[1] 随机事件·样本空间·事件的关系与运算
一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
【 C 】1. 在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示“电炉断电”，而T(1)?T(2)?T(3)?T(4)为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于
(A){T(1)?t0}． (B){T(2)?t0}． (C){T(3)?t0}． (D){T(4)?t0}．
【 D 】2. 设事件A表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销”，则事件A表示
(A)“甲种产品滞销而乙种产品畅销”． (B)“甲、乙两种产品均畅销”．
“甲种产品滞销”． (D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”． (C)【 B 】3. 设A,B,C是某随机试验中的三个事件，D表示“只有A发生”，则
(A)D?A． (B)D?ABC． (C)D?ABC． (D)D?A(B?C)．
【 D 】4. 对于任意二事件A和B，与关系式A?B?B不等价的是 ．．．
AB??AB??(A)A?B． (B)B?A． (C) ． (D) ．
二、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数．设事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现的点数能被 3整除”．
(1) 写出试验的样本点及样本空间；
(2) 把事件A及B分别表示为样本点的集合；
(3) 事件A,B,A?B,AB,A?B分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．
【解】（1）设ωi表示“出现i点”(i?1,2,?,6)，则样本点为
ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6，
样本空间为
??{?1,?2,?3,?4,?5,?6}.
（2）A?{ω2,ω4,ω6}, B?{ω3,ω6}; （3）A?{ω1,ω3,ω5}，表示“出现奇数点”；
B?{ω1,ω2,ω4,ω5}，表示“出现的点数不能被3整除”；
A?B?{ω2,ω3,ω4,ω6}，表示“出现的点数能被2或3整除”；
AB?{ω6}，表示“出现的点数能被2和3整除”；
A?B?{ω1,ω5}，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”.
三、一盒中有5只外形完全相同的电子元件（分别标有号码1,2,3,4,5），一次从中任取3只，记录所取元件的号码． (1) 写出随机试验的样本点及样本空间；
(2) 用样本空间的子集表示下列事件：A?“最小号码为1”；B?“号码之和为10”．
【解】(1) 设ωijk表示“出现号码为i,j,k”(i,j,k?1,2,?,5;i?j?k)，则
Ω?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145,ω234,ω235,ω245,ω345}
(2)A?{ω123,ω124,ω125,ω134,ω135,ω145}.
B?{?235,?145}.
四、设A,B,C为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A发生, B与C都不发生；
（或A(B?C)） 【解】 ABC；
(2) A,B,C都发生； 【解】 ABC
(3) A,B,C中至少有两个发生；
【解】ABC?ABC?ABC?ABC或AB?BC?CA (4) A,B,C中至多有两个发生．
【解】ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC
或A?B?C或ABC.
[2] 概率的古典定义·概率加法定理
一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)
1. 电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0,1,2,?,9中的任一个数（但第一个数不能为0），则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为
16A9?A9?0.6048． 16A9?102. 把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为
38A3?A81??0.0667． 1015A103. 将20个球队任意分成两组（每组10个队）进行比赛，则最强的两个队恰
91C18?C210好分在不同组内的概率为??0.5263． 1019C204. 一盒中有20张奖票（其中只有2张有奖），现有两人依次从盒中各抽一张奖票．第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为
1 ?0.1．
105. 一批产品共有200件, 其中有6件次品．任取3件产品恰有1件是次品的
213C194?C6C194概率为?0.0856;任取3件产品没有次品的概率为3?0.9122; 任取33C200C200213C194?C6C194件产品中次品不少于2件的概率为1??3?0.0022． 3C200C20016. 在区间(0,1)内随机地取两个数，则所取两数之和不超过0.5概率为．
8
二、一批产品共有20件，其中一等品8件，二等品12件．现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件等级相同的概率．【要求：使用互不相容情形的加法定理】
【解】设取出的产品中恰有2件等级相同的概率为P(A),则
112C82?C12?C8?C12P(A)??0.7579 3C20三、在1到100共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被3或7整除的概率． 【解】设这个数能被3或7整除的概率为P(A),则
111C33C14C4P(A)?1?1?1?0.43
C100C100C100
11四、 设P(A)?P(B)?P(C)?, P(AB)?P(AC)?0, P(BC)?，求三事件
34A,B,C中至少有一个发生的概率．
【解】因为P(AB)?P(AC)?0,
所以AB?Φ,AC?Φ，从而(AB)C?Φ,可推出P(ABC)?0, 所求为P(A?B?C)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)
?
11113?????0.75. 33344 [3] 条件概率·概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式
一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)
1．设A,B是随机事件，P(A)?0.7，P(B)?0.6，P(B|A)?0.4， 则
P(AB)?0.48．
2．设A,B是随机事件，已知P(A)?0.6，P(B)?0.5，P(A?B)?0.8，则
P(BA)?0.5．
3．设A,B是随机事件，P(A)?0.5，P(B)?0.6，P(AB)?0.8，则
P(A?B)?0.62．
二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
【 D 】1．已知事件A发生必导致事件B的发生，且0?P(B)?1，则P(A|B)?
(B)0.5． (C)0.25． (D)0． (A)1．
【 B 】2．已知P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?，则P(A?B)? 4321111 (B)． (C)． (D)． (A)．2345【 A 】3．已知事件A与B满足条件P(AB)?0.2，且P(A)?0.6，则P(B|A)?
(B)0.6． (C)0.7． (D)0.8． (A)0.5．
三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超
过两次而接通所需电话的概率．
\i?1,2（）, 【解】设A=“拨通电话”，Bi?\第i次才拨通电话则 A?B1?B1B2,
1911 ，P(B1B2)?P(B2B1)P(B1)???，101091011?0.2； 故P(A)?P(B1)?P(B1B2)??1010P(B1)?
四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为0.8．（1）求该考生选出此题
正确答案的概率．（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率． 【解】设A:{该考生选出此题正确答案},B:{该生会做此题}，则
P(B)?0.8,P(A|B)?1,P(A|B)?1 41?0.85 4（1）P(A)?.P(AB)?P(AB)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)?0.8?1?0.2?（2）P(AB)?P(A)P(B|A)?P(B|A)?
