大大学学物物理理课课后后习习题题答答案案（（上上））

k?ωv??2rad?s?3 所以 ω?ω(t)?2t2 22tRt则t′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

dω?4t??2.0rad?s?2 at?αR?1.0m?s?2 dt222?2总加速度 a?an?at?αRet?ω2Rena??αR??ωR?1.01m?s

ω?2t?2?0.5rad?s?1 α???在2.0ｓ内该点所转过的角度

θ?θ0??ωdt??2t2dt?0022232t0?5.33rad 31-24 分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．

解 (1) 由于θ?2?4t,则角速度ω?向加速度的数值分别为

3dθ?12t2．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切dt?rdω?4.80m?s?2 dtant?2s?rω2?2.30m?s?2 att?2s(2) 当at?a/2?122an?at2时,有3at2?an,即 2423?24rt??r212t2 得 t3???1234

此时刻的角位置为 θ?2?4t3?3.15rad

(3) 要使an?at,则有 3?24rt??r212t2 t ＝0.55ｓ

2??1-25 分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′为相对速度,它们之间的关系为v2?v2?v1 (如图所示),于是可得

'v2?v1?5.36m?s?1 otan75

1-26 分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v2′的方向)应满足α?arctanl．再由相对速度的矢量关系hv?2?v2?v1,即可求出所需车速v1．

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解 由v?2?v2?v1［图(b)］,有 α?arctanv1?v2sinθ

v2cosθ而要使α?arctanlv?v2sinθl?lcosθ?,则 1? v1?v2??sinθ? hv2cosθh?h?1-27 分析 船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的．由于水流速度u的存在, v与船在静水中划行的速度v′之间有v＝u ＋v′(如图所示)．若要使船到达正对岸,则必须使v沿正对岸方向；在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值．

解 (1) 由v＝u ＋v′可知α?arcsinu,则船到达正对岸所需时间为 v?t?dd??1.05?103s vv?cosα(2) 由于v?v?cosα,在划速v′一定的条件下,只有当α＝0 时, v 最大(即v＝v′),此时,船过河时间t′＝d /v′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有

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l?ut??ud?5.0?102m v?1-28 分析 该问题涉及到运动的相对性．如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x,y)变换至系

O′中的点(x′,y′)．由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性

的．

解 取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和O′x′两轴平行．在t ＝0 时,两坐标原点重合．由坐标变换得

x′＝x - v t ＝v t - v t ＝0 y′＝y ＝1/2 gt2

d2y??g 加速度 a?ay?dt2?由此可见,动点相对于系O′是在y 方向作匀变速直线运动．动点在两坐标系中加速度相同,这也正是伽利略变换的必然结果．

2-1 分析与解 当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ (其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,

由其可解得合外力为mgcot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．

2-2 分析与解 与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μFN范围内取值．当

FN增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状

态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．

2-3 分析与解 由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μFN．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于

此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．

2-4 分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(m gcos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程2FN?mgsinθ?m见应选(B)．

v可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力FN也将不断增大,由此可R第-15-页 共-135-页

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2-5 分析与解 本题可考虑对A、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解．此时A、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a′为A、B 两物体相对电梯的加速度,ma′为惯性力．对A、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得FＴ ＝5/8 mg．故选(A)．

讨论 对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度aA 和aB 均应对地而言,本题中aA 和aB的大小与方向均不相同．其中aA 应斜向上．对aA 、aB 、

a 和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁．有兴趣的读者不妨自己尝试一下．

2-6 分析 动力学问题一般分为两类：(1) 已知物体受力求其运动情况；(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝f(t),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来．

解 取沿斜面为坐标轴Ox,原点O 位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有

mgsinα?mgμcosα?ma (1)

又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有

l11?at2?g?sinα?μcosα?t2 则 t?cosα22第-16-页 共-135-页

2l (2)

gcosα?sinα?μcosα?