?i?ikL?aa''?mn?x,y???mn?e???a??a?mnx,ye?L????ikxx'?yy'Ldx'dy'
经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数
?mn?x,y???CmnHm???2????x?Hn??L????x2?y2?L???2??y?e?L???cx2?y2?L?????
?2???2???H0??e?30?x,y??C30H3?xy?L???L??????x1?0,x2,3??32?2l?????2??3?2?????x?y???12???e?L????C30?8?xx?L?????L????????22使?30?x,y??0就可以求出节线的位置。由上式得到：
，这些节线是等距的。解答完毕。
7 求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。
解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式
?mn?r,???Cmn???2r?n?2r??Lm?2?e?????0s???0s?2m?r22?0s?cosm? ??sinm? （这个场对应于TEMmn，
两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）
?2r?2?2r???02s?cos2??????对于TEM20：?20?r,???C20???L0??2?e sin2???0s??0s?22r2?2r2并且L???2?0s20????1，代入上式，得到 ?2r2?2r???02s??20?r,???C20????e?0s?2r2?cos2??，我们取sin2??余弦项，根据题中所要求的结果，我们取
?2r???02s?eco2?s?0?20?r,???C20?，就能求出镜面上节线的位????0s?置。既
cos2??0??1??4,?2?3?4
r2r2对于TEM02，可以做类似的分析。
?2?2r?0?2r???02s0?2r??0s?L2?2?e???02?r,???C02??CLe022?2?????????0s??0s??0s?220
?2r2?4r22r4L???2???1??2??40s0s?0s?02，代入上式并使光波场为零，
r22?0s得到
?2r???02?r,???C02?????0s?020?4r2r???1??2??4??e0s0s??24??0
?2r2?4r22r4显然，只要L???2???1??2??4?0即满足上式
0s0s?0s?最后镜面上节线圆的半径分别为：
r1?1?22?0s,r2?1??0s 22解答完毕。
8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。
1解：共轴球面腔稳定判别的公式是?1??A?D??1，这个公式具有
2普适性（教材36页中间文字部分），对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式0?g1g2?1判断稳定性，其中gi题中g1?1?L8L8?1?，g2?1??1? R115R210?1?LRi。
g1g2?0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。
任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。 等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标Z1和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。 根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到：
L?R2?L?0.8??1?0.8????0.18M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1??L?R1?L??0.8??1.5?0.8?Z2???0.62M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?0.8??1?0.8???1.5?0.8??1.5?1?0.8?F2???0.23522??L?R1???L?R2????0.8?1.5???0.8?1??Z1?因此F?0.485M
等价共焦腔示意图略。
9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。
解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。
根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到：
??g2?s1??0s???g1?1?g1g2??1/4??g2?L?????g1?1?g1g2??1/41/4?1.687?10?6?1.316?2.22?10?6M
?s2??g1??0s???g2?1?g1g2??1/4??g1?L?????g2?1?g1g2???1.687?10?6?5.333?8.997?10?6M其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中?0S?L??是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。
根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知：
?0??0S2?1.687?1.193?M1.414
作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。 即：
??1N
根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数
Nef1?a12??s21a12?0.25?10?43.1416?2.22?10?60.25?10?4??2?1.615?106
Nef1???s21?3.1416?8.997?10?6??2?9.831?104
根据衍射损耗定义，可以分别求出：
?1?11?6.2?10?7，?2??1.02?10?5 Nef1Nef2a2证明在所有菲涅尔数N?L?10 相同而曲率半径R不同的对
称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。 证明：
?R1?R2?2L??在对称共焦腔中，R1?R2?
R1R2??f??22?11 今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：应
该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。 解答：
我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14得到：?0?2?，如果平面镜和凹面
f?镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模光束发散角。
f2?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L???L?R1???L?R2??2?fmax?0.25m
代入发散角公式，就得到最小发散角为：
?0?2??? ?2?4f?0.25????2f??l?1?l??发散角与腔长的关系式：
?0?2
13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。 解答：
L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?F??1M 2?R1?R2?2L?