P(AB)0.8??0.9412 P(A)0.85五、盒中放有10个乒乓球，其中有6个是新的．第一次比赛时从盒中任取2个来用，比赛结束后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取2个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率．
【解】设A:{ 第二次比赛时取出的都是新球},Bi:{第一次比赛时取出i个新球}，
P(A)?.P(AB0)?P(AB1)?P(AB2)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)211222C6C4C6C52C6C4C4 ?2?2?2?2?2?2?0.207 4C10C10C10C10C10C10
[4] 随机事件的独立性·独立试验序列
一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)
1．两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为0.9和
0.8，则目标被击中的概率为0.98．
2. 设事件A与B独立，P(A)?0.4,P(A?B)?0.7，则P(B)?0.5． 3. 一射手对同一目标独立地进行4次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中1次的概率为
二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
280，则该射手的命中率p?．
381【 C 】1．已知A与B相互独立，且P(A)?0,P(B)?0，则下面命题不正确的．．．是
(A)P(BA)?P(B)． (B)P(AB)?P(A)． (C)P(A)?1?P(B)． (D)P(AB)?P(A)P(B)． 【 D 】2．一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为p，
第二道工序的废品率为q，则该零件加工的成品率为
(A)1?p?q． (B)1?pq． (C) p?q?pq (D) 1?p?q?pq．
【 D 】3．某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为p(0?p?1)，则此人4次射击恰好命中2次的概率为
(B) 6p(1?p)2． (C) 3p2(1?p)2． (D) 6p2(1?p)2． (A) 3p(1?p)2．
三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于
0.1，第二台等于0.2，第三台等于0.3．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．
【解】设A:{ 一小时内第一台车床需要工人照管},B:{一小时内第二台车床需要工人照管}C:{一小时内第三台车床需要工人照管}，D:{一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管}，则P(A)?0.1,P(B)?0.2,P(C)?0.3,
P(D)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.9?0.8?0.7
?0.902
四、电路由电池a与两个并联的电池b及c串联而成．设电池a,b,c损坏的概率分别是0.3,0.2,0.2，求电路发生间断的概率．
【解】设A1:{ 电池a损坏}，A2:{ 电池b损坏}，A3:{ 电池c损坏}，B:{ 电
路发生间断}，则
P(B)?P(A1?A2A3)?P(A1)?P(A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328
五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是
0.7．现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．
【解】设A:{ 任何一人贡献正确意见}，则P(A)?0.7,于是所求概率为
P(m?5)?P9(5)?P9(6)?P9(7)?P9(8)?P9(9)
[5] 离散随机变量·三个重要的离散分布
一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)
1．设离散随机变量X的概率分布为
P(X?k)?则常数a?1． 55a,k?1,2,?， k22．某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为??3的泊松分布，则该段高速公路每周发生4次交通事故的概率为0.168075．（取e?3?0.0498）
3．自动生产线在调整以后出现废品的概率为p(0?p?1)．生产过程中出现废品时立即进行调整．则在两次调整之间生产的合格品数X的概率分布为：
Xp(x)012?n?
p
pqpq2pqn二、已知一批产品共20个，其中有4个次品．
（１）不放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布． （２）放回抽样：抽取6个产品，求样品中次品数的概率分布．
【解】（1）设随机变量X维取出的样本中的次品数，则X~H(6,4,20)，即X的概率函数为
6?xC4xC16P(X?x)?6C20(x?0,1,2,3,4)
从而X的概率分布为
X p(xi) 0 1 2 3 4 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031
（2）设随机变量Y为取出的样本中的次品数,则Y~B(6,0.2),Y的概率函数为
P(Y?y)?C6y(0.2)y(1?0.2)6?y(y?0,1,2,3,4,5,6)
从而Y的概率分布为
0 Y 1 2 3 4 5 6 p(yj) 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001
三、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，设X表示在取得合格品以前已取出的废品数，求X的概率分布．
【解】设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为
0,1,2,3，
93399 P(X?1)???， P(X?0)??，124121144329932191 P(X?3)????? P(X?2)????，，1211102201211109220即
X p(xi) 0 3 41 9 442 9 2203 1 220
四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算）．
【解】（1）设随机变量X为一小时内使用电话的用户数，则X~B(300,0.01),
4P(X?4)?C300(0.01)4(1?0.01)296?0.168877
（2）用泊松分布计算(λ?np?300?0.01?3)
34?3P(X?4)?e?0.168075
4! 相对误差为??0.168877?0.1680750.168877?5000.
[6] 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
?1?,x?I;【 C 】1. 若函数F(x)??1?x2是某个连续随机变量X的分布函数，
?x?I?1,则I?
(A)(??,? 1)． (B)(1, ??)． (C)(??,0)． (D)(0, ??)．
1??sinx,x?I;【 B 】2. 若函数f(x)??2是某个连续随机变量X的概率密度，
?x?I?0,则I?
(A)[0,?2]． (B)[0,?]． (C)[0,3? ]． (D)[0,2?]．
2【 A 】3. 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，若函数
F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某随机变量的分布函数，则必有
3232(A)a?,b??． (B)a??,b?．
55551313(C)a??,b?． (D)a?,b??．
2222?3x2,0?x?1,【 B 】4. 设随机变量X的概率密度为f(x)?? 已知
.?0,其它P(X?a)?P(X?a)，则a?
(A)12． (B)132． (C)13． (D)133．
二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数X的分布函数F(x)，并作出分布函数y?F(x)的图形．
【解】设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为
0,1,2,3，
93399 P(X?1)???， P(X?0)??，124121144329932191 P(X?3)????? P(X?2)????，，1211102201211109220即
0 1 2 3 X 3991p(xi) 444220220故X的分布函数为 x?0?0,?34,0?x?1??F(x)??2122,1?x?2 其图形见下：
?219220,2?x?3??x?3?1,y1O
123x
三、设连续随机变量X的分布函数为
F(x)?A?Barctanx, ???x???．
（1）求系数A及B．（2）求X落在区间(?1,1)内的概率．（３）求X的概率密度．
ππ【解】(1) 由limF(x)?A?B?(?)?0，limF(x)?A?B??1，
x???x???2211 解得A?,B?.
2π11 即F(x)??arctanx.．
2π11111(2) P(?1?X?1)?F(1)?F(?1)?(?arctan1)?[?arctan(?1)]?.
