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?A＝60°?α由A＋C＝120°，设?，代入已知等式得：
C＝60°－α?1＋
cosA11cosC＝
1cos(60???)＋
1cos(60???)＝
113cos??sin?22＋
13cos??sin?22＝
cos?cos?＝＝－22,
133cos2??sin2?cos2??44422A?C解得：cosα＝， 即：cos＝。
222【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＝－22，设
211＋＝－
cosBcosAcosC11＝－2＋m，＝－2－m ， cosAcosC所以cosA＝
11，cosC＝，两式分别相加、相减得：
?2?m?2?m22A?CA?CA?CcosA＋cosC＝2coscos＝cos＝2，
m?2222cosA－cosC＝－2sin
A?CA?CA?C2msin＝－3sin＝2， 222m?2即：sin
2m22A?C2A?C2A?C＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理
m2?22223(m2?2)2得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos
4222A?C＝2＝。
2m?22【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
11＋＝－22”分别进行均值cosAcosC换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＝－22cosAcosC，和积互化得：
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211＋＝－＝－22，即cosA＋cosC
cosBcosAcosC 14
2cos
2A?CA?CA?Ccos＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－2cos(A-C)
2222＝
2A?CA?CA?C－2(2cos2－1)，整理得：42cos2＋2cos－32＝0, 22222A?C＝
22解得：cos
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a2的最大值和最小值。 【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋ y t2?1cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
22 , , －2 2 x 112∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2]
222t＝-2时，取最小值：－2a－22a－
1 21 ； 22当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－
当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值：
1 。 2?12(0?a?)?1?222∴ f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为?。
212?2?2a?22a?(a?)?22?【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
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4(a?1)(a?1)22a例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2＋2x log2＋log2>0
a4a2a?12恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
4(a?1)(a?1)22a【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行对
4a2aa?1数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
4(a?1)8(a?1)2aa?1【解】 设log2＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－
a2aa?12a(a?1)22aa?1log2＝3－t，log2＝2log2＝－2t，
4a2a?12a代入后原不等式简化为（3－t）x2＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
?3?t?0?t?32a，解得 ∴ t<0即log<0 ??22a?1?t?0或t?6???4t?8t(3?t)?00<
2a<1，解得0 4(a?1)(a?1)22a设元，关键是发现已知不等式中log2、 log2、log2三项之间的联 a4a2a?1系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 xsinθcosθcos2θ10sin2θ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。 222yyxx23(x?y)y【解】 设 sinθcosθ22＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝ yxy2x2k2x210k2k2y210k(x+y)＝1,代入②式得： ＋ 即：2＋2＝22＝2＝3xx23(x?y)yy22210 315 16 1x3x21设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ∴＝±3或± y3t3y3xsinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的 ycosθx2式子：1＋tgθ＝(1?tg?)?42103(1?1)tg2?102＝tgθ，设tg2θ＝t，则3t2—10t＋3＝0， 3∴t＝3或 x31， 解得＝±3或±。 y33【注】 第一种解法由 sinθcosθ＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。 yxxsinθ第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两 ycosθ种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。 (x?1)2(y?1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。 916(x?1)2(y?1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于 916是实施三角换元。 x?1(x?1)2(y?1)2y?1【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ， 91634?x?1?3cosθ即：? 代入不等式x＋y－k>0得： y??1?4sinθ?3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。 16