数学运算 第01讲 直接代入

一、题型评述

数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。

二、破题密钥

“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其它方法进行结合使用。

三、例题精析

【例1】（深圳2013-47）小王的旅行箱密码为3位数，且三个数字全是非0的偶数，而且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。则小王今年（ ）岁。 A. 17 B. 20 C. 22 D. 34

【例2】（浙江2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子共30吨，香蕉、柚子和梨共50吨。柚子占水果总数的1/4。一共运来水果多少吨？( ) A. 56吨 B. 64吨 C. 80吨 D. 120吨

【例3】(江苏2013B-91)三位数A除以51，商是a（a是正整数），余数是商的一半，则A的最大值是 A. 927 B. 928 C. 929 D. 990

【例4】（山东2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是48个。问甲仓库原来有多少个集装箱？ A. 33 B. 36 C. 60 D. 63

【例5】（河北2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的1/3，第三次是第二次的2倍。问三个假山的体积之比是（ ）。 A. 1∶3∶5 B. 1∶4∶9 C. 3∶6∶7 D. 6∶7∶8

第02讲 倍数特性

一、题型评述

“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。

二、破题密钥

①2、4、8整除及余数判定基本法则

1. 一个数能被2（或 5）整除，当且仅当其末一位数能被2（__________或 5）整除； 2. 一个数能被4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或 25）整除； 3. 一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。 ②3、9整除及余数判定基本法则

1. 一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除； 2. 一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。 ③7整除判定基本法则

1. 一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数； 2. 一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除 ∴362不能被7整除 【示例】∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除 ∴12047能被7整除 ④11整除判定基本法则

1. 一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为11的倍数；

【示例】∵7394奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是11的倍数 ∴7394不能被11整除

三、例题精析

● 题型一：直接倍数

【例1】（上海2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中1/4是2007年以前的国内外发行的邮票，1/8是2008年国内发行的，1/19是2009年国内发行的，此外尚有不足100张的国外邮票。则该人共有（ ）张邮票。 A. 87 B. 127 C. 152 D. 239

【例2】（2011年424联考-43）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

● 题型二：因子倍数

【例3】（北京2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？ A. 400 B. 420 C. 440 D. 460

【例4】（2012年421联考－61）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：（ ） A. 140万元 B. 144万元 C. 98万元 D. 112万元

● 题型三：比例倍数

核心提示

若 a: b?m: n (m, n互质) ?，则说明a占m份，是m的倍数；b 占n份，是n的倍数；a+b占m+n份，是m+n的倍数；a-b占m-n份，是m-n的倍数。

【例5】（广州2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有90人，美术和

舞蹈专业的学生比例为2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为3∶4,则学生人数最多的专业有多少人？ A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

【例6】（2012年915联考－49）甲、乙两种商品的价格比是3∶5，如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（ ）。 A. 300元 500元 B. 375元 625元 C. 450元 750元 D. 525元 875元

第03讲 化归为一

一、题型评述

如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。这种方法又被为“设1法”或者“设1思想”。

我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。

二、破题密钥

在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。

三、例题精析

【例1】（重庆2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的2倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯浓度的多少倍？（ ） A. 3/2 B. 4/3 C. 6/5 D. 7/6

核心提示

使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：什么样的量可以随便设，什么样的量不行？ 总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这样的量一般需要满足两个条件： 1. 首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小； 2. 其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。 上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。譬如在行程问题中，我想假设某人的速度为1，那么就必须依次满足两个条件： 1. 题目中没有提及任何速度的具体数字大小； 2. 题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可以计算出速度具体大小的。 当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为1或者其他数字，就不会影响结果。同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为1，或者假设总价为1，但不能同时做这两件事情。

【例2】（江苏2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为每千克20元、30元、60元。如果购买这三种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是 A.30元 B.35元 C.40元 D.60元

【例3】（河北2013-48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。1个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台电视机，后来小王又以最初的收购价格将其卖出。问小王在这台电视机交易中的利润率为（ ）。

A. 13% B. 17% C. 20% D. 27%

【例4】（新疆2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司30%股份的陈先生在合并后持有新公司股份的12%，赵先生拥有甲公司15%的股份和乙公司5%的股份，他在合并后的公司中拥有多少比例的股份？（ ） A. 9% B. 10% C. 11% D. 12%

【例5】（广州2013-30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。经对比发现，2月份的居民满意度是85分，比1月份上升了20%，3月份的居民满意度又比2月份下降了20%。则3月份的居民满意度和1月份相比（ ）。 A. 两个月持平 B. 3月份比1月份高4% C. 1月份比3月份高4% D. 3月份比1月份低4%

【例6】（贵州2012－40）某调查队男、女队员的人数比是3∶2，分别为甲、乙、丙三个调查小组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是3∶1，乙组中男、女队员的人数比是5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是（ ）。 A. 4∶9 B. 5∶9 C. 4∶7 D. 5∶7

第04讲 比例假设

一、题型评述

我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。 然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。

二、破题密钥

尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。

三、例题精析

【例1】（广东2012－8）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝每小时为52名男员工35名女员工量体。几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还有24名男员工没有量体。若男女员工的比例为11:7，则该企业共有多少名员工？（ ） A. 720 B. 810 C. 900 D. 1080

【例2】（北京2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。问该商品原来的售价是多少元？ A. 324 B. 270 C. 135 D. 378

【例3】（上海2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车30元/辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶6，中型车与小型车的数量比是4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多270元，这天的收费总额是（ ）。 A. 7280元 B. 7290元 C. 7300元 D. 7350元

【例4】(江苏2013B-87)甲乙丙三人同去商城购物，甲花的钱的1/2等于乙花的钱的1/3，乙花的钱的3/4等于丙花的钱的4/7，结果丙比甲多花93元，则三人一共花的钱是（ ）？ A. 432元 B. 422元 C. 429元 D. 430元