高三自评试题 数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M??m,?3?,N?x2x?7x?3?0,x?Z,如果M?N??,则m等于

2??A．?1

B．?2

C．?2或?1

D．?3 22．设复数z?1?A．2i

22(其中i为虚数单位)，则z?3z的虚部为 iB．0 C．?10

D．2

3．“a?4”是“对任意的实数x,2x?1?2x?3?a成立”的 A．充分必要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件

?log2x,x?04．已知函数f(x)???x，则f(f(1))?flog31的值是

2?9?1,x?0??A．7 B． 2 C．5

D．3

5．设m,n是两条不同的直线, ?,?,?是三个不同的平面．有下列四个命题：

①若?//?，m??，n??，则m//n； ②若m??，m//?，则???；

开始 ③ 若n??，n??，m??，则m??； ④ 若???，???，m??，则m??． 其中错误命题的序号是 ．．

A．①③ B．①④ C．②③④ D．②③ 6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31， 则图中判断框内①处应填

A．3 B．4 C．5 D．6

2a?1,b?1 a?①？ 是 否 b?2b?1 输出b a?a?1 结束 7．函数y?9??x?5?的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列的公比的数是

A．

3 4B．2 C．3 D．5

8．以下正确命题的个数为

①命题“存在x?R，x?x?2?0”的否定是：“不存在x?R，x?x?2?0”；

22②函数f(x)?x?()的零点在区间(,)内；

③已知随机变量?服从正态分布N(1,?)，P(??4)?0.79，则P(???2)?0.21；

21312x1132④函数f(x)?e?x?ex的图象的切线的斜率的最大值是?2；

??a?恒过样本中心x,y，且至少过一个样本点. y?bx⑤线性回归直线?A．1

B．2 C．3

D．4

??2a6229．设a??(1?3x)dx?4，则二项式(x?)展开式中不含x3项的系数和是 ．．0xA．?160 B．160 C．161 D．?161 10．已知函数f(x)?cosx?中真命题的序号是

①f(x)的最大值为f(x0) ② f(x)的最小值为f(x0) ③f(x)在[?1?π1?πx,x?[?,]，sinx0?，x0?[?,]，那么下面命题222222?π,x0]上是增函数 ④ f(x)在[x0,]上是增函数 22D．②④

A．①③ B．①④ C．②③

11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 A.外接球的半径为3 B.体积为3 33C.表面积为6?3?1 D.外接球的表面积为

216? 311正视图

1侧视图

12．已知直线y?k?x?1?与抛物线C:y?4x相交于A、

俯视图

B两点，F为抛物线C的焦点，若FA?2FB,则k=

A．?22212 B．? C．? D． 3333第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．若tan??2,则sin?cos?? .

????????14．已知直线y?x?a与圆x?y?4交于A、B两点，且OA?OB?0，其中O为坐标原

22点，则正实数a的值为 .

?3x?y?6?0?2215．设x、y满足约束条件?x?y?2?0，则目标函数z?x?y的最大值为 .

?x?0,y?0?16．已知函数f?x?的定义域为??1,5?，部分对应值如下表，f?x?的导函数y?f??x?的图象如图所示. 下列关于f?x?的命题： ①函数f?x?的极大值点为0，4； ②函数f?x?在?0,2?上是减函数；

③如果当x???1,t?时，f?x?的最大值是2，那么t的最大值为4；

④当1?a?2时，函数y?f?x??a有4个零点； ⑤函数y?f?x??a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）已知向量m?(sinx,3sinx),n?(sinx,?cosx)，设函数

x f?x? －1 1 0 2 4 2 5 1 f(x)?m?n,若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于坐标原点对称.

（Ⅰ）求函数g(x)在区间??????,?上的最大值,并求出此时x的值； 46??（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，A为锐角,若f(A)?g(A)?3，2b?c?7，?ABC的面积为23，求边a的长．

18．（本小题满分12分）

如图，在多面体ABC?A1B1C1中，四边形ABB1A1是正

A1C1B1?A1B?BC，B1C1//BC，方形，AC?AB?1，AC11BC. 2（Ⅰ）求证：AB1//面AC11C； B1C1?（Ⅱ）求二面角C?AC11?B的余弦值的大小.