22222(3) X的概率密度为
f(x)?F?(x)?1，x?(??,??)．
?(1?x2)
四、设随机变量X的概率密度为
f(x)?Ae?x, ???x???．
（1）求系数A．（2）求X落在区间(0,1)内的概率．（3）求随机变量X的分布函数． 【解】(1) 由?即有
????f(x)dx?1，得?Ae?????xdx?2A?e?xdx?2A?1，解得A?0??1，21?xe, (???x???). 2111111(2) P(0?X?1)??f(x)dx??e?xdx?(?e?x1)?(1?). 000222e?1xx?2e,x?0(3) F(x)?P(X?x)??f(x)dx，f(x)??，
??1?x?e,x?0?2xx1?x1xx1xF(x)?f(x)dx?edx?edx?e; x?0时，??????2???22xx1?xx101F(x)??f(x)dx??edx?(?exdx??e?xdx)?1?e?x. x?0时，????202??2f(x)?
[7] 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布
一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．
【解】设随机变量X表示乘客的候车时间，则X~U(0,5)，其密度函数为
?15,x?[0,5] f(x)??x?[0,5]?0,于是有P(0?X?3)??f(x)dx?033?0.6. 5
二、已知某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从指数分布，概率密度为
x?1?800?f(x)??800e,x?0,
?0,x?0.?任取3个这种电子元件，求至少有1个能使用1000h以上的概率．
【解】设A?“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；A1、A2、A3分别表示甲、乙、丙元件能使用1000h以上．则
?1?800P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(X?1000)??edx??e8001000800??xx??1000?e?54,
由加法公式及A1,A2,A3的独立性有
P(A)?P(A1?A2?A3)
?P(A1)?P(A2)?P(A3)?P(A1A2)?P(A2A3)?P(A1A3)?P(A1A2A3)
?3e?54?3e?52?e?154?0.63 8【另解】设A?“3个电子元件中至少有１个能使用1000h以上”，
， A?“3个电子元件中每个都不能使用1000h以上”
任一元件不能使用1000以上的概率为
P(X?1000)??10000?1?800edx??e800800xx10000?1?e，
?54?54故 P(A)?1?[P(X?1000)]?1?(1?e
3)3?0.638.
三.设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求下列随机变量函数的概率分布： （1）Y1?1?2X； （2）Y2?【解】X~B(3,0.4),其概率函数为
P(X?x)?C3x(0.4)x(1?0.4)3?x(x?0,1,2,3)
X(3?X) ． 2X的概率分布为
X p(xi) 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064
（1）Y1?1?2X的概率分布为
Y1 p(yi) 1 ?1 ?3 ?5 0.216 0.432 0.288 0.064 即
Y1 p(yi) ?5 ?3 ?1 1 0.064 0.288 0.432 0.216
（2）Y2?X(3?X)的概率分布为 2Y2 p(yj) 0 1 1 0 0.216 0.432 0.288 0.064 即
Y2 p(yj) 0 1 0.28 0.72
四、设随机变量X的概率密度为
?e?x,x?0; fX(x)???0,x?0.求随机变量Y?eX的概率密度fY(y)． 【解】对任意实数y，Y的分布函数
FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)?FX(lny)
所以随机变量函数Y?lnX的概率密度为
fY(y)?d1(FX(lny))?fX(lny)?， dyy即 fY(y)?
1 (???y???). y2 [8] 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量X表示第一次出现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布及Y的边缘概率发布．
【解】X的可能取值i?1,2,?,6， Y的可能取值j?1,2,?,6，i?j时，p(i,j)?P(X?i,Y?j)?0；
111??,(j?1,2,?,6)； 6636122x?2时，p(2,2)?P(X?2,Y?2)???,
6636111p(2,j)?P(X?2,Y?j)???,(j?3,4,5,6)；
6636133x?3时，p(3,3)?P(X?3,Y?3)???,
6636111p(3,j)?P(X?3,Y?j)???,(j?4,5,6)；
6636?
x?1时，p(1,j)?P(X?1,Y?j)?x?6时，p(6,6)?P(X?6,Y?6)?166 ??；6636二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为
Y X 1 1 362 1 362 363 1 361 363 364 1 361 361 364 365 1 361 361 361 365 366 1 361 361 361 361 366 361 2 0 0 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 0 0 0
Y的边缘概率分布为
1 Y 1PY(yj) 36
2 3 363 5 364 7 365 9 366 11 36二、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)．
23 （1）求系数A,B,C．（2）求(X,Y)的联合概率密度．（3）求X,Y的边缘分布函数
及边缘概率密度．
【解】（1）由F(??,??)?1,F(0,??)?0,F(??,0)?0，得
ππ?A(B?)(C?)?1?22?ππ1? 解得，B?C?A?. A(B?0)(C?)?0?22π2??AC(B?π)?0?2?1?x?y（2）因为F(x,y)?2(?arctan)(?arctan)，所以（X，Y）的联合概率
223?2密度为
6f(x,y)?Fxy(x,y)?2.
π(4?x2)(9?y2)（3）X及Y的边缘分布函数分别为
FX(x)?F(x,??)??dx???x????1x2dx?arctanf(x,y)dy????π(4?x2)π2xx
?? ?11x， ?arctan2π2（或FX(x)?F(x,??)?1πxππ（?arctan）(?)) 2222π2y??x31yFY(y)?F(??,y)??dy?f(x,y)dx??dy?arctan??????π(9?y2)π311y ??arctan，
2π31πππy(或FY(y)?F(??,y)?2（?)(?arctan）)
3π222 X及Y的边缘概率密度分别为
y??
fX(x)??
???????61211f(x,y)dy??dy??dy22?2???2(4?x2)(9?y2)0?(4?x)(9?y)??1211y??2?(arctan)? 02223π(4?x)3π(4?x)d（或fX(x)?(FX(x))）
dx??????6121fY(y)??f(x,y)dx??dx?dx 22?2?????2(4?x2)(9?y2)0?(9?y)4?x?121x(arctan2?2(9?y2)2??0)?3
?(9?y2) （或fY(x)?
