上海海洋大学试卷
学年学期 课程名称 课程号 题号 分数 阅卷人 一 2010 ~ 2011 学年第 2 学期 概率论与数理统计B 1106403 二 三 四 学分 五 六 3 七 考核方式 试卷类型 学时 八 九 闭卷 A 48 十 总分 姓名： 学号： 专业班名： 一．填空题（每空2分，共20分）。 1．若P(A?B)2．设随机事件
?P(A)?P(B)，且P(A)?0，则P(B|A)? 0 。
B?A?A，且p(A)?0.4，P(B)?0.1，则P(AB)? 0.3 。
163．在一个4重贝努里试验中，事件A出现的概率均相等且一次都不出现的概率为，则在一次试
81验中事件A出现的概率为
1 。 34．袋中装有2个白球，3个黑球，从中任意摸取两次，每次摸出一个球，取后放回。则两次都摸到白球的概率为：
42；第二次摸到白球的概率为： 。
525(X?k)?5．随即变量X的概率分布为p6．设Xa?k(k-1)!e??,(k?1,2,3?,)，则a?1? 。
~U?1,3?（均匀分布） ，对X的三次独立重复观察中，事件（X?2）出现的次
0)?1。 8数为随机变量Y，则p(Y?7．随机变量X的概率密度函数为：
f(x)?12?e?x2?4x?44，Y~e(3)，且X,Y相互独立，
若Z=6-4X+3Y，则E(Z)= -1 ；D(Z)= 33 。 8．设总体X~N(?,9) ，X为样本均值，要使得总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为
(X?0.980,X?0.980)，则样本容量n必须等于 36 。（注：?(1.96)?0.975）
二．选择题（每小题2分，共20分）
第1页 共6页
1．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P(X?0)?1，则P(X?1)?（D ） 21111A）1?ln2 B）?ln2 C）1?ln2 D）?ln2
22222．设随机变量X~N(?,?2)，则随着
?2??2的增大，概率P(X????) （D ）
A）单调增大 B）单调减少 C）增减不定 D）保持不变
3．若对两事件A,B有P(B)?0,P(A|B)?0，则（C ）
A) 事件A,B互不相容； B) AB必为不可能事件 C) AB未必为不可能事件 D) P(A)=0或P(B)=0。 4．若任意两事件A,B，则P(A?。 B)=（ C ）
A）P(A)-P(B)+P(AB)， B）P(A)-P(B) C）P(A)-P(AB) D）P(A)+P(B)-P(AB)
1??,2?x?45． 若总体X的概率密度函数为：f(x)??2，X1,X2,?,Xn为来自总体
??0,其他。1nXi近似服从（ B ）分布。 的一个样本，则当样本容量n充分大时，随机变量Yn??ni?11111nA) N(3,), B) N(3,), C) N(,), D) N(3n,)
33n33n36．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，满足P(X则x?（C ）
A)
?u0.2)?0.2，若P(X?x)?0.8，
u0.2 B) u0.9 C) u0.1 D) u0.8
7．设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(0,4)的简单随机样本，X,S分别是样本均值与样本标准差，则（C） A）X~N(0,4) B）nX1n2X2~t(n) ~N(0,1) C）?Xi~?(n) D）4i?1S/n8．设X1,X2,?,X9是来自正态总体N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，则下列
四个选择枝中不是总体均值?的无偏估计量的一项为：（D）
第2页 共6页
A）
?Xi?8Xi?19， B）
12X3?X33
，
11119X2?X3， D）?XiC）X?6238i?19．样本来自正态总体N(u,验方法是：（C）
A）z检验 B）t检验 C）?2检验 D）F检验 10.双侧假设检验中，?为显著性水平，则拒真概率P{拒绝H0
?2)，其中?,?2参数皆未知。要检验H:??4，应采用的检
20H0真}=（ B ）
?A）1??， B）?， C）， D）与?无关。
2三、（8分）海洋大学的学生对概率论与数理统计课程的兴趣程度可分为四个层次：很感兴趣，较感兴趣，一般般，没有兴趣。最近的一项调研统计表明此四个层次的学生数之比为：1：3：4：2。 而此四类同学中该课程一次性能通过的可能性分别为：0.98，0.88，0.50，0.20。
（1） 考试在即，在即将参加此门课程考试的学生中任抓一生考察，试问该生此次考试该门课程一次性通过的可能性为多大？
（2）考试结束，阅卷老师发现某名学生顺利通过此次考试，试问该生对此课程兴趣层次是属于一般般的可能性有多大？
2,3,4)” 解: 设Ai?“学生对概率的兴趣为第i层次(i?1,B?“抽得的学生考试一次性通过”，则
P(A1)?0.1，P(A2)?0.3，P(A3)?0.4，P(A4)?0.2
(1) 由全概率公式，得
P(B)?P(Ai)P(B|Ai) ?i?14=0.1?0.98?0.3?0.88?0.4?0.50?0.2?0.2?0.602； (2) 由贝叶斯公式，得
P(A3|B)?P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.2100???.