ABC19．（本小题满分12分）甲居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如，A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

11，路段CD发生堵车事件的概率为，且甲1015E120320110F11216115B在每个路段只能按箭头指的方向前进）．

1(Ⅰ）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事

5件的概率最小；

（Ⅱ）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量?，求?的分布列及E?．

ACD

20．（本小题满分12分）已知集合A?xx??2n?1,n?N?,B??xx??6n?3,n?N??，设Sn是等差数列?an?的前n项和,若?an?的任一项an?A?B,且首项a1是A?B中的最大数,

???750?S10??300.

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式; （Ⅱ）若数列?bn?满足bn?(与

21．（本小题满分12分）已知函数f?x??ln?2?3x??（Ⅰ）求函数y?f?x?的极大值； （Ⅱ）令g?x??f?x??2an?13n?9，令Tn?24(b2?b4?b6???b2n)，试比较Tn )248n的大小. 2n?132x. 232，试判断函数g?x?的单调性； x??m?1?x（m为实常数）

2f??x??3x??0均成立，求实数a的取值（Ⅲ）若对任意x??,?，不等式a?lnx?ln???63范围.

22．（本小题满圆C1、抛物线C2上，C1的中心和坐标原点O，从

两个点，将其坐标记录于表中： （Ⅰ）求C1、C2的标准方程；

（Ⅱ）请问是否存在直线l同时满足条件：(ⅰ)过C2的焦点F；(ⅱ)与C1交于不同两点Q、R，

分14分）已知椭

?11???x y 3 ?23 ?2 0 4 ?4 2 2 2的焦点均在x轴

C2的顶点均为

每条曲线上各取

????????且满足OQ?OR？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）已知椭圆C1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN分别另交椭圆于M、

N两点．当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证

明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C D B A B B D C C A D A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.

2 14. 2 15. 52 16．①②⑤ 5三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意得：f(x)?sinx?3sinxcosx?21?cos2x3?sin2x 221??sin(2x?) ………………………………………………………2分 261?所以g(x)???sin(2x?) ………………………………………………3分

26?因为x?????2???????,?，所以2x????,?

6?36??46?所以当2x??6???2即x???6时，函数g(x)在区间??1????,?上的最大值为.

2?46? ……………………………………………6分 （Ⅱ）由f(A)?g(A)?化简得：cos2A??又因为0?A?3??3得：1?sin(2A?)?sin(2A?)? 26621 2?2，解得：A??3 …………………………………………9分

由题意知：S?ABC?21bcsinA?23，解得bc?8， 2222又b?c?7,所以a?b?c?2bccosA?(b?c)?2bc(1?cosA)

1?49?2?8?(1?)?25

2故所求边a的长为5. …………………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取BC的中点E，连结AE，C1E，B1E

?B1C1//BC，B1C1?1BC，?B1C1//EC,B1C1?EC， 2?四边形CEB1C1为平行四边形， 从而B1E//C1C， ?C1C?面AC11C，B1E?面AC11C

?B1E//面AC11C ………………………………………………………………2分 ?B1C1//BC，B1C1?1BC，?B1C1//BE,B1C1?BE 2?四边形BB1C1E为平行四边形 ?B1B//C1E，且B1B?C1E

又?ABB1A1是正方形，?A1A//C1E，且A1A?C1E 故AEC1A1为平行四边形，?AE//AC11

?AC11?面AC11C，AE?面AC11C

?AE//面AC11C ………………………………………………………………4分 ?AE?B1E?E，?面B1AE//面AC11C

?AB1?面B1AE，?AB1//面AC11C ………………………………………6分

（Ⅱ）?四边形ABB1A1为正方形, ?A1A?AB?AC?1, A1A?AB

?2 ?A1B ?AC?A1B?2，?AC11?A1zB11 由勾股定理可得：?A1AC?90，?A1A?AC ， C

?AB?AC?A，?A1A?面ABC ，

?A1B?BC，?BC?2 ?AC1由勾股定理可得：?BAC?90，

?AEByCx?AB?AC …………………………………8分

故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，则C(1,0,0),A1(0,0,1),C1(,,1)，

1122??????????????????1111B(0,1,0)，所以CA1?(?1,0,1)，CC1?(?,,1)，BA1?(0,?1,1)，BC1?(,?,1).