三、设(X,Y)的联合概率密度为
d(FY(x))） dy?Ae?(2x?3y), x?0,y?0; f(x,y)??.?0 , 其它（1）求系数A．（2）求(X,Y)的联合分布函数．（3）求X,Y的边缘概率密度． 【解】（1）由????????????f(x,y)dxdy?1，
??0有A?e?2xdx?e?3ydy?01A?1，解得A?6. 6 （2）(X,Y)的联合分布函数为
F(x,y)??dx???xy??xy??6?e?2xdx?e?3ydyf(x,y)dy??00??0x?0,y?0其它
?(1?e?2x)(1?e?3y)x?0,y?0??
其它?0 （3）X及Y的边缘概率密度分别为
fX(x)?? fY(y)?????????2x???6e?2xe?3ydy，x?0，?2e，x?0，f(x,y)dy??0??
0，x?0，?x?0，??0，???3y???6e?2xe?3ydx，x?0，?3e，y?0，f(x,y)dx??0??y?0，?x?0，?0，?0，????四、设二维随机变量(X,Y)在抛物线y?x2与直线y?x?2所围成的区域R上服从均匀分布．（1）求(X,Y)的联合概率密度．（2）求概率P(X?Y?2)． 【解】(1) 设(X,Y)的联合概率密度为
?C,(x,y)?R; f(x,y)???0 ,(x,y)?R.则由??Cdxdy?C?dx?2dy?C?(x?2?x2)dx
R?1x?12x?22x2x329C?C(?2x?)?1??1
232解得C?2．故有 9?2?,(x,y)?R;f(x,y)??9
??0 ,(x,y)?R.
2?x2?x2122(2) P(X?Y?2)???f(x,y)dxdy??dx?dy??dx?2dy
x902?x91x?y?2212222xdx?(2?x?x)dx ??01992212x2x3213?)1? ?x0?(2x?．
992327 ?
[9] 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布
一、已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?3e?x?3y, x?0,y?0; f(x,y)?? 其它.?0 , 试问随机变量X和Y是否独立？请说明理由． 【解】fX(x)?????????x???3e?xe?3ydy，x?0，?e，x?0，f(x,y)dy??0??
0，x?0，?x?0，??0，fY(y)?????????3y???3e?xe?3ydx，x?0，?3e，y?0，f(x,y)dx??0??
y?0，?x?0，?0，?0，f(x,y)?fX(x)?fY(y),故随机变量X和Y独立.
二、设X与Y是两个相互独立的随机变量，X在[0,1]上服从均匀分布，Y的概率密度为
1?2y??e, y?0, fY(y)??2?, y?0.?0 (1) 求(X,Y)的联合概率密度．（2）求概率P(Y?X)．
?1,x?[0,1]【解】(1)X的概率密度为fX(x)??，(X,Y)的联合概率密度为（注
?0,x?[0,1]意X,Y相互独立）
y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e,0?x?1,y?0
?其它?0, （2）P(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy??dx?0?x2210?121??x?11?2edy??(?e202yy??x)dx??e01?x22dx
??2e?2(1?e)?0.7869
三、设随机变量X与Y独立，且X,Y的概率密度分别为，
?2e?2y, y?0;?e?x, x?0; fY(y)?? fX(x)???0 , y?0.?0 , x?0.求随机变量Z?X?Y的概率密度．
?1,x?[0,1]【解】X的概率密度为 fX(y)?? ，由X,Y独立，故Z?X?Y的概
?0,x?[0,1]率密度
fZ(z)??fZ(z)??zz?1????fX(x)fY(z?x)dx??fY(z?x)dx， 令z?x?t，则
01fY(t)dt
(1)z?0时, fZ(z)?0；
(2)0?z?1时，(即0?z?1且z?1?0)
fZ(z)??0z?1fY(t)dt????z0fY(t)dt??0dt?z?10?z0tdt?12z； 2(3) 1?z?2时，(即1?z?2且0?z?1?1)
fZ(z)??1z?1fY(t)dt?z1fY(t)dt??tdt?z?11?z0(2?t)dt??z2?3z?3； 2(4) 2?z?3时，(即2?z且1?z?1?2)
fZ(z)??2z?1fY(t)dt?z2fY(t)dt??(2?t)dt?z?12?z00dt?129z?3z?； 22(5) z?3时，(即z?1?2),fZ(z)?0.
12?z,0?z?1,?2?3??z2?3z?,1?z?2综上有Z的密度函数为fZ(z)??. 2?129z?3z?,2?z?3?22?0,其它? 四、假设一电路装有三个相同的电子元件，各元件工作状态相互独立且它们无故障工作时间都服从参数为??0的指数分布．已知三个元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作．试求该电路正常工作时间T的概率分布．
L11 L12 L13 L21 L22 L23 【解】由题设，知Xij的分布函数为
?1?e?λx,x?0 FXij??x?0?0,先求各个并联组的使用寿命Yi (i?1,2,3)的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以有
Yi?max(X1i,X2i) (i?1,2,3)
从而有Yi (i?1,2,3)的分布函数为
FYi(y)?FX1iFX2i?(1?e?λy)2,???0,y?0 y?0设随机变量Z表示仪器使用寿命，因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有
Z?min(Y1,Y2,Y3).从而有Z的分布函数为
?1?[1?FY1(z)][1?FY2(z)][1?FY3(z)],z?0?1?[1?(1?e?λz)2]3,z?0FZ(z)????z?0?0,z?0?0,
故Z的概率密度为
?6λe?3λz(1?e?λz)(2?e?λz)2,z?0fZ(z)??.
z?0?0,
[10] 随机变量的数学期望与方差
一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．
【解】设随机变量X为取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为
0,1,2,3，
93399 P(X?1)???， ?，124121144329932191 P(X?3)????? P(X?2)????，，1211102201211109220P(X?0)?即有
X p(xi) 0 3 41 9 442 9 2203 1 220故
E(X)?0?3991?1??2??3??0.3 444220220X2的分布为
X2 0 3 41 9 444 9 2209 1 220p
故
E(X2)?0? 从而有
39919?1??4??9???0.4091, 4442202202292?（0.3）?0.3191, 22D(X)?E(X2)?E2(X)?σ(X)?D(X)?0.3191?0.565.
二、一工厂生产的某种设备的寿命X（以年为单位）服从参数为??0.25的指数分布．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利1000元，调换一台设备厂方需花费3000元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．
x?1?4?e, x?0 ;【解】由题设，概率密度为f(x)??4
? , x?0 .?0 则
P(X?1)??1????1?4f(x)dx??e4dx??e41?1?e 0041?14xx1进而有 P(X?1)?1?P(X?1)?e.
