11.[2018·广州] 如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, ①证明:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
图F10-11
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参考答案
1.B [解析] 如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),
∴H(,0),
可求得直线CH的解析式为y=-x+4.
当x=3时,y=,∴点E的坐标为(3,).故选B.
2.D [解析] 取GF的中点O,连结PO,则根据材料可知PF+PG=2PO+2OG=2PO+2×2=8+2OP,若使PF+PG的值最小,则必须OP的值最小,所以PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF+PG的最小值为10.故选D.
3.B [解析] 连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.
4.A [解析] 如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
∵∠ABC=120°,
∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形.
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∴BF=CF=BC=3.
∴MF=CF-CM=3-2=1,DF=BF=3.
∴DM==2.
∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB.
∴===.
又∵OB=OD,∴=.
∵ME∥BD,∴△PEM∽△POD.
∴==,∴PM=DM=×2=.
故选A.
5.B [解析] ∵点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y=上,∴a=1,b=3,∴A(1,3),B(3,1),则AB===2.作
点A关于y轴的对称点A1,作点B关于x轴的对称点B1,连结A1B1,交y轴于点D,交x轴于点C,则
A1(-1,3),B1(3,-1),A1B1=AB+A1B1=2
+4
=6
.故选B.
==4,根据轴对称的性质,四边形ABCD周长的最小值是
6.C [解析] 连结OP,∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵AO=BO, ∴AB=2PO.
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若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,如图,连结OM,交☉M于点P',当点P位于点P'位置时,OP'取得最小值, 过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5. 又∵MP'=2,∴OP'=3, ∴AB=2OP'=6. 故选C.
7.D [解析] 如图,分别以OA,OB为对称轴作点P的对称点P1,P2,连结P1P2,OP1,OP2,P1P2分别交射线OA,OB于点M,N,则此时△PMN的周长有最小值,△PMN周长等于=PM+PN+MN=P1M+P2N+MN,根据轴对称的性质可知,OP1=OP2=OP=,∠
P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点O作MN的垂线段,垂足为Q,在△OP1Q中,可知P1Q=,所以P1P2=2P1Q=3,故△PMN周长的最
小值为3.故选D.
8. [解析] 因为点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,所以DE,DF是△PBC的中位线,所以DE=PC,DF=PB,所以
DE+DF=(PC+PB),即求PC+PB的最小值.因为B,C为定点,P为对称轴上一动点,点A,B关于对称轴对称,所以连结AC,与
对称轴的交点就是点P的位置,PC+PB的最小值等于AC的长度,由抛物线的解析式可得,A(-3,0),C(0,-3),AC=3
,所以
DE+DF=(PC+PB)=.
9.2-2 [解析] 由问题“PD+PG的最小值”考虑到“最短路径问题”,由于点D为定点,因此考虑作点D关于AB轴
对称的点M,如图①,连结PM,GM,则MP=DP.根据两点之间线段最短,当M,P,G三点不在同一条直线上时,PM+PG>MG,即
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