15、解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．
抛物线过原点，
．
．
抛物线的解析式为，
即．
（2）如图1，当四边形是平行四边形时，
．
由，
得，，
，．
点的横坐标为．
将代入，
得，
；
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为
，
当四边形
?
（3）如图2，由抛物线的对称性可知：
是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．????
，．
若与相似，
必须有．
设交抛物线的对称轴于点，
显然，
直线的解析式为．
由，得，．
．
过作轴，
在中，，，
．
．．
与不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．
16、解：（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴ m=-2×(-2)-1=3. ∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G， 则BG⊥直线x=2，BG=4.
在Rt△BGC中，BC=.
∵ CE=5， ∴ CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°. ∴ △DFB≌△DHE （SAS）， ∴ BD=DE.
即D是BE的中点. （3）存在. 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入，得. 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.