设Y表示厂方出售一台设备获得的净赢利，则Y的概率分布为
Y p
从而有
?2000 1?e?141000 e?14 E(Y)??2000?(1?e)?1000?e?14?14?3000?e?14?2000?336.4
厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为336.4元．
三、设随机变量X的概率密度为
1?,x?1;? f(x)???1?x2?0 , x?1.?求X的数学期望E(X)与方差D(X)． 【解】E(X)??xf(x)dx??x????1??212??11π1?x12dx?0
21x2D(X)??xf(x)dx??x?dx??dx
22???10ππ1?xπ1?x?2x11[?1?x2?arcsinx]1?. 0π2221?xf(x)?e, ???x??? ，
2四、设随机变量X的概率密度为
求X的数学期望E(X)与方差D(X)．
1???x【解】E(X)????xf(x)dx????xedx?0
2????1??2?xD(X)??xf(x)dx??xedx??x2e?xdx?Γ(3)?2!?2??02????2
（亦可分部积分计算）
[11] 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理
一、设随机变量X服从二项分布B(3,0.4)，求Y?【解】X的概率分布为
0 X p 0.216
Y的概率分布为 0 Y p 0.216 即
0 Y p 0.28
X(3?X)的数学期望与方差． 21 0.432 2 0.288 3 0.064 1 0.432 1 0.72 1 0.288 0 0.064 Y2的分布为
Y2 p 于是有 E(Y)?0?0.28?1?0.72?0.72 E(Y2)?0?0.28?1?0.72?0.72
D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?0.72?(0.72)2?0.2016
0 0.28 1 0.72 二、设随机变量X的概率密度为
x?1?2?f(x)??2e,??0,x?0;x?0,
求随机变量Y?X的数学期望与方差． 【解】D(Y)?E(Y2)?E2(Y)?2?E(Y)??2???2
u?x2??xf(x)dx????01x?edx?2?x2u?x2x?22???0311u?e?udu?2?()?2??()?2222?2E(Y)??xf(x)dx????????0??1x?edx?2?u?e?udu?2?(2)?2
02
三、游客乘电梯从电视塔底层到电视塔顶层观光．电梯于每个整点的第20分钟
从底层起行．假设一游客在上午八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上均匀分布，记Y为该游客的等候时间．（1）写出Y与X的函数关系．（2）不求
Y的概率分布，直接利用（1）的结果求游客的等候时间的期望． ??【解】（1）f(x)??????1,0?x?60?20?X,0?x?20，Y?? 6080?X,20?x?60?0,其他20 （2）E(Y)??g(x)f(x)dx??(20?x)?6011dx??(80?x)?dx
??0206060606060111??20?dx??60?dx??x?dx=30 0200606060
四、设随机变量X1,X2,?Xn相互独立，并且服从同一分布，数学期望为?，方
1n差为?．求这些随机变量的算术平均值X??Xi的数学期望与方差．
ni?12【解】因为E(Xi)??，D(Xi)??2，且随机变量X1,X2,?Xn相互独立．所以有
n1n11n1nE(X)?E(?Xi)?E(?Xi)??E(Xi)??μ?μ，
ni?1ni?1ni?1ni?1n1n11D(X)?D(?Xi)?2D(?Xi)?2ni?1nni?11D(X)??in2i?1nσ2σ??ni?1n2.
[12] 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律 一、设(X,Y)的联合概率分布如下：
XY01/41/4101/201
（1）求X,Y的数学期望E(X),E(Y)，方差D(X)，D(Y)．（2）求X,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y)．
【解】（1）X,Y 的边缘分布分别为
X pX(xi) 0 1 1/4 3/4 E(X)?33333, E(X2)?,D(X)??()2?, 4444160 1 Y pY(yj) 1/2 1/2 11111, E(Y2)?,D(Y)??()2?, 222241311（2） covX(,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????,
2428 E(Y)?R(X,Y)?cov(X,Y)D(X)?D(Y)?3. 3
二、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?2 , 0?x?1,0?y?x; f(x,y)??
其它 .?0 , （1）求X,Y的数学期望E(X),E(Y)，方差D(X)，D(Y)．（2）求X,Y的协方差cov(X,Y)与相关系数R(X,Y)． 【解】（1）E(X)?E(X2)????????????????xf(x,y)dxdy??dx?x?2?dy?001x001x2, 31, 2????????x2f(x,y)dxdy??dx?x2?2?dy?1x00E(Y)?2?????????????yf(x,y)dxdy??dx?y?2?dy?21x001, 31, 6E(Y)?????yf(x,y)dxdy??dx?y2?2?dy?1122,D(Y)?E(Y)?E(Y)?. 1818??x??11（2）E(XY)??, ?xyf(x,y)dxdy?dxxy?2?dy????0?0??41211cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)????,
43336故 D(X)?E(X2)?E2(X)?R(X,Y)?1?.
D(X)?D(Y)2cov(X,Y)
三、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率．
【解】ε?3σ(X),则P(X?E(X)?3σ(x))?
四、为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率．
【解】设随机变量X表示事件A在n?10000次独立重复试验中发生的次数，则X~B(n,p)，且E(X)?np,D(X)?np(1?p)，
D(X)1?. 29σ(X)9P(fn(A)?p?0.01)?P(X?p?0.01)?P(X?np?0.01n) n?1?np(1?p)p(1?p)?， 1?2(0.01n)0.0001nn?10000，p(1?p)?0.25，故有P(fn(A)?p?0.01)?1?p(1?p)?0.75.
