第一章 绪论

1. 某信源的符号集由A、B、C、D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/8、1/8、3/16和5/16；信源以1000波特速率传送信息。试求：(1) 传送1小时的信息量；(2) 传送1小时可能达到的最大信息量。

解：首先求信源熵，即每个符号所含的平均信息量。根据信息熵公式

可得 2316516??1H(X)??log24?log28?log2?log2 ?48163165??

=2.23 bit/符号

所以，可得该信源的平均信息速率为

Rb?RB?H(X)?1000?2.23?2230 bit/s

(1) 1小时传送的信息量为 I = 2230?3600 = 8.028 Mbit

(2) 由于信源发送符号等概出现时，信源熵为最大，此时，最大信

源熵为

Hmax = log25 bit/符号 = 2.322 bit/符号 所以，1小时传输的最大信息量为 Imax = 2.322?1000?3600 = 8.359 Mbit

2．一个四进制数字通信系统，码速率为1kBaud，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个。(1)求误码率；(2)四个符号独立等概且错1个码元时发生1bit信息错误，求误信率。 解：(1) 1小时传输的码元数为 1000?3600=3.6?106 误码率为

Pe =10/3.6?106=2.8?10-6

(2) 四进制符号独立等概，则每符号含有的信息量为2 bit，则系统

1

1小时传输的信息量为

3.6?106?2= 7.2?106 bit

由题意可知，错误信息量为10 bit，因此，误信率为 10/7.2?106 = 1.4?10-6

推广：独立等概的M进制信号在传输过程中发生1个码元错误时仅错1bit信息量，则误信率与误比特率之间的关系为

Pb?Pe/log2M3．为什么不用信号带宽而用频带利用率衡量数字通信系统的有效性？

因为传输数字信号占用的信道带宽可以小于数字信号带宽，并且数字信号带宽与进制数有关。频带利用率表示每赫兹带宽信道所能传输的码速率或信息速率。显然，频带利用率越大，数字通信系统的有效性越好。

4．在多进制通信系统中，为什么误比特率小于误码率？试以四进制系统为例加以说明？ 在四进制系统中，若四个符号独立等概，则每个符号携带2bit信息量，这四个符号可以用二进制符号00、01、11、10来表示。当00错为11时有2bit信息量发生错误，当00错为01或10时有1bit信息量错误。只有当1个码元中的2bit全部错误时，误信率才等于误码率，实际上这种情况出现的概率比较小，故误信率小于误码率。

5．设某随参信道的最大多径时延为4?s，为了避免发生选择性衰落，在该信道上传输的数字信号的码元宽度为（因为B<=Bc=1/?，所以T >=1/B，大于4?s）。 6．某离散信源输出二进制符号，在（等概）条件下，每个二进制符号携带1比特信息量；在（不等概）条件下，每个二进制符号携带的平均信息量小于1比特。 7．调制信道分为（恒参信道）和（随参信道），短波电离层反射信道属于（随参）信道。 8．当无信号时，加性噪声是否存在？（存在）。乘性噪声是否存在？（不存在）。

2

第二章 信号

1. 设一个随机过程X(t)可以表示成：

X(t)?2cos(2?t??) -??t??式中? 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：

P(??0)?0.5,P(???/2)?0.5试求： E [ X (1)] 和 R 。 X (0,1)解：当t=1时，X(t)的数学期望为

E[X(1)]?E[2cos(2?t??)]|t?1?2E[cos(2???)] =2E[cos(?)]=2(12cos0?12cos?2)?1当t1=0，t2=1时，X(t)的自相关函数为

RX(0,1)?E[X(0)X(1)]?E[2cos??2cos(2???)] =4E[cos?]=4(212222. 设 X (t ) 1 cos 2 x 2 sin 2 ? t 是一个随机过程，其中x1和x2是 ? x? t ?cos0?21cos2?)?2相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为零，方差均为? 2。试求：

（1） ( ， 2( t )] ；（2）X(t)的概率密度函数；（3）R 2 ) ( t1 ,tE [ Xt)]E [ XX 解：（1） E[X(t)]?E[x1cos2?t?x2sin2?t] ?cos2?t?E[x1]?sin2?t?E[x2]?0

E[X2(t)]?E[(x1cos2?t?x2sin2?t)2]2?cos22?t?E[x12]?sin22?t?E[x2]?sin4?tE[x1x2]?(cos22?t?sin22?t)?2??22D[X(t)]?E[X2(t)]?E2[X(t)]??（2）因为x1和x2是相统计独立的高斯随机变量，X(t)是x1和x2的线性组合，所以X(t)也服从高斯分布，其一维概率密度函数可写为：

3

p(x)?12??exp(?x22?2)（3） RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)] ?E[(x1cos2?t1?x2sin2?t1)(x1cos2?t2?x2sin2?t2)] ?E[x2cos2?tcos2?t?x2sin2?tsin2?t

112212 ?x1x2cos2?t1sin2?t2?x1x2cos2?t2sin2?t2]??2(cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2)??cos2?(t2?t1)??2cos2??2??t2?t13. 设有一随机过程 X (t ) ? m (t ) cos( ? 0 t ? ? ) ，其中 ? 在(0,2?)上均匀分布，且与m(t)相互独立，m(t)是以广义平稳随机过程，且其自相关函数为：

?1??, ?1???0? ??Rm(?)??1??, 0???1 ?

?0, 其他 ???（1）试画出自相关函数 R X ( ? ) 的曲线； （2）试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。 解：由题意可知，m(t)的数学期望为常数， f(?)?

12?,0???2?E[X(t)]?E[m(t)cos(?0t??)]?E[m(t)]?2?0cos(?0t??)12?d??0RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[m(t1)cos(?0t1??)m(t2)cos(?0t2??)]?E[m(t1)m(t2)]E[cos(?0t1??)cos(?0t2??)]1?1??Rm(?)?E[cos[2???0(t2?t1)]]?E[cos?0(t2?t1)]?2?2?11?Rm(?)[0?cos?0(t2?t1)]?Rm(?)cos?0?224

?1?(1??)cos?0?, -1

1?1? RX(?)?Rm(?)cos?0???(1??)cos?0?, 0??<1 ?22??

