【例5】（浙江2013-57）一个总额为100万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为1/2:1/3:1/4:1/6，请问甲分到的项目额为多少万？( ) A. 35万 B. 40万 C. 45万 D. 50万

第05讲 工程问题

一、题型评述

工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系，是近年来考题中最重要、最常考的重点题型之一。

二、破题密钥

基础公式：工作量=工作时间?工作效率；

核心思想：化归为一法（设“1”法）、比例假设法。

三、例题精析

● 题型一：基础计算型

【例1】（天津2013-9）某项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少，工作效率下降了20%，问完成该项工程比原计划推迟了多少天？（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70

【例2】（安徽2011-9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？（ ） A. 1.4 B. 1.8 C. 2.2 D. 2.6

● 题型二：同时合作型

【例3】（重庆2013-99）甲、乙、丙三人共同完成一项工程用了6小时，如果甲与乙的效率之比为1∶2,乙与丙的效率之比为3∶4，则乙单独完成这项工程需要多少小时？（ ） A. 10 B. 17 C. 24 D. 31 【例4】（山东2013-61）2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦3/10，8台大型收割机和 10台小型收割机在一天内可收完全部小麦。如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台? A. 8 B. 10 C. 18 D. 20

● 题型三：交替合作型

核心提示

“交替合作型”工程问题，是最新考查的重点题型，也是考生易错的难点题型。由于合作的“交替性”，不能简单的使用基础公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。 【例5】（2010年425联考-94）单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间?（ ） A. 13小时40分钟 B. 13小时45分钟 C. 13小时50分钟 D. 14小时

● 题型四：撤出加入型

【例6】（四川2013-60）建筑公司安排100名工人去修某条路，工作2天后抽调30名工人，又工作了5天后再抽走20名工人，总共用时十二天修完。如果整条路希望在10天内修完，且中途不得增减人手，则要安排多少名工人? A. 80 B. 90 C. 100 D. 120

● 题型五：两项工程型

【例7】（国考2014-75）甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。已知甲队单独完成A项目需13天，单独完成B项目需7天；乙队单独完成A项目需11天，单独完成B项目需9天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务？（ ） A. 1/12天 B. 1/9天 C. 1/7天 D. 1/6天

第06讲 十字交叉

一、题型评述

“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”的效果。

二、破题密钥

“十字交叉法”实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：

很多考生疑惑哪种题型可以使用十字交叉法，并且不知道得到的比例是哪两个量的比例，这时，可以列出上面形式的式子来判断。当然这是平时就要积累的，如果考场之上无法判断的话，就不建议使用这种方法，直接列方程更快更准确。

三、例题精析

【例1】（山东2013-60）某单位共有职工72人,年底考核平均分数为85分,根据考核分数,90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？ A. 12 B. 24 C. 30 D. 42

核心提示

当我们使用“十字交叉法”的时候，有一点技巧非常重要，那就是当我们计算得到比例之后，应该如何算得最后的实际数值。 譬如上例中，我们得到比例为5：7，然后就需要跟原题中的实际数字去对照：如果原 题中告诉我们优秀员工是

15个，正好是5的3倍，那么就把5:7这个比例的分子、分母同时乘以3，得到15：21；如果原题中告诉我们其他员工是56个，正好是7的8倍，那么就把5：7这个比例的分子、分母同时乘

以8，得到40：56；而事实上，原题给的是这两者之和为72，5：7这个比例分子、分母之和为12，是72的六分之一，所以应该把5：7这个比例的分子、分母同时乘以6，得到30：42，两个数字分别就是这两个部分的实际数字。

【例2】(甘肃2013-26)甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高20%，则乙商品提价后为多少元？（ ） A. 40 B. 60 C. 36 D. 84

【例3】（江苏2013B-90）有100克溶液，第一次加入20克水，溶液的浓度变成50%；第二次再加入80克浓度为40%的同种溶液，则溶液的浓度变为？（ ） A.45% B.47% C.48% D.46%

【例4】（上海2013A-63）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元。相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%。若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%，且买小鸡苗的总费用最小，则应选购甲、乙两种小鸡苗各有（ ）。 A. 500只、1500只 B. 800只、1200只 C. 1100只、900只 D. 1200只、800只

【例5】（国考2014-64）烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（ ）。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

第07讲 极端思维

一、题型评述

“极端思维”是我们日常生活、学习和工作当中普遍运用的思维方式，也是近年来考题的一大热点内容，大量相关考题出现在近年的试卷当中，各位考生务必对此引起足够的重视。

二、破题密钥

当试题当中出现了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字样时，我们通常需要考虑“极端思维法”。我们需要分析题意，构造出满足题意要求的最极端的情形，所以从本质上来讲，极端思维也是一种“构造设定法”。

三、例题精析

【例1】（江苏2013A-27）5名学生参加某学科竞赛，共得91分，已知每人得分各不相同，且最高是21分，则最低分最低是多少？（ ） A. 14 B. 16 C. 13 D. 15 【例2】（国考2014-65）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多__________的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【例3】（河北2012－42）要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵?（ ）

A. 7 B. 8 C. 10 D. 11

【例4】（春季联考2013-46）60名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计，前30张选票中，甲得15票，乙得10票，丙得5票。问在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？（ ） A. 15 B. 13 C. 10 D. 8

【例5】（浙江2012-58）一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？ A.12人 B.14人 C.15人 D.16人

【例6】（深圳2013-46）一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺。已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有（ ）家。 A. 5 B. 10 C. 20 D. 30

第08讲 基本方程

一、题型评述

方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。尽管数学运算的很多试题不需要也不应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大量的精力，但仍然有着相当一大部分问题，采用方程法才是最简单的。如果论及数学运算“第一重要的方法”，“方程法”当之无愧。

二、破题密钥

数学运算的大部分题型，都可以使用“方程法”来解答。其中，“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”、“和差倍比问题”和“牛吃草问题”一般都应该使用“方程法”；除此之外，“经济利润问题”、“浓度问题”、“年龄问题”、“行程问题”、“等差数列”、“平均数问题”、“容斥问题”、“工程问题”等等题型当中的相当一部分试题也需要利用方程来求解。

三、例题精析

● 题型一：巧设未知数

核心提示

设未知数的时候，应该首先考虑未知数设出来要便于理解，便于表示其它量，便于列出方程。在某些情况下，不一定要直接设所求量，也可以设中间量为x，还可以设某种倍数关系（如12x、5x等）的未知数，以消除方程当中的分数形式。

【例1】甲、乙、丙、丁共有48本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增加3本，乙减少3本，丙增加到原来的3倍，丁减少为原来的1/3，此时四人的书一样多，则原有书本最多的人有（ ）本书。 A.18 B.24 C.27 D.36

【例2】（北京2013-80）某服装如果降价200元之后再打8折出售，则每件亏50元。如果直接按6折出售，则不赚不亏。如果销售该服装想要获得100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？（ ） A. 90 B. 110 C. 130 D. 150

【例3】（上海2013A-58）某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人