[13] 正态分布的概率分布与数字特征
一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)
71．设随机变量X~N(3,16)，则P{?4?X?10}?2?()?1．
42．设随机变量X~N(1,22)，则P{X?4.56}?2??(1.78)??(2.78)． 3．设随机变量X~N(3,22)，若则P{X?c}?P{X?c}，则c?3．
二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
Y~N(?,52)，p1?P{X???4}，p2?P{Y???5}，【 A 】1．设X~N(?,42)，
则
(A)对任意实数?，都有p1?p2． (B)对任意实数?，都有p1?p2．
(C)对任意实数?，都有p1?p2． (D)对任意实数?，都有p1?p2．
2)，若P{X??1?1}?P{Y??2?1}，【 C 】2．设X~N(?1,?12)，Y~N(?2,?2则必有
(A)?1??2． (B)?1??2． (C)?1??2． (D)?1??2．
【 C 】3．设X~N(?,?2)，则随?的增大，概率若P{X????}
(A)单调增大． (B)单调减少． (C)保持不变． (D)增减不定．
三、已知一批机械零件的直径X(单位：mm)服从正态分布N(100,0.62)，规定直径在范围98.8~101.2(单位：求这批机械零件的不合格率． mm)之间为合格品，【解】设p表示这种机械零件的不合格品率，则
p?P(X?100?1.2)?1?P(X?100?1.2)．
而P(X?100?1.2)?P(?1.2X?1001.2X?100??)?P(?2??2) 0.60.60.60.6 ??(2)??(?2)??(2)?[1??(2)]?2?(2)?1 ?2?0.9772?1?0.9544 故p?1?0.9544?0.0456． 四、假设某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩（百分制）近似服从正态分布，已知平均成绩为72分，96分以上的人数占考生总数的2.3%.试估计成绩在60分至84分之间的考生人数占考生总数的比例.
【解】设X某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩，则X~N(72,?2)．
p?P(X?72?12)?P(X?72?1212)?2?()?1
???已知P(X?96)?1?P(X?96)?1??(96?72?)?1??(24?)?0.023
??(24?)?0.977,??12
?1212)?2Φ()?1?2Φ(1)?1?2?0.8413?1?68.26%σσ?p?P(X?72?12)?P(X?72σ
五、设随机变量X与Y独立，且X~N(?1,?1)，Y~N(?2,?2)；
(1)求随机变量函数Z1?aX?bY数学期望与方差，其中a,b为常数． (2)求随机变量函数Z2?XY数学期望与方差．
2【解】由题设，有E(X)??1,D(X)??12；E(Y)??2,D(Y)??2．从而有
22(1)E(Z1)?E(aX?bY)?E(aX)?E(bY)?aE(X)?bE(Y)?a?1?b?2；
2 D(Z1)?D(aX?bY)?D(aX)?D(bY)?a2D(X)?b2D(Y)?a2?12?b2?2．
(2)E(Z2)?E(XY)?E(X)E(Y)??1?2；
D(Z2)?D(XY)?E(X2Y2)?E2(XY)?E(X2)E(Y2)?E2(X)E2(Y) ?[D(X)?E(X)][D(Y)?E(Y)]?E(X)E(Y) ?D(X)D(Y)?D(X)E(Y)?D(Y)E(X) ??1?2??1?2??2?1．
222222222222
[14] 二维正态分布·正态随机变量的线性性质·中心极限定理
一、设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，已知E(X)?E(Y)?0，
D(X)?16,D(Y)?25，cov(X,Y)?12，求(X,Y)的联合概率密度．
【解】已知?x??y?0，?x?16?4， r?R(X,Y)?cov(X,Y)3?．从而
σxσy531641?r2?1?()2?，1?r2?．
5255按公式
f(x,y)?12πσxσy1?r2?12(1?r)2[(x?μx)2σ2xe2r(x?μx)(y?μy)(y?μy)2??]2σxσyσy可得(X,Y)的联合概率密度为
1f(x,y)?32π
25(x23xyy2?(??)32165025． e二、设随机变量X与Y独立,且X~N(0,1)，Y~N(1,22)，求随机变量
Z?2X?Y?3的概率密度．
【解】由题设，有 E(X)?0，D(X)?1，E(Y)?1，D(Y)?4．
且有 E(Z)?E(2X?Y?3)?2E(X)?E(Y)?E(3)?2,
D(Z)?D(2X?Y?3)?4D(X)?D(Y)?D(3)?8,
且Z~N(E(Z),D(Z))?N(2,8)，故随机变量Z?2X?Y?3的概率密度为
1fZ(z)?2π8
(z?2)2?e2?8?14π(z?2)2?e16 (???z???)．
三、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X（单位：mm）表示轴的直径，随机变量Y（单位：mm）表示轴衬的内径，已知X~N(50,0.32)，
Y~N(52,0.42)，显然X与Y是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在
1~3mm之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．
【解】由题设，知随机变量X与Y是独立的，且
X~N(50,0.32)，Y~N(52,0.42)．
设Z?Y?X, 则有
Z~N(52?(?1)?50,0.42?(?1)2?0.32)?N(2,0.52)．
由题意, 当1?Z?Y?X?3时，轴与轴衬可以配套使用．故所求概率为
1?2Z?23?2P(1?Z?3)?P(??)