?0, 其他 ? ????

（不妨令f0=3，画出波形图）

（2）显然，X(t)广义平稳，所以有 RX(?)???PX(f)

PX(?)?12???[?(???0)??(???0)]?12Sa(2?2)1?2???02???0? =Sa()?Sa()??4?22?1?11S?PX(?)d?? 或 S?RX(0)??2???224. 设RC低通滤波器如图所示，当输入均值为0、双边功率谱密度为n0/2的白噪声时，求输出过程的均值、功率谱密度和自相关函数。 解：RC低通滤波器的传输特性为

功率谱密度

相关函数

R0(?)?e??|?|R

H(?)?11?j?RCC E[?0(t)]?E[?i(t)]?H(0)?0P0(?)?|H(?)|?Pi(?)??2?2n021??2(RC)2?1?2??2n04RCe?|?|RC 5

5. 试判断下列函数中那些满足功率谱密度的条件： (1) ?(f)?cos22?f, (2) a??(f?a), (3)exp(a-f2)解：根据功率谱密度的性质：非负性，偶函数。可以判断(1)和(3)满足。 6. 加性高斯白噪声的含义是 ， ， 。 （与信号是叠加关系，概率分布服从高斯分布，功率谱密度服从均匀分布）

7. 一个均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是 过程，均值 为，方差 为，在同一时刻它们是相互 。 （高斯，0，1，独立的） 8. 重要概念

什么是广义平稳随机过程？什么是狭义平稳随机过程？二者关系？ 什么是各态历经性？

随机过程的功率谱密度和自相关函数有什么关系？ 正态分布表达式中的常数a和方差?2有何意义？ 信号无失真传输的条件是什么？

6

第三章 模拟调制系统

1. 设一个载波的表达式为：c(t)?5cos(1000?t)，基带调制信号的表达式为：m(t)?1?cos(200?t)，试求出振幅调制时此已调信号的频谱，并画出此频谱图。 解：已调信号

s(t)?m(t)c(t)?(1?cos200?t)5cos(1000?t) ?5cos(1000?t)?5cos200?tcos(1000?t) ?5cos(1000?t)?52(cos1200?t?cos800?t) 由傅里叶变换得

S(f)? 5452[?(f?500)??(f?500)]?[?(f?600)??(f?600)??(f?400)??(f?400)] 已调信号频谱为

S(f) 5/2 5/4 -600 -500 -400 0 400 500 600 f

2. 设一个频率调制信号的载频等于10KHz，基带调制信号是频率为2KHz的单一正弦波，调制频移等于5KHz。试求其调制指数和已调信号带宽。 解：由题意，可设调制信号频率为fm=2KHZ，频偏为?f=5KHz，

则调制指数为 mf = ?f/fm = 5/2 = 2.5 已调信号带宽为B=2(?f+fm)=2?(5+2)=14KHz 3. 设一个角度调制信号的表达式为：

s(t)?10cos(2?10?t?10cos2000?t)6

7

试求：(1)已调信号的最大频移；(2)已调信号的最大相移；(3)已调信号的带宽。

解：(1)由信号表达式可知该角调波的瞬时角频率及最大频偏为

?(t)?2?10??10?2000?sin2000?t???|?10?2000?sin2000?t|?10?2000? ?f?10?2000? /2?=10KHZ6 (2)最大相移为

?(t)?2?10?t?10cos2000?t???|10cos2000?t|?10 rad 6(3)已调信号带宽

调频指数mf=?f/fm=104/103=10 B=2(mf+1) fm =2?(10+1) ?103=22KHz 注：FM波和PM波的带宽形式相同。

4．在模拟通信系统中，有效性与已调信号带宽的定性关系是 已调信号带宽越小，有效性越好 ，可靠性与解调器输出信噪比的定性关系是 解调器输出信噪比越大，可靠性越好 。 5．在AM、DSB、SSB、FM等4个通信系统中，可靠性最好的是 FM系统 ，有效性最好的是 SSB系统 ，有效性相同的是 AM和DSB系统 ，可靠性相同的是 SSB和DSB系统 。 6．在FM广播系统中，规定每个电台的标称带宽为180KHz，调频指

数为5，这意味着其音频信号最高频率为 15KHz 。 7. 单边带信号相干解调时，若接受端本地载波与发送端同频不同相，

对解调输出的影响是 使解调出的基带信号的信噪比下降，信号产生畸变 。 6．已知某单频调频波的振幅是10V，瞬时频率为

f(t)?10?10cos(2??10t)643 试求：(1) 此调频波的时域表达式；(2)此调频波的频率偏移、调频指数和频带宽度如何变化？(3)将调制信号频率提高到2?103Hz，则调频波的频偏、调频指数和频带宽度如何变化

8

解：(1)该调频波的瞬时角频率为

?(t)?2?f(t)?2??10?2??10cos2??10t rad/s643?(t)??t???(t)dt?2??10t?10sin2??10t rad63 此时调频波的总相位为

因此，调频波的时域表达式为 (2)根据频偏的定义

sFM(t)?Acos?(t)?10cos(2??10t?10sin2??10t) rad?f?|?f(t)|max?|10cos2??10t|max?10 KHZ4363 调频指数为

mf=?f/fm=104/103=10 带宽为

B?2(?f?fm)?2(10?1)?20 KHZ (3) 由于频率调制已调波频偏与调制信号频率无关，因此，将调

制信号频率提高后，跳频信号的频偏仍为10KHz，此时，调频指数变为

mf=?f/fm=104/2?103=5

相应带宽为

B?2(?f?fm)?2(10?2)?24 KHZ

讨论：由于 ?f >> fm，所以，虽然调制信号频率增加了一倍，但调

频信号的带宽B却变化很小。

9

第五章 基带数字信号的表示和传输

1．若消息码序列为1101001000001，试写出AMI码和HDB3码的相应序列。

解：AMI码为 +1 -1 0 +1 0 0 -1 0 0 0 0 0 +1

HDB3码为 +1 -1 0 +1 0 0 -1 0 0 0 -1 0 +1

2．设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲

g(t)(g(t)为宽度为T幅度为A的三角波)的有无表示，并且他们的出现概率相等，码元持续时间等于T。试求：(1) 该序列的功率谱密度的表达式；(2) 该序列中有没有频率f=1/T的离散分量？若有，试计算其功率。

