【答案】D
2
【解析】6人之间互相交换,总共有C6=15种,而实际只交换了13次,故
有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D. 31.(2011·全国·理A.-40 B.-20 【答案】D
【解析】令x=1得(1+a)(2-1)=2,
15∴a=1.原式=x·(2x-)x2
5
a15
T8) (x+)(2x-)的展开式中各项系数的和为
xx2,则该展开式中常数项为( )
C.20 D.40
115
+(2x-),故常数项为 xx3
32
x·C5(2x)(-x)+x·C5(2x)(-x)=-40+80=40.
13
1
12
32.(2010·山东·理T8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 【答案】B
13【解析】若乙排在第二位,则有A3四、五位,此时共有A13种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、3A2A3113种方案,故共有A33+A3A2A3=42(种).
二、填空题
1.(2019·天津·理T10)（2x-8x3）的展开式中的常数项为 【答案】28
r【解析】Tr+1=C8(2x)（
8-r
1
8
1r
）3-8xr=C8·2·（-）·x
8-r
r
1
8
8-4r
.
需8-4r=0,r=2.
2626
常数项为C82（-）2=C82
8
11
62
2=C8=28.
152
2.(2018·天津·理T10)在(x-2x)的展开式中,x的系数为
√ .
【答案】2 5
13
【解析】展开式的通项为
15
1rr5-r
Tr+1=C5x(-)2√x2
=
1rr5-3r
(-2)C5x2.令
5
5-=2,可得r=2.
3r22
所以(x-2x)的展开式中的x的系数为(-2)C5=2.
√12
3.(2018·浙江·T14)二项式(√x+【答案】7 【解析】通项为当r=2时,
3
18
)的展开式的常数项是 2x .
r18-r1
r-13Tr+1=C8(x)(2x)
=
1rr8-4r
(2)C8x3,
8-4r
=0. 3
12
1
8×7
2
故展开式的常数项为()C8=×=7.
2424.(2018·上海·T3)在(1+x)的二项展开式中,x项的系数为 (结果用数值表示). 【答案】21
2
【解析】由(1+x)的二项展开式的通项,得(1+x)的二项展开式的x项的系数为C7=21.
7
7
2
72
5.(2018·全国1·理T15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 【答案】16
12【解析】方法一:①恰有1位女生时,有C2C4=12种选法. 21②恰有2位女生时,有C2C4=4种选法.
故不同的选法共有12+4=16种.
3333方法二:6人中选3人共有C6种选法,3人全是男生时有C4种选法,所以至少有1位女生入选时有C6?C4=16
种选法.
6.(2018·浙江·T16)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260 【解析】分两类:
第一类:从0,2,4,6中取到0,
1213则没有重复数字的四位数有C3C5A3A3=540;
第二类:从0,2,4,6中不取0,
224则没有重复数字的四位数有C3C5A4=720.
所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260种.
7.(2017·山东·理T11)已知(1+3x)的展开式中含有x项的系数是54,则n= .
14
n
2
【答案】4
rr2
【解析】二项展开式的通项Tr+1=Cn(3x)=3·Cn·x,令r=2,得3·Cn=54,解得n=4.
r
r
r
2
8.(2017·浙江·T13)已知多项式(x+1)(x+2)=x+a1x+a2x+a3x+a4x+a5,则a4= ,a5= . 【答案】16 4
rm【解析】由二项式展开式可得通项公式为C3xC2x2,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0
3-r
2-mm
325432
可得a5=1×2=4.
9.(2017·天津·理T14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答) 【答案】1080
【解析】①没有一个数字是偶数的四位数有A45=120个;
134②有且只有一个数字是偶数的四位数有C4C5A4=960个.
32
所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.
10.(2017·浙江·T16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 【答案】660
411411【解析】由题意可得,总的选择方法为C8C4C3种方法,其中不满足题意的选法有C6C4C3种方法,则满足题意的411411选法有C8C4C3?C6C4C3=660种.
11.(2016·全国1·理T14)(2x+√x)的展开式中,x的系数是 .(用数字填写答案) 【答案】10
rr【解析】二项式的通项公式Tr+1=C5(2x)x2=C52x5-2,令5-2=3,解得r=4,
5-r
5-r
53
rr
r
4故x的系数为C5×2=10.
3
5-4
12.(2016·天津·理T10) (x2-x)的展开式中x的系数为 .(用数字作答)
7
18
【答案】-56
rr【解析】展开式通项为Tr+1=C8(x)(-x)=(-1)C8x
28-r
r
1r
16-3r
,令16-3r=7,得r=3,所以展开式中x的系数为
7
3(-1)C8=-56.
3
13.(2015·广东·理T12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 【答案】1560
【解析】共有A240=40×39=1 560条毕业留言.
15
14.(2015·天津·理【答案】 16 【解析】由题意知故所求x
2
162
T12)在(x-)的展开式中,x的系数为.
4x
15
-1rr6-r
Tr+1=C6x·(4x)
=
1r6-2rr
C6·x·(-4).令
6-2r=2,可得r=2.
122
的系数为C6(-)
4=
3
15. 1615+)的展开式中2√x15.(2015·重庆·理T12)(x【答案】 【解析】展开式的通项公式
7
5
2x的系数是(用数字作答).
8
1r35-rr
Tr+1=C5·(x)·(2x)√8
=
-rr
C5·2·x15-2r(r=0,1,2,…,5).
7
2
令15-2r=8,得r=2,于是展开式中x项的系数是C5·2=2. -2
5
16.(2015·全国2·理T15)(a+x)(1+x)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 【答案】3
3021【解析】∵(1+x)=x+C4x+C4x+C4x+C4x=x+4x+6x+4x+1,
4
4
3
2
0
4
3
2
4
∴(a+x)(1+x)的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.
17.(2014·安徽·理T13)设a≠0,n是大于1的自然数, (1+a)的展开式为a0+a1x+a2x+…+anx.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
xn
2
n
4
【答案】3
1【解析】由题意得a1=·Cn==3,∴n=3a; 2a2=2Cn=
2
2
1
ana1an(n-1)
=4, 2a2∴n-n=8a.
将n=3a代入n-n=8a得9a-3a=8a, 即a-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.
18.(2014·北京·理T13)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不
2
2
2
2
2
16