得到。约束是用于限定设计响应值，比如体积减少50%；同时约束也可以是到独立于优化之外的制造和几何限制，比如约束优化后的结构能够用于铸造或冲压成形。
停止条件（Stop conditions）:当满足某一停止条件时，优化迭代即终止。
全局停止条件是最大优化迭代（设计循环）次数；局部停止条件是优化结果达到某一最大/最小定义值。
12.2 优化设计SOP
12.2.1 优化设计SOP
先试算Abaqus初始结构模型，以确认边界条件、结果是否合适，然后结合图12-3的Abaqus/CAE优化模块，设置优化设计： ? 创建优化任务。 ? 创建设计响应。
? 应用设计响应创建目标函数。 ? 应用设计响应创建约束（可选）。 ? 创建几何限制（可选）。
? 创建停止条件。
以上设置完成，进入Job模块创建优化进程，并提交分析。
图 12-3
Abaqus/CAE优化模块
提交分析后，优化程序基于定义的优化任务及优化进程，开始优化迭代： ? 准备设计变量（单元密度或者表面节点位置）， ? 更新有限元模型。
? 执行Abaqus/Standard分析。
『6』
第12章优化设计和敏感性分析
在优化迭代（设计循环）满足以下条件即终止： ? 达到设定的最大迭代数 ? 达到设定的停止条件。
以上操作步骤可概括为图12-4所示的优化设计SOP（Standard Operating Procedure）。
建立有限元模型创建优化任务创建设计响应创建目标函数设置优化创建优化进程创建几何限制创建约束提交优化进程准备设计变量并更新有限元模型用户自定义操作设计循环迭代Abaqus 求解模型监控求解进度执行优化自动优化执行否满足终止条件？是终止优化进程监控优化进度查看优化结果 图 12-4 优化设计SOP
在图12-4SOP基础上，还需对关键步（设计响应、目标函数和约束）的设置详加说明。
12.2.2 设计响应设置
设计响应是从特定的结构分析结果中读取的唯一标量值，随后能够被目标函数和约束引用。要实现设计变量唯一标量值，必须在优化模块中特别运算，比如对体积的运算只能是“总和”，对区域应力的运算只能是“最大值”，由此可知Abaqus优化模块提供了以下两种设计响应操作：
最大值或最小值：寻找出选定区域内的节点响应值的最大/最小值，但对应力、接触应力和应变只能是“最大值”。
总和：对选定区域内节点的响应值作“总和”。Abaqus优化模块仅允许对体积、质量、惯性矩和重力作“总和”运算。
此外，可以定义基于另一个设计响应的响应，也可以定义由几个响应经数学运算而成
的组合响应。比如，已分别对两个节点定义了两个位移响应，可再定义两个位移响应的差值作组合响应。
下面详细介绍在不同优化情况下，可用或推荐使用的设计响应。 1、基于条件拓扑优化的设计响应
针对基于条件的拓扑优化算法，只能使用应变能和体积作为设计响应。
1）应变能（Strain energy）：即每个单元应变能的总和，可以定义为结构柔度，其是结构整体柔韧性或刚度的一种度量。众所周知，柔度是刚度的倒数，最小化柔度意味着最大化全局刚度。
针对线性模型的结构柔度，可以用式（12-1）计算。
Strain energy??utku（12-1）
其中，u是位移矢量；k是全局刚度矩。
如果加载条件是集中力或压力，是通过最小化应变能优化出最大的全局刚度；恰恰相反，如果加载的是热场，则通过最大化应变能优化出最大的全局刚度，因为优化修改模型会使结构变软导致应变能下降。此外，如果模型中有特定位移加载，应选择使用最大化应变能。
注意：因为拓扑优化是对全部单元考虑总应变能，所以，应变能只能作目标函数，而不能作约束。 Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Condition-based topology task, Design Response?Create: Single-term, Variable: Strain energy。
2）体积（Volume）:即设计区域的单元体积之和，可以用式（12-2）计算。
Volume??Ve（12-2）
其中，Ve是单元体积。
注意：针对绝大多数优化问题，必须定义体积约束。在对最小化应变能（最大化刚度）的优化中，如果没有定义体积约束，Abaqus优化模块仅会用材料填充整个设计区域。 Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Condition-based topology task, Design Response?Create: Single-term, Variable:Volume。
2、通用拓扑优化的设计响应
针对通用拓扑优化算法，可以使用重心、位移和旋转、特征频率、惯性矩、内力和内转矩、反作用力和反作用转矩、应变能、体积和重量作为设计响应。
1）重心（Center of gravity）：三个方向的重心可以用式（12-3）计算。
『8』
第12章优化设计和敏感性分析
xg?xdV?? ; y??dVg?ydV?? ; z??dVg?zdV?（12-3） ???dV其中，单元密度ρ使用的是优化并修改的模型现有相对密度；坐标轴可以是全局坐标系统，也可以用户自定义的局部坐标系统。 注意：优化模块重心计算时，仅统计模块支持的单元类型，如果模型中含有其不支持的单元类型（比如线单元），结果会和Abaqus/Standard或Abaqus/Explicit计算结果有所差别。 Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Generaltopology task, Design Response?Create: Single-term, Variable:Center of gravity。
2）位移和旋转（Displacement and Rotation）：大部分优化问题，都可使用位移和/或旋转响应定义目标函数或约束。节点位移和旋转变量含义可从表12-1中查知。
表 12-1
i-方向上 位移 位移和旋转变量
旋转 ui 2ui2?u2j?uk ?i ?i2??j2??k2 绝对值 i-方向绝对值 ui2 ?i2 仅响应顶点或较小区域的位移或旋转，能够提升优化速度，此外，如果响应的顶点或区域是在冻结区域内，优化速度会提升更多。
Abaqus/CAE操作:切换到优化模块，Task?Generaltopology task, Design Response?Create: Single-term, Variable:Displacement。
3）模态特征频率（Modal Eigenfrequency）：模态特征频率值是结构分析中最简单的动态响应。
Abaqus优化模块支持两种评估特征频率方法： ? 从模态分析中获得单一特征频率 ? Kreisselmaier-Steinhauser公式计算
两种方法中Kreisselmaier-Steinhauser方法更加有效率，而单一特征频率方法有其唯一的优势——应用各阶特征频率之和作约束。
在最大化最低特征频率时，不仅仅要考虑第一阶的特征频率，还要考虑接下来的几阶，因为在优化中，随着结构的变化，模态振型可能会发生转换。