解：(1) 由题意可知g(t)表达式为

2T?A(1?|t|) , |t|??g(t)??T2?0 , 其他?g(t)的频谱为

G(?)?AT2Sa(2?T4) 又因为P(0)=P(1)=1/2，令g1(t)= g(t)，g2(t)=0，则有G1(f)= g(t)，G2(f)=

0。将其带入到二进制数字基带信号的双边功率谱函数的表达式中，可得

PS(f)?1T14TAT16221T?P(1?P)|G1(f)?G1(f)|?????221?mm?m??PG()?(1?P)G()?f?12???T?TT?T???22?P(1?P)|G(f)|????m??(1?P)G()??f??TTT??12T41m?AT422Sa(44?T4?)?A2????G(m?m??)??f??TT??m2?Sa(?T4)?16???Sa(m??)??f??2T??频谱图为

10

Ps(f)

A2/16

A2T/16 0 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T 6/T

（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为

f

PV(?)?A2?162?Sa??4(m?2)?(f?mT) 当m = ?1时，f = ?1/T，代入上式

PV(?)?A16Sa(4?2)?(f?1T)?A21624Sa(4?2)?(f?1T) 显然，功率谱中含有位同步频率分量f = 1/T，其功率为

P?A216Sa(4?2)?A216Sa(4?2)?A??A24??2A2?43．设一个二进制基带传输系统的传输函数为：

??0(1?cos2?f?0) |f|?1/2?0H(f)??0 其他?试确定该系统最高的码元传输速率RB及相应的码元持续时间T。

解：由题意可知，基带传输系统为升余弦传输特性，根据Nyquist第

一准则，可等效为理想低通特性。其等效带宽为

W1?12?12?0?14?014?012?0 最高传码率为

RB?2W1?2?? 相应的码元间隔

T?1/RB?2?0

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4．试判断下图中的基带传输系统函数那些能满足无码间干扰传输

4800波特的码元速率。

H（f） H（f） 1 1 ?=0.5的升余弦

-2400 2400 f（Hz） -3600 3600 f（Hz） （a） (b)

H（f） H（f） 1 1

-7200 7200 f（Hz） -3600 -1200 1200 3600 f（Hz） (c) (d)

5．双极性基带信号，当满足 Pg1(t)+(1-P)g2(t)=0 条件时，其功率谱中无离散谱分量。 6．设二进制信息代码的码速率为1000Bd，则AMI码的码速率为 1000 Bd；HDB3码的码速率为 1000 Bd；数字双相码的码速率为 2000 Bd；传号反转码的码速率为 2000 Bd。

7．通过眼图，可以观察到 码间串扰 和 噪声 的大小。

8．设二进制信息代码的码速率为1000Bd，则HDB3码波形、单极性

非归零码波形、占空比为0.4的双极性归零码波形、差分码波形的谱零点带宽分别为 1000Hz、1000Hz、2500 Hz、1000Hz 。 9．采用部分响应系统传输信息有什么优点？付出了什么代价？ 10．升余弦滚降信号的时域和频域衰减速度有何特点？

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第六章 基带的数字调制系统

1． 已知电话信道可用的信号传输频带为600-3000Hz，取载频为

1800Hz，试说明：

(1) 采用?=1余弦滚降基带信号时，QPSK调制可以传输2400b/s数

据；

(2) 采用?=0.5余弦滚降基带信号时，8PSK调制可以传输4800b/s数

据；

解：(1)信道带宽为 B=3000-600=2400Hz

?=1时，QPSK系统得频带利用率为

?b?log2M(1??)?log241?1?1 b/s/Hz数据传输速率为

Rb?B?b?2400?1?2400 b/s(2)?=0.5时，8PSK系统得频带利用率为

?b?log2M(1??)?log281?0.5?2 b/s/Hz数据传输速率为

Rb?B?b?2400?2?4800 b/s2．设有一个2PSK信号，其码元传输速率为1000B，载波波形为Acos(4??106t)。(1)试问每个码元中包含多少个载波周期？(2)若发送“0”和“1”的概率分别是0.6和0.4，试求此信号的功率谱密度的表达式。

解：(1)由载波波形可知已调信号载频为2?106Hz，因此每个码元中包含2?106/1000=2000个载波周期。 (2)2PSK功率谱密度为

P2PSK(f)?14?Ps(f?fc)?Ps(f?fc)?因为Ps为基带信号双极性矩形脉冲的功率谱密度，因此有：

13

Ps(f)?4fsP(1?P)G(f)?G(f)?Tssin?fTs2?fs(2P?1)G(mfs)?(f?mfs)2?fTs12222?P2PSK(f)?fsP(1?P)?|G(f?f)|?|G(f?f)|?f(2P?1)?cc??4s|G(0)|2??(f?fc)??(f?fc)?26??(f?2?10)?sin240?1000??26??f?2?10??sin??(f?2?10)?6210006f?2?10???????660.01??(f?2?10)??(f?2?10)???3．设有一个2DPSK传输系统对信号采用A方式编码，其码元速率为1200B，载波频率为2400Hz，已知输入码元序列为011010，试画出此2DPSK信号序列的波形图。

解：已知绝对序列为： 0 1 1 0 1 0 相对序列：参考码元为“0”, 0 0 1 0 0 1 1

每个码元中包含2400/1200 = 2个载波周期 相位编码： ?=0代表“0”，?=?代表“1”。

4. 设在一个2DPSK传输系统中，输入信号码元序列为0111001101000，试写出其变成相对码后的码元序列，以及采用A方式编码时发送载波的相对相位和绝对相位序列。

解：绝对码序列： 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0

相对序列：参考码元为“0”, 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 绝对相位： 0 ? ? ? 0 0 ? ? 0 ? 0 0 0 相对相位： 0 0 ? 0 ? ? ? 0 ? ? 0 0 0 0