2222???????????????n?(x,y,z)n?CA?0,n?CC设面AC，由1111?0 11C的法向量为1??x?z?0???，令z?1，则n1?(1,?1,1) ??11?x?y?z?0??22??????????????????设面AC1?0,n2?BC1?0 11B的法向量为n2?(m,n,k)，则n2?BA??n?k?0????则?1，令k?1，则n2?(?1,1,1) …………………………10分 1m?n?k?0??22??????????n1?n2?1?1?11所以cosn1,n2????? ????33?3n1n2?????设二面角C?AC11?B的平面角为?，n1,n2??

所以cos??cos??????19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记路段AC发生堵车事件为AC，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线

1 ……………………………………………………12分 3A→C→D→B中遇到堵车的概率为

P1?1?PAC?CD?DB?1?PACPCDPDB

?????????1???1?P?AC?????1?P?CD?????1?P?DB???

91453??? ……………………………………………………………………2分 1015610239同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率为P2?1－P(AC·CF·FB）=（小

8003于） ………………………………………………………………………4分 10913路线A→E→F→B中遇到堵车的概率为P3?1?PAE?EF?FB?（大于）

30010?1???显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小 …………6分 （Ⅱ）路线A→C→F→B中遇到堵车次数?可取值为0，1，2，3．

P???0??PAC?CF?FB?561， ??800P???1??P?AC?CF?FB??P?AC?CF?FB??P?AC?CF?FB?

?1171193119171637?????????， 1020121020121020122400P???2??PAC?CF?FB?PAC?CF?FB?PAC?CF?FB

???????1311117193177， ?????????10201210201210201224001311. P???3??P?AC?CF?FB?????102012800所以?的分布列为

? P 0 561 8001 637 24002 77 24003 1 800

…………………………………………………………9分 ∴E?=0?5616377711?1??2??3?? ………………12分 80024002400800320．（本小题满分12分）

解: （Ⅰ）根据题设可得: 集合A中所有的元素可以组成以?3为首项,?2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列. 由此可得,对任意的n?N,有A?B?B

?A?B中的最大数为?3,即a1??3 …………………………………………2分

设等差数列?an?的公差为d,则an??3?(n?1)d,S10?10(a1?a10)?45d?30

2因为?750?S10??300, ??750?45d?30??300,即?16?d??6 由于B中所有的元素可以组成以?3为首项,?6为公差的递减等差数列

所以d??6m(m?Z,m?0),由?16??6m??6?m?2，所以d??12…………5分 所以数列?an?的通项公式为an?9?12n（n?N） ………………………6分

?（Ⅱ）bn?(2an?13n?92)?()n 2211[1?()n]2?24(1?1) ………………………7分 Tn?24(b2?b4?b6???b2n)?24?2n121?248n2448n24(2n?2n?1) Tn??24?n??2n?122n?12n(2n?1)于是确定Tn与

48n的大小关系等价于比较2n与2n?1的大小 2n?13由2?2?1?1，22?2?2?1，2?2?3?1，24?2?4?1，???

可猜想当n?3时，2?2n?1 …………………………………………………………9分

n证明如下：

证法1：（1）当n?3时，由上验算可知成立. （2）假设n?k时，2?2k?1，

k则2k?1?2?2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1

所以当n?k?1时猜想也成立

根据（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1

n?当n?1,2时，Tn?证法2：当n?3时

48n48n，当n?3时Tn? ………………………………12分 2n?12n?101n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?????Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1

?当n?1,2时，Tn?48n48n，当n?3时Tn? ………………………………12分 2n?12n?121．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）?f?x??ln?2?3x??32?2?x, ?y?f?x?的定义域为??,???; 2?3?1??9?x?1??x??13??由于f??x???，由f??x??0?x?,

3x?23当x????21??1?,?时，f??x??0；当x??,???时，f??x??0. ?33??3??21??1??y?f?x?在??,?上为增函数；在?,???上为减函数，

?33??3?从而f?x?极大?f???ln3??1??3?1. ………………………………………3分 6（Ⅱ）?g?x??ln?2?3x???m?1?x，?x????2?? 3??g??x??3?m?1?x?2m?13，………………………………………4分 ?m?1?2?3x2?3x① 当m?1?0,即m?1时，g??x??3?0，

2?3x?2??g?x?在??,???上为增函数；…………………………………………………………5分

?3??2m?1?3?m?1??x??3m?1??3?m?1?x?2m?1??.