P(B)P(B)0.602301第3页 共6页
?4xA?Be,x?0?四、（12分）（10）设连续型随机变量X的分布函数为F(x)?? ，试求：
x?0?0（1）常数A、B的值（4分）；（2）X落在(?3,3)内的概率（4分）； （3）随机变量X的函数Y。 ?eX的概率密度函数（4分）
?4x解：（1）解：由分布函数的性质，1?limF(x)?lim(A?Bex???x???)?A ，所以 A?1；（2分）
?1?e?4x,x?0 又lim?F(x)?A?B?F(0)?0，所以 B??1，即F(x)?? （4分）
x?0x?00?（2）P(?3?X?3)?F(3)?F(?3)?1?e?12?0?1?e?12 （3分）
?4e?4x,x?0（3）f(x)?F(x)?? （3分）。
x?0?0,/五、（12分）设连续性随机变量X~（1、）E(XN(1,4)，Y~P(3)，且X与Y相互独立，求
?Y),（2）E（4）D(XY)。 (XY),（3）D(X-Y)，
解：根据题意知，E(X)?1,D(X)?4;E(Y)?D(Y)?3 所以 （1）E(X?Y)?E(X)?E(Y)?4 （2）E(XY)?E(X)E(Y)?3 （3）D(X-Y)?D(X)?D(Y)?7 （4）D(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)
?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y)
?(D(X)?E2(X))(D(Y)?E2(Y))?E2(X)E2(Y)
?(4?1)(3?9)?1?9?51
第4页 共6页
六．（8分）某公司生产的一款时尚电子产品很受大学生的欢迎，海洋大学某学院有在校生500人，
调查统计表明此500人中每个学生想立即购买此种产品的可能性为0.6。公司得此调查信息决定对此学院的学生来一次定向直销。假设每个学生看到此产品立即购买与否是相互独立的，而且如若购买每人最多买一件。问公司营销团队要一次性带足多少件此种产品，才能以99%的概率保证每个学生想买时都有得买？
解：令X表示购买产品的人数，且设公司营销团队要一次性带足m件该种产品，根据题意，知
X~B(500,0.6) （2分）
且有P(X?m)?0.99 （5分）
又np?300,np(1?p)?120，由中心极限定理，得
P(X?m)??(m?300120)?0.99??(2.33) （7分）
于是有：
m?300120（8分） ?2.33，解得m ?325.524，所以要带足326件。
七．（8分）已知总体X服从参数为?的泊松分布，其分布列为
P(X?k)?1k???ek!(k?0,1,2,?;??0)
X1，X2，?，Xn为取自总体X的样本。试求： 1、?的矩估计量；
2、?的最大似然估计量。
解：1、因为 E(X)?D(X)?? （2分）
??X,???B（4分） 所以 ?的矩估计量有两个，分别为 ?1221n2其中，B2??(Xi?X) （5分）；
ni?12、根据题意，似然函数为L(?)?n?x?x???x12nx1!x2!?xn!1e?n?（7分）
对数似然函数为lnL(?)?(?x)ln??ln(x!x!?x!)?n? （8分）
i2ni?1dlnL(?)i?1?令
d???xni?n?0，得???xi?1nin?x （9分）
第5页 共6页
??X （10分） 所以?的似然估计量为?八．（12分）现有一批某种瓶装白醋，从中随机抽取9瓶，测得每瓶醋的重量计算出样本均值、样本方差分别为xσ），
1． 求总体均值?的置信度为0.95的置信区间；（6分） 解：因为?未知，故?的置信区间为[X?22
?498.45，s2?3.5645。如果此种瓶装白醋的每瓶重量服从正态分布N（μ，
snt?(n?1),X?2snt?(n?1)] （3分）
2又
x?498.45,n?9,s?1.888,1???0.95,??0.05,t?(n?1)?t0.025(8)?2.306
2（1分） 所
以
?的一个置信度为0.95的置信区间为
[498.45?1.8881.888?2.306,498.45??2.306] 33?[497,499.9] （10分）
2． 是否可以认为μ=500？（α=0.05）（6分） 解：H0:??500,H1:??500,?0?500. 因为?未知，故该检验为双侧T检验。（1分）
2检验统计量为T?X?? （2分） sn拒绝条件为T?t?(n?1) （3分）
2T?500?498.45?2.463，又t?(n?1)?t0.025(8)?2.306
1.88823所以 T?t?(n?1)成立 （4分）
2故拒绝H0，接受H1，既不能认为μ=500 （5分）
第6页 共6页