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解:由高斯定理求得两球壳间的场强为 E?q4??0r2 ?R1?r?R2? 2分

方向沿半径指向内球壳.电子在电场中受电场力的大小为 F?eE?eq 2分 4??0r2R2方向沿半径指向外球壳.电子自内球壳到外球壳电场力作功为

A??RFdr?1R2eq4??0?R1eqdr?4??0r2由动能定理

eq?R2?R1?1mev2? 2分 24??0R1R2eq?R2?R1?=1.983107 m/s

2??0R1R2me?11?eq?R2?R1????? 2分 ?R?4??0R1R2?1R2?得到 v?第十四章 静电场中的导体

1、厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为? .试求图示离左板面距离为a的一点与离右板面距离为b的一点之间的电势差.

?1adb2解:选坐标如图.由高斯定理,平板内、外的场强分布为:

E = 0 (板内)

? Ex???/(2?0) (板外) 2分

a1、2两点间电势差 U1?U2??Exdx b 2

121d?d/2 ??(a?d/2)???dx?2?0b?d/2d/2??dx 2?0Ox

??(b?a) 3分 2?02、半径分别为 1.0 cm与 2.0 cm的两个球形导体,各带电荷 1.0310-8 C,两球相距很远.若用细导线将两球相连接.求(1) 每个球所带电荷;(2) 每球的电势.(

解:两球相距很远,可视为孤立导体,互不影响.球上电荷均匀分布.设两球半径分别为r1和r2,导线连接后的电荷分别为q1和q2,而q1 + q1 = 2q,则两球电

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1?9?109N?m2/C2) 4??0q1 q势分别是 U1?, U2?2 2分

4??0r14??0r2两球相连后电势相等, U1?U2,则有

q1q2q1?q22q??? 2分 r1r2r1?r2r1?r2r2q?6.67?10?9C 1分 由此得到 q1?1r1?r2r2q?13.3?10?9C 1分 q2?2r1?r2q两球电势 U1?U2?1?6.0?103 V 2分

4??0r1

3、如图所示,一内半径为a、外半径为b的金属球壳,带有电荷Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q.设无限远处为电势零点,试求:

(1) 球壳内外表面上的电荷. (2) 球心O点处,由球壳内表面上电荷产生的电势. (3) 球心O点处的总电势.

解:(1) 由静电感应,金属球壳的内表面上有感生电荷-q,外表面上带电荷q+Q.

2分

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的,因为任一电荷元离O点的 距离都是a,所以由这些电荷在O点产生的电势为

U?q?QraqOb ?dq4??0a??q 2分 4??0a (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点

产生的电势的代数和 2分 UO?Uq?U?q?UQ?q

?qqQ?qq111Q??(??)? ? 2分 4??0r4??0a4??0b4??0rab4??0b4、半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳,分别带有电荷Q1和Q2,今将内球壳用细导线与远处半径为r的导体球相联,如图所示, 导体球原来不带电,试求相联后导体球所带电荷

R2OR1rq.

解:设导体球带电q,取无穷远处为电势零点,则

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导体球电势: U0?q 2分 4??0rQ?qQ2?内球壳电势: U1?1 2分 4??0R14??0R2

Q?qQ2q?1? 2分 4??0r4??0R14??0R2r(R2Q1?R1Q2)解得 q? 2分

R2(R1?r)二者等电势,即

第十五章 静电场中的电解质

1. 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成,内、外圆筒半径分别为R1 = 2 cm,R2 = 5 cm,其间充满相对介电常量为?r 的各向同性、均匀电介在电压U = 32 V的电源上,(如图所示),试求距离轴线R = 点的电场强度和A点与外筒间的电势差.

解:设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+?和??, 根可求得两

R2质.电容器接

?rR1RA3.5 cm处的A

据高斯定理

U?圆筒间任一点的电场强度为 E? 2 分

2??0?rr??R2?drR??ln2 则两圆筒的电势差为 U??E?dr??2??0?rr2??0?rR1R1R1R2解得 ??2??0?rU 3分 R2lnR1于是可求得A点的电场强度为 EA?U

RlnR(2/R1)R = 998 V/m 方向沿径向向外 2分

R22UdrA点与外筒间的电势差: U???Edr? ?lnR(2/R1)RrR ?RUln2 = 12.5 V 3分

ln(R2/R1)R2.一圆柱形电容器,外柱的直径为4 cm,内柱的直径可以适当选择,若其间充满各向同性的均匀电介质,该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm.试求该电容器可能承受的最高电压. (自然对数的底e = 2.7183)

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解:设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为?,则电容器两极板之间的场强分布

为 E??/(2??r) 2分

设电容器内外两极板半径分别为r0,R,则极板间电压为

??R U??E?dr??rrR?R?dr?ln 2分 2??r2??r0电介质中场强最大处在内柱面上,当这里场强达到E0时电容器击穿,这时应有

??2??r0E0

U?r0E0lnR r0 2分

适当选择r0的值,可使U有极大值,即令

dU/dr0?E0ln(R/r0)?E0?0

得 r0?R/e 2分

显然有

d2Udr02< 0, 故当 r0?R/e 时电容器可承受最高的电压

Umax?RE0/e = 147 kV 2分

第十六章 磁场和它的源

1、已知半径为R的载流圆线圈与边长为a的载流正方形线圈的磁矩之比为

2∶1,且载流圆线圈在中心O处产生的磁感应强度为B0,求在正方形线圈中心O'处的磁感强度的大小.

解:设圆线圈磁矩为pm1,方线圈磁矩为pm2,则 pm1?I1?R2, pm2?I2a2

∴ I2??R2I1/(2a2) 3分

正方形一边在其中心处产生的磁感强度为 B1??0I2/(2?a)

正方形各边在其中心产生的磁感强度大小相等,方向相同,因此中心O'处总的

22?0I22?0R2I1???磁感强度的大小为 B0 3分

?aa32RB0?I∵ B0?01, 得 I1?

?02R??(2R/a)3B0 2分 ∴ B02、假定地球的磁场是由地球中心的载流小环产生的,已知地极附近磁感强度B为 6.27310-5 T,地球半径为R =6.373106 m.?0 =4?310-7 H/m.试用毕奥-萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小.

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