2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版ⅰ)及答案 下载本文

【分析】要求的最小值,我们可以根据已知中,圆O的半径为1,PA、PB

为该圆的两条切线,A、B为两切点,结合切线长定理,设出PA,PB的长度和夹角,并将答.

【解答】解:如图所示:设OP=x(x>0), 则PA=PB=

表示成一个关于x的函数,然后根据求函数最值的办法,进行解

∠APO=α,则∠APB=2α, sinα=,

==

×

(1﹣2sin2α) )=﹣3, 时取“=”,故

的最小值为2

﹣3.

=(x2﹣1)(1﹣=x2+

﹣3≥2

∴当且仅当x2=故选D.

12.(5分)(2010?大纲版Ⅰ)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( ) A.

B.

C.

D.

【分析】四面体ABCD的体积的最大值,AB与CD是对棱,必须垂直,确定球心的位置,即可求出体积的最大值.

【解答】解:过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB于P,设点P到CD的

距离为h, 则有

当直径通过AB与CD的中点时,故选B.

,故

二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) 13.(5分)(2010?大纲版Ⅰ)不等式

的解集是 [0,2] .

【分析】法一是移项后平方,注意等价转化为不等式组,化简求交集即可; 法二是化简为等价不等式组的形式,求不等式组的解集. 【解答】解:法一:原不等式等价于解得0≤x≤2.

法二:

故答案为:[0,2]

14.(5分)(2010?大纲版Ⅰ)已知α为第三象限的角,

=

,则

【分析】方法一:由α为第三象限的角,判断出2α可能的范围,再结合又

<0确定出2α在第二象限,利用同角三角函数关系求出其正弦,再

由两角和的正切公式展开代入求值.

方法二:判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式,其它比同. 【解答】解:方法一:因为α为第三象限的角,所以2α∈(2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z), 又于是有

<0,所以,

所以=.

方法二:α为第三象限的角,<

4kπ+3π

?

,2α

?4kπ+2π限

15.(5分)(2010?大纲版Ⅰ)直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点,则a的取值范围是 (1,) .

【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象,观察求解.

【解答】解:如图,在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a, 观图可知,a的取值必须满足解得

故答案为:(1,)

16.(5分)(2010?大纲版Ⅰ)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且

,则C的离心率为

【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值,利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标,再由椭圆的第二定义求出|FD|的值,又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程,解方程求出 的值. 【解答】解:如图,

作DD1⊥y轴于点D1,则由

,由椭圆的第二定义得

,a2=3c2,解得e==

,得

,所以,

又由|BF|=2|FD|,得故答案为:

三、解答题(共6小题,满分70分)

17.(10分)(2010?大纲版Ⅰ)已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足