?∴ E?4π33r外?r内4?1 3?4.10?10 沿半径向外. N?C24π?0r??9.12 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．
???q解: 高斯定理?E?dS?
s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl
??则 ?E?dS?E2πrl
S对(1) r?R1 ?q?0,E?0 (2) R1?r?R2 ?q?l? ∴ E?? 沿径向向外 2π?0r(3) r?R2 ?q?0 ∴ E?0
题9.13图
9.13 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场强．
解: 如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，
?1?(?1??2)n 两面间， E?2?0?1??1面外， E??(?1??2)n
2?0?1??2面外， E?(?1??2)n
2?0?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
9.14 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题9.14图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题9.14图(a)．
?(1) ??球在O点产生电场E10?0，
43πr??3OO' 球在O点产生电场E20??? 34π?0d?r3?∴ O点电场E0?OO'； 33?0d43?d??3OO' (2) ??在O?产生电场E10??34π?0d??球在O?产生电场E20??0
?∴ O? 点电场 E0????OO' 3?0题9.14图(a) 题9.14图(b)
??(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r (如题8-13(b)图)
???r则 EPO?，
3?0???r?EPO???,
3?0?????????d∴ EP?EPO?EPO?? (r?r?)?OO'?3?03?03?0∴腔内场强是均匀的．
9.15 一电偶极子由q=1.0×10-6C
的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶
极子放在1.0×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
??解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩
∴ Mmax?pE?qlE代入数字
9.16 两点电荷q1=1.5×10-8C，q2=3.0×10-8C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为
r2=25cm，需作多少功?
解: A??rr21??r2q1q2drq1q211F?dr???(?) r24π?r24π?r1r200外力需作的功 A???A??6.55?10?6 J
题9.17图
9.17 如题9.17图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．解: 如题9.17图示
∴ A?q0(UO?UC)?qoq 6π?0R9.18 如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?
?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
题9.18图 ????［sin(?)?sin］ 4π?0R22(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0 同理CD产生 U2?半圆环产生 U3??ln2 4π?0πR??? 4π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3???ln2? 2π?04?09.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强 e?电子受力大小 Fe?eE?
2π?0re?v2∴ ?m
2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 得 ??e9.20 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压． 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场
9.21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．
?3，?2，证: 如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，
?4
题9.21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有 ∴ ?2??3?0
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
2
9.22 三个平行金属板A，mm．B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 B，
-7
C都接地，如题9.22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
解: 如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
题9.22图
(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB ∴
?1EACdAB???2 ?2EABdAC
qA Sq2q得 ?2?A, ?1?A
3S3S2而 qC???1S??qA??2?10?7C
3且 ?1+?2?qB???2S??1?10?7C (2)
UA?EACdAC??1dAC?2.3?103V ?09.23两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；