5．试画出用正交调幅法产生16QAM信号的方框图。 解：

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2/4电平转换

A(t) cos?0t s(t) 串/并变换 ?/2相移

2/4电平转换 6. 试对QPSK和BPSK通信系统的频带利用率和误比特率进行比较。 答：QPSK通信系统的频带利用率为2/(1+?) b/s/Hz，BPSK通信系统的频带利用率为1/(1+?) b/s/Hz。可见，在频带利用率方面，QPSK系统要优于BPSK系统。

两系统得误比特率相同。

7．在数字通信系统中，接收机的带通滤波器带宽能否小于已调信号带宽？为什么？

答：在数字通信系统中，接收机的带通滤波器带宽可以小于已调信号带宽。

以线性调制系统为例来说明。线性调制信号的第一零点带宽等于码速的两倍，而传输系统的频带利用率为?=1/(1+?) B/Hz，由于滚降系数?可以小于1，所以?可以大于0.5 B/Hz，即线性调制信号占用的信道带宽可以小于2RB。进入接收滤波器的信号带宽也可以小于2RB，因此接收滤波器带宽可以小于信号带宽。接收滤波器输出信号虽然有失真，但只要整个系统的频率特性满足无码间串扰条件，则这种失真并不影响信息的正确传输。

8．在电话信道中传输数据，当数据速率比较高时，一般采用相位调制而不采用振幅调制或频率调制，为什么？

答：因为相位调制系统的抗噪声性能优于频率调制和振幅调制系统。当数据速率比较高时，占用的信道带宽大，接收机信噪比小，必须采用抗噪声性能好的相位调制方式才能满足误码率要求。另外，当数据速率高时，电话信道不可能提供足够宽的信道来传输2FSK信号，因此，采用频率调制时，电话信道只能传输低速率数据。

9．综合考虑线性多进制数字调制系统的优缺点，给出它的应用范围。 答：当要求传输的信息速率比较高、信道带宽比较小且信道噪声比较小时，应采用多进制数字调制系统。因为多进制线性调制系统的频带利用率高，故可以用比较窄的信道传输较高的信息速率。但这种方式

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的抗噪声性能比较差，只有当信道噪声比较小时才能保证有足够小的误比特率。

10．简述MSK信号的特点。

答：MSK信号是正交信号；包络恒定；相位连续，且在一个码元周期内线性地变化??/2；在一个码元周期内，信号应包括四分之一载波周期的整数倍，信号的频率偏移等于?1/4T Hz，相应的调制指数h=0.5。 11．设有一MSK信号，其码元速率为1000B，分别用f1和f0表示码元“1”和“0”。若f1等于1250Hz，试求f0应等于多少，并画出三个码元“1010”的波形。

解：设载频为fc，已知码元速率fs=1000B，根据 f0= fc-1/4Ts，f1= fc+1/4Ts

得到 f0= f1-1/2Ts =1250-1000/2=750 Hz=5/4fs fc= (f1+ f0)/2=(1250+750)/2=1000 Hz=3/4fs 三个码元“1010”的波形为 sMFSK(t) 1 0 1 0

t

10．设信息速率为106 b/s，则2ASK、2PSK、2DPSK、QPSK、MSK及16QAM信号的第一零点(谱零点)带宽分别为( )。

11．对2ASK、2FSK、2PSK三个系统的性能指标进行比较，其中有效性最差的是( )，可靠性最好的是( )。

12．四相调制相干解调系统中发送端通常采用差分编码，其目的是( )。与此同时，基带信号还采用格雷码，其目的是( )。 13．在解调过程中，( )方式会产生门限效应。

14．线性多进制数字调制系统的优点是( )，缺点是( )。15．设16QAM系统和16PSK系统的接收机信噪比相等，则误码率较小的是( )，原因是( )。

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第四章 模拟信号的数字化

1．若一个信号为s(t)=sin(314t)/314t。试问最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？在用最小抽样频率对其抽样时，试问为保存3分钟的抽样，需要保存多少个抽样值？ 解：信号s(t)=sin(314t)/314t的频谱为

t?? rect()??Sa()?2

??t? rect()?Sa(), ??=2?314?2?2

?? ? Sa(314t)?rect()314?

??/314, |?|?314S(?)?? ?0, 其他

所以，信号最高频率 fH??H/2??314/2??50Hz根据低通信号抽样定理，最小采样频率为 fs?2fH?2?50?100Hz即每秒采100个样点，所以，3min共有3?60?100=18000个样值。

2．在A律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号样值等于0.3时，输出的二进制码组。

解：设采用A律13折线进行量化编码，则最小量化间隔?=1/2048，

所以，0.3?614?

614>0， C1=1；614>512，在第7段，C2C3C4=110 (614-512)/32=102/32=3……6， C5C6C7C8 =0011； 所以所求的PCM码组为1 1100011。

3．采用13折线A律编码电路，设 最小量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635单位。试求：(1)编码器输出的PCM码组，并计算量化误差；(2)写出对应该7位码的均匀量化11位码(采用自然二进制码)

17

解：(1) +635>0， ?极性码C1=1

635>512，?抽样值位于第7段，即C2 C3 C4=110

(635-512)/32=3余27，?抽样值位于段内第4级，即C5C6 C7 C8=0011 且量化误差为27 个量化单位。

(若考虑系统有?/2译码电路，此时，量化误差为|635-(608+?/2) |=635-624=11个量化单位) PCM码组为11100011 (2) 对应的11位线性码组为

635-27=608=(260)16=01001100000 635-11=624=(270)16=01001110000

4．设简单增量调制器输入的正弦信号频率为3.4kHz、幅度为1V，若抽样频率fs=32kHz，求量阶?。

解：正弦信号最大斜率为A?=1?2??3.4?103

为使增量调制不过载，必须满足A???fs 可得 ?? A?/fs=1?2??3.4?103/32?103=0.67 V

5．若A律13折线编码器的过载电平为Vmax=5V，输入抽样脉冲幅度为-0.9375V。设最小量化间隔为2个单位，最大量化器的分层电平为4096个单位。求编码器的输出码组，并计算量化误差。 解：用最小量化间隔表示抽样信号

