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参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料

练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线

l:x?y?2?0的距离为

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B2为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由

20?c?22?32结合c?0,解得c?1.所2以抛物线C的方程为x?4y.

2121x,求导得y??x 42x12x22,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?), 4411则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,

22x1x12x1x??y1,即x1x?2y?2y1?0 所以切线PA：y?y1??x?x1?,即y?222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0 (Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?2因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1 联立方程??x0x?2y?2y0?0?x?4y2,消去x整理得y2?2y0?x02y?y02?0

??22由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0

所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1

22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???

2?2?91所以当y0??时, AF?BF取得最小值,且最小值为.

222222

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22练习2：（2013年辽宁数学（理））如图,抛物线C1:x?4y,C2:x??2py?p?0?,点M?x0,y0?在

抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-1. 2(I)求p的值;(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方.?A,B重合于O时,中点为O?.

【答案】

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模型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

x2y2例题：如图，已知直线L：x?my?1过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点F，且交椭圆C于

ab2A、B两点，点A、B在直线G:x?a上的射影依次为点D、E。连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、

BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解：?F(1,0),k?(a,0) 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，

2a2?1a2?1,0)猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N(,0) AE与BD相交于FK中点N ,且N(22。

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),E(a,y2),D(a,y1)，当m变化时首先AE过定点N

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?x?my?12222222)?0....8分a?(1b?ymb2?y)mb?a(即Q?222222?bx?ay?ab?0??4a2b2(a2?m2b2?1)?0(Qa?1)?y2?y1,KEN?又KAN?21?a2a?1?my122a2?1(y1?y2)?my1y22?0而KAN?KEN?1?a2a2?1?my1)(22a2?1(y1?y2)?my1y2(这是Q2b2(1?a2)2mb2a2?1)?m?2?(?2?22a?m2b2a?mb2(a2?1)?(mb2?mb2)?0)?a2?m2b2

∴KAN=KEN ∴A、N、E三点共线 同理可得B、N、D三点共线

a2?1,0)∴AE与BD相交于定点N(2

法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0.计算量

也不大。

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。这一类题在答题过程中要注意步骤。

x2?y2?1，若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的例题、已知椭圆C：4任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

方法1：点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2

的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线l:x?t(t?2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由

?y?k1(x?2)222消y整理得(1?4k1)x?16k2x?16k1?4?0 ?22?x?4y?44k116k12?42?8k12y?Q?2和x1是方程的两个根，??2x1?则，， x?112221?4k11?4k11?4k1