0.50.50.5Z?2?P(?2??2)?Φ(2)?Φ(?2)?2Φ(2)?1
0.5 ?2?0.977?21?0.954．4
四、已知100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求：
（1） 任一时刻有70~8670台车床在工作的概率． （2） 任一时刻有80台以上车床在工作的概率．
【解】设随机变量X表示任一时刻正在工作的车床数，则X~B(100,0.8),
E(X)?100?0.8?80, D(X)?100?0.8?(1?0.8)?16．
（1）P(70?X?86)?Φ(86?8016)?Φ(70?8016)?Φ(1.5)?Φ(?2.5)
?Φ(1.5)?[1?Φ(2.5)]?0.9332?0.9938?1?0.927 （2）P(X?80)?1?P(0?X?80)?1?[Φ(80?8016)?Φ(0?8016)
?1?Φ(0)?Φ(?20)?2?Φ(0)?Φ(20)?2?0.5?1?0.5．
[15] 总体与样本·统计量·统计学中的几个常用分布
一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)
1．设总体X~N(0,1)，X1,X2,?,X10是来自该总体的简单随机样本，则统计
量F?3(X1???X4)2(X5???X10)2222~F(4,6)．
2．设总体X~N(0,1)，X1,X2,?,X5是来自该总体的简单随机样本，已知统计量T?k(X1?2X2)2X32?X4?X52服从自由度为3的t分布，则k?15． 53．设抽样得到总体X的100个观测值如下： 观测值xi 1 2 3 4 5 6 频数ni 15 21 25 20 12 7 则样本均值x?3.14；样本方差s2?2.12．
二、设X1,X2,?,Xn是来自总体X的一组简单随机样本，X与S2分别是这组样
本的样本均值与样本方差，证明X与S2的如下关系式：
n1S?(?Xi2?nX2)．
n?1i?12【解】由样本方差公式有
1nS?(Xi?X)2 ?n?1i?1221n2?(X?2XX?X) ?iin?1i?1n2?1?n2???Xi?2X?Xi?nX? n?1?i?1i?1?2?1?n2???Xi?nX? n?1?i?1?三、设总体X的均值与方差分别为?与?2，X1,X2,?,Xn是来自该总体的简单
随机样本，X与S2分别是这组样本的样本均值与样本方差，求
E(X),D(X),E(S2)．
1n1n1n【解】E(X)?E(?Xi)??E(Xi)??μ?μ,
ni?1ni?1ni?11n1D(X)?D(?Xi)?2ni?1n21D(X)??in2i?1nσ2σ?, ?ni?1n2nn22112E(S)?E[(?Xi?nX)]?[?E(Xi2)?nE(X)]
n?1i?1n?1i?1n1{?[D(Xi)?E2(Xi)]?n[D(X)?E2(X)]} ?n?1i?1n1σ222{?[σ?μ]?n[?μ2]}?σ2. ?n?1i?1n四、设总体X与Y相互独立且均服从正态分布N(0, 32)，X1,X2,?,X9和
Y1,Y2,?,Y9分别为来自X与Y的简单随机样本，求统计量U?X1?X2???X9Y12?Y22???Y92的分布．
32)，Y~N(0 ， 32), 所以 【解】因为X~N(0 ，Xi~N(0 ， 32) , Yi~N(0 ， 32) (i?1 , 2 , ? ， 9).
于是有
22E(Xi)?0, E(Yi)?0, SX? D(X)?32?9?SY (i?1 ， 2 ， ? ， 9)
推得U?X1?X2???X9Y12?Y22???Y92?19?Xi9i?119?Yii?19?2X1192??Yi99i?1?X12SY9?X?E(X)
SY9 ?X?E(X)SX9~t(9?1)?t(8), 即U~t(8)分布．
．
[16] 正态总体统计量的分布
一、设总体X~N(40, 52)，从该总体中抽取容量为64的样本，求概率
P(|X?40|?1)．
52),n?64,u?【解】X~N(40 ，X??X?40?~N(0,1)，于是 5/8?/nP(|X?40|?1)?P(|X?40|1|X?40|8?)?P(?) 5/85/85/8588?P(|u|?)?2?()?1?2?0.9452?1?0.890455
二、设总体X~N(25, 4)，样本容量n至少为多大时，才能保证
P(|X?25|?0.5)?0.95？
4),u?【解】X~N(24 ，P(|X?25|?0.5)?P(X??X?24?~N(0,1)，
?/n2/n?0.52/n)?P(|X?25|2/n?nn)?2?()?1?0.95 44|X?25|2/n得?(nn)?0.975,查表得?1.96,由此得n?62, 44三、从正态总体N(?,0.52)中抽取容量为10的样本X1,X2,?,X10，求概率
P{?(Xi?X)2?2.85}．
i?1101【解】??0.522?(Xi?110i?X)2~?2(9),
10P{?(Xi?X)2?2.85}?P{i?1i?110?(Xi?X)2?0.522.852}?P{??11.4} 20.5查表得?0.25(9)?11.4，于是P{?(Xi?X)2?2.85}?0.25
2i?110四、设总体X~N(50, 62)，Y~N(46, 42)，从总体X中抽取容量为10的样本，从
S12总体Y中抽取容量为8的样本，求概率P(2?8.28)．
S2【解】?1?6,?2?4,n1?10,n2?8,于是
S12/624S12F?22??2~F(10?1,8?1)
S2/49S2从而
S124S124P(2?8.28)?P(?2??8.28)?P(F?3.68)?1?P(F?3.68)
9S29S2S12查表得F0.05(9,7)?3.68，于是P(2?8.28)??1?0.05?0.95
S2[17] 参数的点估计
一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
【 A 】1．设总体X~N(?,?2)，X1,X2,X3为来自该总体的一组简单随机样
??本，假设?11X1??X2?X3是未知参数?的无偏估计，则?? 361111(A)． (B) ． (C)． (D)．
2345【 C 】2．设总体X~N(0,?2)，X1,X2,?,Xn(n?2)是来自该总体的简单随机样本，则?2的一个无偏估计量是
1n1n1n1n22Xi．Xi． (A) ?Xi． (B) (C) ?Xi． (D) ??ni?1n?1i?1ni?1n?1i?1【 A 】3．设X1,X2,X3是来自于总体X的简单随机样本，且E(X)??，则未
知参数?的下列无偏估计中最有效的是
1(X1?X2?X3)． (B) 31 (C)(2X1?X2?2X3)． (D)
5 (A)
二、设总体X服从“0?1”分布：
1(X1?2X2?X3)． 41 (X1?2X2?3X3)．
6P(X?x)?px(1?p)1?x, (x?0或1）．
如果取得样本观测值x1,x2,?,xn (xi?0或1)，求参数p的矩估计值与最大似然估计值．
【解】（１）总体X的一阶原点矩为
?1(X)?E(X)?0?(1?p)?1?p?p；
样本均值为
1n1nX??Xi令?1(X)??Xi，得p的矩估计量为
ni?1ni?11n???Xi?X， pni?1进而矩估计值为
1n???xi?x． pni?1 （２）似然函数为
L(p)??p(1?p)xii?1n1?xi?p?i?1nxin?(1?p)?xii?1n．
两边取对数，有
lnL(p)??xilnp?(n??xi)ln(1?p)．
i?1i?1nn 两边对p求导，有
nL?(p)1n1??xi?(n??xi)．
i?1L(p)pi?11?p令
L?(p)?0，得 L(p)n1n1x?(n??i?xi)，
i?1pi?11?p解得
1np??xi?x．
ni?1故p的最大似然估计值为
1n???xi?x． pni?1 三、设总体X的概率密度为
???e?f(x;?)??2x??0,x?,x?0;x?0(??0)
X1,X2,?,Xn是取自该总体的一组简单随机样本，x1,x2,?,xn为样本观测值，
求参数?的最大似然估计值． 【解】似然函数为
L(?)??i?1n?2xie?xi???2nn??x1x2?xne?i?1nxi．
两边取自然对数，有
lnL(?)?nln????xi?ln2nx1x2?xn．
i?1ndnn[InL(?)]???xi?0，得?最大似然估计值为 令d??i?1???n?i?1n．
xi
四、设总体X的概率密度为
x??1??f(x;?)???2xe,??0,x?0;(??0)
x?0.X1,X2,?,Xn是取自该总体的一组简单随机样本, x1,x2,?,xn为样本观测值.