IS??40965?0.93752??384 (最小量化间隔)-384<0， ?极性码C1=0

384>256， ?抽样值位于第6段，即C2 C3 C4=101

(384-256)/16=8余0，?抽样值位于段内第9级，即C5C6 C7 C8=1000 且量化误差为0 个最小量化间隔。 (若考虑系统有?/2译码电路，此时，量化误差为|384-(16/2+384)|=8个最小量化间隔) 6．对10路带宽均为300-3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。

18

抽样速率为8 kHz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度为?的矩形脉冲，且占空比为1。试求传输此时分复用PCM信号所需的带宽。

解：解法一：抽样频率为fs=8 kHz，则抽样间隔为Ts=1/fs

一个矩形脉冲宽度Tb=Ts/log28= Ts/3

由题意可知复用路数n=10，所以信号的第一个过零点的带宽为 B=n/Tb=10?3/Ts=10?3? fs=240 kHz 解法二：B=n?fs?log28=240 kHz

(注：当占空比为P时，带宽计算公式为B= n?fs?log2M/P)

7．一模拟基带信号被抽样、均匀量化、线性编码为二进制PCM数字基带信号，若量化电平为4，将此二进制码序列通过?=0.5的升余弦滚降滤波器传输，此滤波器的截止频率为4800 Hz。 (1)求最大可能的PCM信息速率； (2)求最大允许的模拟信源带宽。

解：(1) 由题意可知量化电平数M=4，则线性编码位数n= log24=2。 因为升余弦滚降滤波器的截止带宽B=(1+?)Bn=4800 Hz，式中为Bn奈奎斯特带宽，所以可得Bn=4800/1.5=3200 Hz。

此时，基带系统的最高传码率 RB=2Bn=6400 (Baud)，

相应的传信率为 Rb= 6400 bit/s (2) 由Rb= nfs=2nfH可得

模拟信源的最大允许带宽fH=Rb/2n=1600 Hz

8．24路PCM数字电话系统，每路信号的最高频率为4 kHz，量化级数为128，并且，每路安排1bit振铃信号，每帧又安排1bit的帧同步信号，按奈奎斯特速率计算，求系统的传码率和最小传输带宽。 解：量化级M=128，所以编码位数n=7

每路信号最高频率为4kHz，则抽样频率fs=8 kHz 相应地帧长为Tf=1/fs=125?s，则每秒传输的帧同步信号为8 kbps， 24路时分复用，系统的传码率为

RB=24?(7+1) ?8k+8k=1536+8=1544 kbps

若按奈奎斯特速率计算，最小带宽B= RB /2=772 kHz

19

9．线性PCM的量化噪声与信号功率大小有关吗？ 无关 ，它适用于动态范围 小 的信号。对数PCM的量化噪声与信号功率的定性关系是 信号功率小，量化噪声小 ，它适用于动态范围 大 的信号。 10．工程上常用的两种对数PCM是 A律PCM 和 ?律PCM ，中国使用 A律PCM 。

11．当输入信号为0电平是，简单增量调制器的输出序列是 10 1010... ，A律13折线PCM调制器的输出序列是 1000000010000000 或 0000000000000000 。

12．为什么对语音信号进行对数PCM编码而不进行线性PCM编码？ 答：线性PCM信号的量化噪声功率与信号大小无关，而语音信号的动态范围大，为了保证小信号的量化信噪比满足一定要求，必须增加线性PCM的编码位数。编码位数的增大将导致信息速率增大，占用信道宽度增大。对数PCM信号的量化噪声与信号功率大小有关，而且小信号的量化噪声小，因而对数PCM可以提高小信号的量化信噪比，从而用较少的编码位数就可以使语音信号在整个动态范围内满足量化信噪比的要求。

13．简要叙述非均匀量化原理。与均匀量化相比较，其主要优缺点为何？

答：非均匀量化是通过对信号先进行非线性变换后，再均匀量化来实现的。

相对于均匀量化，非均匀量化的优点是：改善小信号的量化信噪比，降低编码位数；缺点是：实现相对复杂。 小测：

14．在脉冲编码调制系统中，若采用13折线A律编码，设最小的量化间隔为一个单位，已知抽样脉冲值为-278单位，试求：

(1)此时编码器输出的PCM码组和量化误差(段内码采用自然二进制码)；0 101 0001 6

(2)写出该7位码的均匀量化11位码；(110)16=001 0001 0000

(3)若段内码改用折叠二进制码，问PCM码组应为多少？0 101 0110

20

第八章 数字信号最佳接收原理

1．试求出例8.1中输出信号波形s0(t)的表达式。 解：由

?1, 0?t?T s(t)???0, 其他

可得匹配滤波器的特性为

?1, 0?t?T h(t)?s(T?t)??

?0, 其他

输出信号波形表达式为 ?t, 0?t?T ?? s0(t)????s(t??)h(?)d???T?t, T?t?2T ?0, 其他 ?

2．设一个二进制单极性信号传输系统中信号“0”和“1”是等概发送的。试问：(1)若接收滤波器在收到“1”时，在抽样时刻的输出信号电压为1V，输出的高斯噪声电压平均电平均值为0V，均方根值为0.2V，试问在最佳判决门限下的误码率等于多少？(2)若要求误码率不大于10-4，试问这时的信号电压至少应该多大？ 解：(1) 由题意，噪声的均方根值为0.2V，则可知噪声的方差为?2=0.04，又因为噪声的均值为0V，则其平均功率为Pn=?2=0.04 W。 信号功率为Ps=0.5，可得

EbPs0.5

???12.5 n0Pn0.04对于二进制单极性传输系统，最佳判决门限下的误码率为

1Eb11

Pe?erfc()?erfc(12.5/4)?erfc(3.125)?0.0062 24n022(2) 若要求Pe<10-4，假定信号电压为A，即 1Eb112Pe?erfc()?erfc(A?12.5/4)?erfc(3.125A2)?10?4 24n220A?1.49 V

