人都放了9次棋子，使得每个格子中都恰好放了一枚棋子，那么共有 7 名同学． 【解答】解：由题意可得，若相邻两枚棋子之间有偶数个空格子，则无法再往其中放棋子，那么若想要在每个格子中都放上棋子，每次放完相邻两棋子间空格数应为奇数． 第一轮只能在最中间放1枚棋子，此时将格子分为前半部分和后半部分，那么第二轮在每一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放2枚，此时将格子分成了4，第三轮在每一部分的中间，都可以放1枚棋子，总共可以放4枚，以此类推，总共放下的棋子个数应该为等比数列1，2，4，8，…的和，而由于每人都放9次，因此这个和为9的倍数，且该和不能超过100，枚举可得1+2+4+8+16+32＝63，满足条件，则共有63÷9＝7名同学，棋子分布依次为： 1，65 1，33，65 1，17，33，49，65
1，9，17，25，33，41，49，57，65， …
故答案为7．
8．蕾蕾买了一些山羊和绵羊，如果她多买2只山羊，那么每只羊的平均价格会增加60元，如果她少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元．蕾蕾一共买了 10 只羊． 【解答】解：假设蕾蕾买了x只羊，原平均价格为a元，买2只山羊，每只羊的平均价格会增加60元，总价格增加60x+2（a+60）元；
少买2只山羊，那么每只羊的平均价格会减少90元，总价格减少90x+2（a﹣90）元， 两次变化都是两只山羊的价钱，应该相等，
所以60x+2（a+60）＝90x+2（a﹣90），解得x＝10， 故答案为10．
9．现有A、B、C、D、E五名诚实的安保在2016年12月1日～5日各值班三天，每天将有3名安保值班，每位安保值班安排5天一循环．今天（2017年1月1日周日），关于他们在上个月的值班情况，5人进行了如下对话：
A：我和B在周末（周六、周日）值班的日子比其他3人都多； B：我与其余4人在这个月都一起值过班；
C：12月3日本来我休息，但那天恰逢数学花园探秘初赛，于是我也来帮忙，可惜不算值班；
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D：E每次都和我安排在一起；
E：圣诞节（12月25日）那天我和A都值班了．
那么，安保A在12月份中第2次、第6次、第10次值班日期顺次排列组成的五位数是 41016 ．
（如果第2次、第6次、第10次值班分别在12月3日、12月17日，则答案为，31217） 【解答】解：12月份值班表如下：
由E说的话可知，25日A和E都值班，又由D的话可知D和E永远在一起，那么可以判断5日这一竖列值班人为A，D，E．
由C的话可知，3日他不值班，由于每天必须有3人值班，所以D，E中必须有一个， 又因为D，E在一起，所以3日这一竖列，D，E都值班．
通过A的话判断，A，B在周末值班的日子比C，D，E多，统计出每一列中的周末数量，为2，1，2，2，2，每人都要在三列中值班，若要A，B比其他人多，那么1那一列必须是C，D，E值班，每天都要有3人值班，D，E现在已经排满，因此第1，4列为A，B，C值班．还剩第3列没有排完，B要跟每个人都搭配过，因此此处为B． A在12月份中第2，6，10次值班日期依次为4，10，16， 故五位数为41016． 故答案为41016．
10．如图中每个小正三角形的面积是12平方厘米，那么大正三角形的面积为 84 平方厘米．
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【解答】解：如图所示，补出右边的一些小等边三角形，则△ABC被分为面积相等的三个钝角三角形△AMB，△BNC，△APC，以及一个小正三角形△PMN，其中△AMB面积是所在的平行四边形ADBM的一半为12×4÷2＝24平方厘米， 那么△ABC面积为3×24+12＝84平方厘米． 故答案为84．
11．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有 1476 种不同的走法．
【解答】解：考虑起始时，警察与小偷所在房间有三类关系相邻、相隔、相对． 相邻：如1与2，那么下一步都顺时针走，可变为2与3，都逆时针走，变为6与1，一个顺时针，一个逆时针变为2与1或6与3，都有3种可能相邻，1种可能相对； 相隔：如1与3，那么下一步可能变为2与4，6与2，6与4，都有3种可能相邻； 相对：如1与4，那么下一步可能变为2与3，6与5，6与3，2与5，即有2种相邻的可能和2种相对的可能．
假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为2或6，那么3次之后不相遇的走法有2×
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（27+9+6+6+6+2+4+4）＝128种 相隔?3相隔?9相隔?27相隔．
假设警察初始房间为1，小偷与其相邻可能为3或5，那么3次之后不相遇的走法有2×27＝54种，
假设警察初始房间为1，小偷与其相对为4，那么3次之后不相遇的走法有18+6+4+4+12+4+8+8＝64种，
综上所述，警察若初始位置为1，满足题目条件的走法有128+54+64+246种，那么警察初始位置还能选择2～6，因此共有246×6＝1476种走法． 故答案为1476．
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