（1）求参数?的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数?的无偏估计，请说明理由. 【解】似然函数为
nL(?)??i?11?2xien?xi??1?2n?xe?ii?1n1n??xii?1．
两边取自然对数，有
lnL(?)?ln?xi?i?11?i?1?xi?2nln?．
n 令
d1n1[InL(?)]??2?xi?2n??0，得?最大似然估计值为 d???i?1?????xi?1nx??． 2n2i
[18] 正态总体参数的区间估计·两个正态总体均值差及方差比的区间估计
一、设总体X~N(?,?2)，若样本观测值为
6.54 8.20 6.88 9.02 7.56
求总体均值?的置信水平为0.95的置信区间．假定：（1）已知??1.2；（2）末知?． 【解】
二、测得16个零件的长度（单位：mm）如下：
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01
12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 设零件长度服从正态分布N(?,?2)，求零件长度的标准差?的置信水平为0.99的置信区间．如果：（1）已知总体均值??12.08(mm)；（2）未知总体均值?． 【解】
三、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量（单位：A?h） 数据如下：
甲厂： 144 141 138 142 141 143 138 137；
乙厂： 142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.
2 设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N(?x,?2x)及N(?y,?y)，
求：
（1）电容量的均值差?1??2的置信水平为0.95的置信区间（假定?1??2）． （2）电容量的方差比?1/?2的置信水平为0.95的置信区间． 【解】
22
四、设总体X~N(?,?2)，已知???0，要使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于l，问需要抽取多大容量的样本？ 【解】
[19] 假设检验的基本概念·正态总体参数的假设检验
一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)
【 A 】1．在显著性假设检验问题中，显著性水平?的意义是：
(A)原假设H0成立，经检验被拒绝的概率．
(B)原假设H0成立，经检验不能拒绝的概率． (C)原假设H0不成立，经检验被拒绝的概率．
(D)原假设H0不成立，经检验不能拒绝的概率．
【 B 】2．考虑对正态总体的均值进行双侧假设检验，如果在显著性水平
?1?0.05下接受原假设H0:???0，则在显著性水平?2?0.01下 (A) 必然拒绝H0． (B) 必然接受H0．
(C) 接受H0的概率为0.01． (D) 拒绝H0的概率为0.05．
二、某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布 N(100, 22)．从该切割机切割的一批金属棒中抽取15根，测得它们的长度（单位：mm）如下： 99 101 96 103 100 98 102 95 97 104 101 99 102 97 100.
（1） 若已知总体方差不变，检验该切割机工作是否正常，即总体均值是
否等于100mm（取显著性水平??005； .）
（2）若不能确定总体方差是否变化，检验总体均值是否等于100mm（取显著性水平??005． .）【解】
三、已知全国高校男生百米跑成绩服从均值为?0?14.5(秒)的正态分布．为了比较某高校与全国高校男子百米跑水平，现从该校随机抽取男生16人进行测试，测得他们的百米跑平均成绩为x?14.1(秒)，标准差为s?0.5477(秒)．试问：在显著性水平??0.05下，上述测试结果能否支持“该校男生的百米跑平均成绩明．显优于全国高校男生百米跑平均成绩”这一结论? ．．．
【解】要检验得假设为H0：??14.5 H1：??14.5.
已知x?14.1，s?0.5477，??0.05，n?16，未知?，应选择统计量
T?|14.1?14.5|0.547716X??sn~t(n?1)．
经计算有t??2.92；经查表得t?(n?1)?t0.05(15)?1.753．
因为t?t?(n?1)，所以在显著性水平??0.05下，应拒绝原假设H0，而接受备择假设H1，即认为该校男生的百米跑平均成绩明显优于全国高校男生百米．．．．跑平均成绩．
四、从某电工器材厂生产的一批保险丝中抽取10根，测试其熔化时间，得到数据如下：
42 65 75 78 71 59 57 68 55 54.
设这批保险丝的熔化时间服从正态分布，检验总体方差?2是否等于122（取显著性水平??005． .）【解】
[20] 两个正态总体参数的假设检验·分布律的假设检验
一、对两批同类电子元件的电阻（?）进行测试，各抽6件，测得结果如下： 第一批：0.140 0.138 0.143 0.141 0.144 0.137 第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 已知元件电阻服从正态分布，检验：
（1） 两批元件电阻的方差是否相等（取显著性水平?=0.05）？ （2） 两批元件的平均电阻是否有显著差异（取显著性水平?=0.05）？
【解】
二、为了提高振动板的硬度，热处理车间选择两种淬火温度T1及T2进行试验，测得振动板的硬度数据如下：
T1: 85.6 85.9 85.7 85.8 85.7 86.0 85.5 85.4;
T2: 86.2 85.7 86.5 85.7 85.8 86.3 86.0 85.8.
设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布，检验淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响（取显著性水平??005． .）【解】
三、甲、乙两台机床生产同一型号的滚珠，且两台机床生产的滚珠的直径都服从正态分布．现从这两台机床生产的滚珠中分别抽取若干个样品，测得滚珠的直径(mm)如下：
甲机床：15.0 14.7 15.2 15.4 14.8 15.1 15.2 15.0; 乙机床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.9. 检验这两台机床生产滚珠的直径是否服从相同的正态分布（取显著性水平． ??005.）【解】
四、在某段公路上，观测每15秒内通过的汽车辆数，得到数据如下：
每15秒通过的汽车数xi 0 频数ni
检验该段公路上每15秒内通过的汽车辆数是否服从泊松分布（取显著性水平??005． .）【解】
24 1 67 2 58 3 35 4 10 5 4 6 2 ?7 0