21

利用Matlab可以计算erfc，直接键入erfc( )即可。

(对等概二进制单极性信号的平方求统计平均所得，且Ps=RS(0) ) 3．设一个二进制双极性信号最佳传输系统中信号“0”和“1”是等概率发送的，信号码元的持续时间为T，波形为幅度等于1的矩形脉冲。系统中加性高斯白噪声的双边功率谱密度等于10-4W/Hz。试问为使误码率不大于10-4，最高传输速率可以达到多高？ 解：由题意n0/2=10-4 W/Hz，又由于 EbPs11??? n0Pnn0(1/T)n0RB对于二进制双极性传输系统，最佳判决门限下的误码率为 1Eb1Pe?erfc()?erfc(1/n0RB)?10?4 2n02查表可得 1/n0RB?2.63,可得RB?723若采用滚降系统，则系统最高传输速率可达B/2=362 b/s。 RB=??Bc (BPSK调制余弦滚将?=1时，?=0.5) 4． 设到达接收机输入端的二进制信号码元s1(t)及s2(t)的波形如图(a)、(b)所示，输入高斯噪声功率谱密度为n0/2(W/Hz)。(1) 画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构(抽样时刻t0=T)；(2) 确定匹配滤波器的冲激响应及可能的输出波形；(3) 求系统误码率。 s2(t) s1(t) A0 A0

0 T/2 T t 0 T/2 T t

(a) (b)

解：(1) 匹配滤波器形式的最佳接收机结构如图所示 h1(t)=s1(T-t) 抽样 r(t) 输出

比较 t=T 判决

H2(t)=s2(T-t) 抽样

t=T

22

(2) 由题意可得

h1(t)=s1(T-t)= s2(t) h2(t)=s2(T-t)= s1(t)

所以，h1(t)的波形图如(b)所示，h2(t)的波形图如(a)所示。 可能的输出波形如下图所示 s1(t)?h1(t) s1(t)?h2(t) A02T/2 A02T/2

0 T/2 T 3T/2 t 0 T/2 T 3T/2 t

s2(t)?h2(t) s2(t)?h1(t) 2

A02T/2 A0T/2

0 T/2 T 3T/2 t 0 T/2 T 3T/2 2T t

(3) Eb1= Eb2 = Eb =A02T/2

1T ??s1(t)s2(t)dt?0?0 Eb所以系统的误码率为 ?A2T??Eb?110Pe?erfc??erfc??????? 2?2n0?2?4n0?

5．对于二进制数字基带传输系统，在理想信道下，系统总的传输函数

1为 ?Ts(1?cos?fT), |f|?s?TsH(f)??2

?0, 其他 ?式中，Ts为码元间隔。发送信号波形为 s (t ) ? ? a n? ( t ? nT s ), a n ? ? a ，

n发送“1”和“0”符号的概率相等。信道为加性高斯白噪声，双边功率谱密度为n0/2。求：(1)将该系统构成最佳基带传输系统的发送滤波器和接收滤波器的传输函数；(2)系统的误码率。

解：(1) 由题意可知，理想信道C(f)=1，系统总的传输函数为 H(f)=GT(f)GR(f)

根据理想信道下最佳基带传输系统收、发滤波器满足的条件，可得

23

1 2?fTs?Ts1/22?fTs?GT(f)?GR(f)?[H(f)]???2cos??Tscos 2?2?2(2) 信号共有两电平，即M=2。由于信号为双极性，相邻电平间隔的一半d=a，则平均码元能量为

2 d2aE?(M2?1)?(22?1)?a2 33系统的误码率

?a2? ??E?113E?1Pe?(1?)erfc???erfc??erfc????2?????? M?M?1n0?2?n0?2?n0?

6．最佳接收机的误码率通常小于实际接收机的误码率，试解释原因。 答：若将实际接收机误码率公式中的信噪比r换成Eb/n0，即为最佳接收机的误码率。实际接收机中的信号噪声功率比r=S/N=S/n0B，而最佳接收机中的码元能量和噪声功率谱密度之比Eb/n0= S/n0(1/T) (T为码元宽度)。实际接收机输入端总有一个带通滤波器，而最佳接收机的前端没有滤波器。在实际接收机中，为使信号顺利通过，通常要求带通滤波器的带宽必须满足B>1/T，即r< Eb/n0，所以最佳接收机的误码率通常小于实际接收机的误码率。

7．数字信号最佳接收的准则是什么？最佳接收机的性能与波形相关系数?有关，最佳的波形相关系数?为多少？对应的实际信号波形由那些？

答：数字信号最佳接收的准则是似然比准则；最佳波形相关系数?=-1；对应的实际信号波形由2PSK和2DPSK。

8．在数字通信中最直观和最合理的准则是( 最小差错概率准则 )。 9．相关接收机的实现机理是，在接收端需提供( 输入信号本地样本 )波形，并与接收的混合波形进行( 互相关 )运算。

10．匹配滤波器就是指( 输出信噪比 )最大的线性滤波器。其依据的准则为( 输出最大信噪比准则 )，如果信号f(t)的频谱为F(?)，则匹配滤波器的传输函数为( H(?)=kF?(?)e-jt0 )，冲激响应为( h(t)=kf(t0-t) )。

11．设加性高斯白噪声的单边功率谱密度为n0，输入信号的能量为E，则匹配滤波器在t=T时刻输出的最大信噪比为( 2E/n0 )。

?Eb(1??)?12．计算相关接收误码率的通式为( P e ? erfc ?? 2 n ??)，式中?表示( 20??1信

号码元波形的相关系数 )，最佳信号设计时，?=( -1 )。

24

小测：

设二进制FSK信号为 s1(t)?Acos2?f1t, s2(t)?Acos2?f2t, 0?t?Ts 中 f1 ? s , f 2 / T s ，且发送s1(t)和s2(t)的概率相等。 式2 / T? 5(1) 试设计相关器形式的最佳接收机结构；

