①sin(A+B+C);②sin(A+B)+sinC;③cos(A+B)+cosC;④tan

A?BC2tan;⑤tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有_______________. 22解析:①sin(A+B+C)=sinπ=0.

②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.

③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0. ④tan

A?BCCCCC2tan=tan(90°-)tan=cot2tan=1. 222222⑤tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.

故应填①③④. 答案:①③④ 变式提升4

若f(sinx)=cos17x,求f(

1)的值. 2思路分析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算,在运算的过程中,要理解函数表达式的意义,灵活运用诱导公式. 解:f(

1?17?5?5???3)=f(sin)=cos=cos(2π+)=cos=cos(π?)=-cos=?.

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1.3.1 三角函数的周期性

课堂导学

三点剖析

1.周期函数与周期的意义

【例1】 求下列三角函数的周期. (1)y=sin(x+

?x?);(2)y=3sin(+). 325?,而sin(2π+z)=sinz, 3思路分析:运用周期函数的定义即可. 解:(1)令z=x+

即f(2π+z)=f(z), f[(2π+x)+

??]=f(x+). 33∴周期T=2π. (2)令z=

x?+, 25则f(x)=3sinz =3sin(z+2π)

x?++2π) 25x?4???) =3sin(

25=3sin(

=f(x+4π).

∴T=4π. 温馨提示

理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=

2?求周期. ?2.判断函数是否具有周期性和求周期 【例2】 求证:(1)y=cos2x+sin2x的周期为π; (2)y=|sinx|+|cosx|的周期为

?. 2思路分析:观察特征,运用定义. 证明:(1)f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x的周期是π.

???)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), 222?∴y=|sinx|+|cosx|的周期是.

2(2)f(x+

温馨提示

“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.

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3.判断函数是否具有周期性

【例3】证明y=sin|x|不是周期函数. 思路分析:运用定义进行证明.

证明:假设y=sin|x|是周期函数,且周期为T,则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).

?时, 2??令x=,得sin|+T|

22???=sin||?sin(+T)=sin?cosT=1;

222???令x=-,得sin|-+T|=sin|-|

222???sin(-+T)=sin

22?-cosT=1?cosT=-1.

?由此得1=-1,这一矛盾说明T≥不可能.

2?(2)当T≤-时,

2令x=x′-T得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|?sin|x′-T|=sin|x′|,即-T是函数的周期.但

?-T≥,由(1)知这是不可能的.

2??(3)当-<T<时,

22令x=0得,sin|T|=sin|0|?sinT=0?T=0(周期不为零).

(1)当T≥

由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数. 温馨提示

进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立. 各个击破 类题演练1

求下列函数的最小正周期. (1)f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(

1?x?). 24解:(1)f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.

(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π), 函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(

1?1?1??x?)=2sin(x?+2π)=2sin[(x+)+]=f(x+4π),函数的2424244最小正周期为4π.

变式提升1

定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈

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