平面向量复习讲义

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

?AB)； |AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如 下列命题：（1）若a?b，则a?b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB?DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，

,?c，,/c，则AB?DC。（5）若a?bb则a?c。（6）若a/bb则a//c。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，

j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的线性运算：

（1）向量加法：

①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，

BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a?b

定：a + 0-= 0 + a=a,

当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|； 当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，

1

当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|； 若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 结论：a?b?a?b

②平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。

③加法的运算律

1）向量加法的交换律：a+b=b+a

2）向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)

（2）向量减法：

向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

1.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b 2.求作差向量：已知向量a、b，求作向量a ? b ∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O，

作OA= a， OB= b 则BA= a ? b

b

B a

b

a?b O a 即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 注意：1?AB表示a ? b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a + (?b)

B’

a O b

B

b 2

?b

a B

b A

a+ (?b)

课堂练习：

1.化简：①AB?BC?CD?___；②AB?AD?DC?____；③(AB?CD)?(AC?BD)?_____

（答：①AD；②CB；③0）；

2.若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝_____

（3）向量数乘：求实数λ与向量a的积的运算

1．.λa|＝|λ|_|a|_______；

2．当λ>0时，λa的方向与a的方向___相同_；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反____；当λ＝0时，λa＝0____

3．向量数乘的运算律

λ(μa)＝_（λμ）a______；(λ＋μ)a＝___λa＋μa__；λ(a＋b)＝__λa＋λb_____。

（4）共线向量定理

a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．（证明三点共线）三点A、B、C共线?AB、 AC共线。

注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

例1. 设两个非零向量a与b不共线，

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→

四．平面向量的基本定理：

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、

?2，使a=?1e1＋?2e2

我们把不共线的向量e1和e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

????????向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OA?a，OB?b，则∠AOB＝?，叫向量a、b的夹角，

????当??0，a、b同向，当??180，a、b反向，当??90，a与b垂直，记作a⊥b。

例1如图，在△ABC中，E、F分别为AC、AB的

3

????

中点，BE与CF相交于G点，设→AB＝a，→

AC＝b，试用a， b表示→

AG.

用方程思想解决平面向量的线性运算问题：

例2如图所示，在△ABO中，→OC＝1→→1→4OA，OD＝2

OB，AD与BC相交于点M，

设→OA＝a，→OB＝b.试用a和b表示向量OM→

. 解 设OM→

＝ma＋nb，

则AM→＝OM→－→

OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. →AD＝→OD－→OA＝1→→12

OB－OA＝－a＋2

b.

又∵A、M、D三点共线，∴AM→与→

AD共线． ∴存在实数t，使得AM→＝tAD→

，

即(m－1)a＋nb＝t??

－a＋1

2b??.

∴(m－1)a＋nb＝－ta＋1

2

tb.

?m－1∴?＝－t?，消去t得，m－1＝－2n，??n＝t

2即m＋2n＝1.

又∵→CM＝→OM－→OC＝ma＋nb－14a＝??m－14??a＋nb， →CB＝→OB－→OC＝b－114

a＝－4

a＋b.

又∵C、M、B三点共线，∴CM→与→

CB共线．

∴存在实数t1，使得CM→＝t1→

CB，

∴??m－14??a＋nb＝t1

1??－4a＋b??

， ?∴??m－1＝－144t1

，消去t1得，4m＋n＝1.

??n＝t1

由①②得m＝17，n＝3→137，∴OM＝7a＋7

b.

课堂练习：

（1）若a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)，则c?______

4

（答：a?b）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. e1?(0,0),e2?(1,?2) B. e1?(?1,2),e2?(5,7) C. e1?(3,5),e2?(6,10) D. e1?(2,?3),e2?(,?)

（答：B）；

（3）已知AD,BE分别是?ABC的边BC,AC上的中线,且AD?a,BE?b,则BC可用向量a,b表示为_____

（答：a?b）；

（4）已知?ABC中，点D在BC边上，且CD?2DB，CD?rAB?sAC，则r?s的

值是___

（答：0）

五．平面向量的坐标运算：

若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) (2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2) (3)数乘：??a＝(??x1，??y1)

（4）向量的坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

（5）中点坐标：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为( （6）向量相等：:若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

??1???1???????????????123212342343x1?x2y1?y2,) 22a?b?x?x2y?y2

（7）向量共线或平行：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a//b，则x1y2?x2y1.

题型一 求向量的坐标

【例题1】如图所示，若OA?2,OA与x轴正方向夹角为30°，求向量OA的坐标.

y

??A

x

O 【例题2】?ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8)，D为BC的中点，求向量

5

???AB,AD,BC.