(2) 试设计匹配滤波器形式的最佳接收机结构；

(3) 若信道加性高斯白噪声双边功率谱密度为n0/2，试求系统的误码率。

25

第七章 同 步

1．在插入导频法提取载频中，设受调制的载波为Asin?0t，基带信号为m(t)。若插入的导频相位和调制载频的相位相同，试重新计算接收端低通滤波器的输出，并给出输出中直流分量的值。 解：由题意可知调制器输出信号为

s0(t)?Am(t)sin?0t?Asin?0t 低通滤波器的输入信号为

s0(t)sin?0t?(Am(t)sin?0t?Asin?0t)sin?0t

?A[m(t)?1]sin2?0t?A[m(t)?1](1?2cos2?0t)2 低通滤波器的输出为

sLPF(t)?A2[m(t)?1]?A2m(t)?A2可见，输出中含有直流分量，其值为A/2。

2．设一个5位巴克码序列的前后都是“+1”码元，试画出其自相关函数曲线。

解：该巴克码序列为： + + + + - + +，计算其自相关函数可得 R(0)=7，R(1)=2，R(2)=1，R(3)=2，R(4)=1，R(5)=2，R(6)=1，

-6

-4

-2

0

2

4

6

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3．设用一个7位巴克码作为群同步码，接收误码率为10-4。试分别求出容许错码数为0和1的漏同步概率和假同步概率。

解：假设检验时容许错误的最大码元数m=0或m=1，由题意可知，需

-4

要检验的同步码元数n=7，接收码元误码率p=10。根据漏同步概率m计算公式 P?1?Crpr(1?p)n?r1?n

r?0?47?4P?1?(1?10)?7?10当m=0时， 1a 注：（1＋x）? 1+ax?x??1 当m=1时， P1?1?(1?10?4)7?7?10?4?(1?10?4)6?4.2?10?7

根据假同步概率计算公式 当m=0时，

当m=1时， P2?

P2?121277mP2?rn12nm?r?0Cnr?Cr?0m??1128C7027?Cr?0rn?1C727?1?7128?1164．设某通信系统得传输速率为1kb/s，误码率P=10-4，采用连贯插入法进行帧同步。每帧中包含7位帧同步码和153位信息码。试求： （1）m=0时的漏同步概率P1，假同步概率，同步建立时间 （2）m=1时的漏同步概率P1，假同步概率，同步建立时间 解：(1) 当m=0时，

P1?1?C70p0(1?p)7?1?(1?10?4)7?7?10?42nts?(1?P1?P2)NTsP2?C70?2?7?7.8125?10?3?(1?7?10?4?7.8125?10?3)?(153?7)?1?10?3?161.3 ms同理可求(2)。

27

5．通信系统中的同步包括( 载波同步 )、( 位同步 )、( 群同步 )和( 网同步 )。

6．载波同步的直接提取法有( 平方法 )和( 科斯塔斯环 )，无论哪种方法都存在( 相位模糊 )问题。

7．在数字通信系统的接收机中，应该先提取位同步信号还是先提取帧同步信号？( 应该先提取位同步信号 )，应该先提取相干载波信号还是先提取位同步信号？( 应该先提取相干载波信号 )。

8．若增大判决门限，则识别器的漏同步概率( 增大 )，假同步概率( 减小 )；若增大帧同步码的位数，则识别器的漏同步概率( 增大 )，假同步概率( 减小 ) 。

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第九章 多路复用和多址技术

1．设有一个9级线性反馈移存器产生的m序列，试写出其一个周期内不同长度游程的个数。

解：由题意可知，此m序列的游程总数为28=256。

根据m序列游程分布的性质，长度为k的游程数目占游程总数的1/2k，1 ? k ? (n-1)，并且在长度为k的游程中(其中1 ? k ? (n-2))，连“1”和连“0”的游程各占一半。因此有：

长度为1 的游程有128个；长度为2 的游程有64个； 长度为3 的游程有 32个；长度为4 的游程有 16个； 长度为5 的游程有 8个；长度为6 的游程有 4个；

长度为7 的游程有 2个；长度为8 的游程有 1个，即8个“0”； 长度为9 的游程有 1个，即9个“1” 2．已知特征方程f1(x)=1+x2+x3，f2(x)=1+x+x3。

(1)构造两个m序列发生器；(2)求两个序列发生器产生的m序列；(3)验证这两个m序列的正交性。

解：(1)上述两个特征方程所对应的m序列发生器如下图：

a2 a1 a0 a2 a1 a0 输出

(a)

输出

(b) (2)设初始状态为110

对应(a)产生的m序列为01011100101 对应(a)产生的m序列为01011101001

(3)上述两个m序列都是周期序列，相应两个码组中对应码元相同的个

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数A=5，不同个数D=2，则互相关系数为 ?=(A-D)/ (A+D)=3/7 显见，二者不是正交的。

3．6路独立信源的最高频率分别为1kHz，1kHz，2kHz，2kHz，3kHz，若采用时分复用方式进行传输，每路信号均采用8位对数PCM编码。 (1)设计该系统的帧结构和总时隙数，求每个时隙占有的时间宽度及码元宽度；(2)求信道最小传输带宽。 解：设计思想：每路信号占据相同的时隙。

(1) 由题意，n=6路信号的最高频率为3kHz，根据抽样定理，可选择抽样频率为fs=6kHz。不考虑帧同步码和信令信息，每帧可采用6个时隙，每路信号占据一个时隙，帧结构如图所示。

每个时隙宽度为

? = 1/nfs =1/(6?6000)=27.8 ?s 相应的码元宽度为 ?b = ?/8 ≈ 3.5 ?s (2) 码元速率为

Rb = 1/ ?b = 6000帧/s?6时隙/帧?8bit/时隙 = 288 kb/s 信道最小传输带宽(Nyquist带宽)为 Bc = Rb /2 = 144 kb/s

8 bit 1b=3.5?s 27.8 ?s 166.7 ?s TS0 TS1 TS2 TS3 TS4 TS5 TS6 4．多路复用的主要目的是什么？

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答：(1)提高通信链路利用率；(2)提高通信能力；(3)通过共享线路分摊成本，降低通信费用。

5．时分复用系统中，帧同步码的作用是（标明一帧的起始时刻，以便分接信号），用DM传输一路语音是否需要帧同步码？（不需要）。 6．A律PDH二次群的信息速率（ 大 ）于一次群信息速率的4倍。 7．STM-4的信息速率（等于）STM-1的信息速率的4倍。 8．n阶线性反馈移存器可生成m序列的周期为（2n-1）。