?②当m?1?0，即m?1时，g??x??2?3x2?3x由g??x??0?x??2m?1,

3?m?1??2m?1??2?1?????, ????3?m?1????m?1???3??（ⅰ）若m?1，则?2m?122??，? x??时，g??x??0，

3?m?1?33?2??g?x?在??,???上为增函数；…………………………………………………………7分

?3?(ⅱ)若m?1，则?2m?12??，

3?m?1?3?2?2m?1?2m?1???x???,?x??,??gx?0时，；?????33?m?1????3?m?1??时，g?x??0，

?????2?2m?1?2m?1??g?x?在???3,?3?m?1??上为增函数,在??3?m?1?,????上为减函数.

????综上可知：当m?1时，g?x?在???2?,???上为增函数； ?3?当m?1时，g?x?在???2?2m?1?2m?1?,??,??上为增函数，在上为减函数. ???33?m?1????3?m?1????…………………………9分

（Ⅲ）由a?lnx?ln??f??x??3x???0?a?lnx?ln3?0,

2?3x36?11??x??,?,?0?ln?ln,而a?lnx?0，

2?3x5?63??11??要对任意x??,?，不等式a?lnx?ln??f??x??3x???0均成立，必须：

63??ln3与a?lnx不同时为0. ………………………………………………………11分 2?3x113时，ln=0，所以为满足题意必有a?ln?0，

332?3x因当且仅当x?即a?ln. …………………………………………………………………12分 22．（本小题满分14分）

13y2解：（Ⅰ）设抛物线C2:y?2mx?m?0?，则有?2m?x?0?，据此验证4个点知

x2?3,?23?、?4,?4?在抛物线上，易求C2:y2?4x …………………2分

x2y22 设C1：2?2?1?a?b?0?，把点（?2，0）（2，）代入得：

2ab?4?1??a2 ??21???1 22?2b?a

2??a?4 ?2??b?1x2?y2?1∴C1方程为………………………………………………………4分 4

（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；

当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F(1,0)，设其方程为y?k(x?1)，与C1的交点坐标为Q?x1,y1?,R?x2,y2?

?x22?2222由?4?y?1消去y，得 (1?4k)x?8kx?4(k?1)?0， ??y?k(x?1)8k24(k2?1)于是 x1?x2?，x1x2? …………① ……………………7分 221?4k1?4ky1y2?k(x1?1)?k(x2?1)?k2[x1x2?(x1?x2)?1]

4(k2?1)8k23k2??1)??即y1y2?k(……② 2221?4k1?4k1?4k2????????????????由OQ?OR，即OQ?OR?0，得x1x2?y1y2?0(*)

4(k2?1)3k2k2?4???0，解得k??2； 将①、②代入（*）式，得 2221?4k1?4k?14k所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y?2x?2或y??2x?2…………………9分 （Ⅲ）设直线AM的斜率为k?k?0?，则AM：y?k(x?2)，AN：y??1(x?2) ky?k(x?2),??22222则?x 化简得：(1?4k)x?16kx?16k?4?0． 2?y?1,??42?8k24k∵此方程有一根为?2，∴xM? y??M21?4k21?4k2k2?84k同理可得xN?2………………………………………………11分 ?yN??2k?4k?4则kMN4k4k?225k ?k2?41?4k2??22k?82?8k4(k?1)?k2?41?4k2?4k5k2?8k2??(x?) 所以MN的直线方程为y?2221?4k4(k?1)1?4k16k(k2?1)2?8k26???令y?0，则x?.

5k(1?4k2)1?4k25所以直线MN过x轴上的一定点(?6,0) ………………………………………………14分 5