题型二 由向量相等求参数的值

【例题3】已知向量a?(x?y,xy),b?(5,?2)，若a?b，求x,y的值.

题型三 平面向量的坐标运算 1. 向量坐标运算的直接应用

?22???1?3? 【例题4】已知平面向量a?(1,1),b?(1,?1)，则向量a?b=（ ）

22?? A. (2,1) B. (?2,1) C. (1,2) D. (?1,2)

2. 利用向量坐标运算求点的坐标

【例题5】已知A(?2,4),B(3,?1),C(?3,?4)且CM?3CA,CN?2CB,求M,N的坐标.

题型四 平面向量平行的坐标运算

【例题6】(1)若向量a?(x,1),b?(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

????（答：2）；

（2）已知a?(1,1),b?(4,x)，u?a?2b，v?2a?b，且u//v，则x＝______

（答：4）；

（3）设PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线

（答：－2或11）

6

六．平面向量的数量积

（1）两个非零向量夹角的概念：

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 说明：1．当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

2．当??180时，ａ与ｂ反向；

3．当??90时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

4．注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?

（2）平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量abcos?叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=abcos?，（０≤θ≤π）.注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

其中?是a与b的夹角，acos?(bcos?)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定0向量与任何向量的数量积为0. （3）两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量， 1．a?b ? a?b = 0

2．当a与b同向时，a?b = |a||b|； 当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或|a|?a?a |a?b| ≤ |a||b| cos? =

a?b

|a||b| b不同向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当?为 3．当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；钝角时，a?b＜0，且a、当?为直角时，a?b=0.

（4）向量的投影： “投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；

当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|.

7

向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积. （5）向量的运算律：

??2．结合律：a?b?c??a?b??c,a?b?c?a??b?c?，??a??b???a?b??a???b?； 3．分配律：?????a??a??a,??a?b???a??b，?a?b??c?a?c?b?c。

1．交换律：a?b?b?a，??a?????a，a?b?b?a； 如

下列命题中：① a?(b?c)?a?b?a?c；② a?(b?c)?(a?b)?c；③ (a?b)?|a|2

2?????????????????2|a|?|b|?|b|；④ 若a?b?0，则a?0或b?0；⑤若a?b?c?b,则a?c；⑥a?a；

???2????22⑦

a?ba2?ba；⑧(a?b)2?a?b；⑨(a?b)2?a?2a?b?b。其中正确的是______

（答：①⑥⑨）

2222（6）向量的数量积的坐标表示、模、夹角：

1．数量积：a·b＝x1x2＋y1y2，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 2．向量垂直：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0

3．向量的模长：若a＝(x，y)，则|a|?x?y,a?|a|2?x2?y2

2224．向量的夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos?a,b??a?b?|a||b|x1x2?y1y2x?y2121?x?y2222

5．两点间的距离：若A?x1,y1?,B?x2,y2?，则|AB|? 6．a在b方向上的正射影的数量为|a|cos?a,b??(x1?x2)2?(y1?y2)2

a?bx1x2?y1y2 ?22|b|x2?y2

课堂练习：

1.已知|a|?3，|b|?5，且a?b?12，则向量a在向量b上的投影为______

（答：

2.已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______

（答：???????????????????12） 541或??0且??）； 33??????133.已知?OFQ的面积为S，且OF?FQ?1，若?S?，则OF,FQ夹角?的取值范围是

22_________

（答：(4.△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC?_________

（答：－9）；

8

???????????,)）； 43

5.已知a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b，c与d的夹角为6.已知a?2,b?5,ab??3，则a?b等于____

1212?4，则k等于____

（答：1）；

（答：23）；

7.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|＝_____ （答：13）； 8.已知

a,b是两个非零向量，且a?b?a?b，则a与a?b的夹角为____

七．向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

b同向或有0?|a?b|?|a|?|b| （2）||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特别地，当a、 b反向或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；当a、 b不共线?||a|?|b||?|a?b|；当a、?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似).

（3）在?ABC中，①若A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则其重心的坐标为

y?2y?3?x?x2?x3y?G?1,1?。如

33??若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______

24（答：(?,)）；

33②PG?1(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为

3?ABC的重心；

③PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；

④向量?(AB?AC)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直

|AB||AC|线)；

⑤|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；

?，（3）若P分有向线段PP点M为平面内的任一点，则MP?MP1??MP2，12所成的比为

1??MP1?MP2； 特别地P为PP12的中点?MP?2（4）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线?存在实数?、?使得PA??PB??PC且????1.

如

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足

OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______

（答：直线AB）

????????? 9