9．E体系的一次群的速率是（2.048Mb/s），可同时传输（30）路数字话；二次群的速率是（8.448Mb/s），可同时传输（120）路数字话。 10．在光纤中采用的多路复用技术是（波分复用）。

11．在同一条链路上能够同时传输多路信号，是利用了各路信号之间的（正交性）。 12．在常用的复用方式中，一般而言，通信能力（即带宽）浪费最大的是（FDM）。

31

第十章 信道编码和差错控制

1．设有一个长度为n=15的汉明码，试问其监督位r应等于多少？其码速率是多少？其最小码距等于多少？试写出其监督位和信息位之间的关系。

解：由n = 2r-1，n =15，得r = 4，即监督位为4位。 其码率为k/n=(15-4)/15=11/15

用S1S2S3S4表示校正子，用于指明15个错码的位置，其关系如表所示

S1S2S3S4 0000 0001 0010 0100 1000 0011 0101 0110 0111 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 错码位置 无错码 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 32

监督关系式为：

?a3?a14?a13?a12?a11?a10?a9?a8??a2?a14?a13?a12?a11?a7?a6?a5??a1?a14?a13?a10?a9?a7?a6?a4?a?a?a?a?a?a?a?a1413108754?0最小码矩d0=3。

2．设已知一循环码的监督矩阵如下：

?1?H?0???11111100111000100??0?1??试求出其生成矩阵，并写出所有可能的码组。

解：由题意可知该线性分组码的码长n=7，监督位r=3，信息位k=4。 可将H写成H?[P?Ir]其中

则生成矩阵为

?1?P?0???11111100??1?1??Q?PT?1?1???1??000100001011111101??1?0??1?01111??1?0??1??1?0G?[Ik?Q]???0??0010033

所有可用码组可由 A ? [ a 6 a 5 a 4 a 3 ] ? G 得到

0000000，0001011，0010110，0011101，0100111，0101100， 0110001，0111010，1000101，1001110，1010011，1011000， 1100010，1101001，1110100，1111111。 (码生成多项式为g(x)=x3+ x+1)

3. 已知一个(7，3)循环码的监督关系式为

?x?xx?63?2?x1?0?x?x?0?52?x1?x0?x6?x5?x1?0??x5?x4?x0?0试求出该循环码的监督矩阵和生成矩阵。 解：由题中给出的条件可得监督矩阵为 110 ?1001?? H??0100111?? ?1100010?? ?0110001??化成典型阵为

?1011000? ? H??1110100???1100010? ?

?0110001??

34

生成矩阵为

?1?G?0???00100011011111100??1?1??4．设一个(15,7)循环码的生成多项式为：g(x)=x8+ x7+ x6+ x4+1。若接

收码组为：T(x)= x14+ x5+ x+1。试问：其中有无错码。 解：判断有无错码需要计算T(x)/ g(x)

T(x)g(x)?x?x?x?653x?x?x?x?1x?x?x?x?18764763即多项式T(x)不能被g(x)整除，所以其中必有错码。 5．试画出教材p268图所示(2,1,3)卷积码的状态图和网格图。 解：由题图可知编码器的输入/输出关系为 c1= b1? b3，c2= b1? b2? b3

移存器状态和输入/输出的关系如表所示

前一状态b3b2 a(00) b(01) c(10) d(11)

该卷积编码器的状态图如下(图中实线表示输入信息为“0”，虚线表示输入信息为“1”)

35

当前状态b1 0/1 0/1 0/1 0/1 输出c3c2 00/11 01/10 11/00 10/01 下一状态b3b2 a/b c/d a/b c/d

网格图如下：

00 a 11 11 00 b 10 01 10 d 01 c b c d a

0011 00 11 b 01 01 01 01 c 10 10 10 10 10 10 10 d 01 01 01 00 111100 00 111100 00 111100 a 7．对于一个码长为15 的线性码，若允许纠正2个随机错误，需要多少个不同的校正子，至少需要多少为监督码？ 解：需要的校正子状态数应大于等于错误图样数，即

S?Cn?Cn?Cn???Cn，这里t=2，n=15，代入前式得 S?C15?C15?C15?121，取S=128=27，所以，需要121个校正子

012012t状态，至少需要7位监督码元。

8．码组0100110的码重为( 3 )，它与码组0011011之间的码距是( 5 )。 9．线性分组码(63,51)的编码效率为( 51/63 )，卷积码(2,1,7)的编码效率为( 1/2 )。

10．已知循环码的生成多项式为x4+ x2+ x+1，此循环码可纠正( 1 )位错误码元，可检测出( 3 )位错误码元。因为其d0 = 4 ，是（7，3）码。 11．若信息码元为100101，则奇监督码为( 0 )，偶监督码为( 1 )。 12．已知两分组码为( 1111 )，( 0000 )。若用于检错，能检出( 3 )位错，

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若用于纠错，能纠正( 1 )位错。 13．线性分组码的生成矩阵

该码由监督位( 4 )位，编码效率为( 3/7 )。

?1?G?0???01101110111010100??0?1??14．已知g1(x)=x3+ x2+1，g2(x)=x3+ x+1，g3(x)=x +1，试分别讨论在下

述两种情况下，由g(x)生成的7位循环码的检错和纠错能力。 (1) g(x)= g1(x) g2(x)；(2) g(x)= g3(x) g2(x)。 解：(1) g(x)= g1(x) g2(x)=( x3+ x2+1)( x3+ x+1) = x6+ x5 + x4+ x3+ x2+x+1 即g(x)?(1111111)，因此，有d0=7。

用于检错时，d0?e+1， e=6； 用于纠错时，d0?2t+1，t=3；

由于纠检结合时，d0?e+t+1 (e>t)；e=5，t=1； e=4，t=2。 注：此题n = 7, k = 1, r = 6,

只有2k=2个许用码组0 0 0 0 0 0 0，1 1 1 1 1 1 1 (2) g(x)= g3(x) g2(x)=( x +1)( x3+ x+1) = x4+ x3+ x2+1

即g(x)?(0011101)，因此，有d0=4。 用于检错时，e=3； 用于纠错时，t=1；

由于纠检结合时，e=2，t=1。 注：此题n = 7, k = 3, r = 4,

共有2k＝8个许用码组

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