第四节 基本不等式

2019考纲考题考情

1．重要不等式

a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)。

2．基本不等式ab≤a＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0。 (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立。 (3)其中

a＋b2

叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数。

3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2P。(简记：“积定和最小”)

(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值。

4(简记：“和定积最大”)

4．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)。 (2)ab≤?

S2

?a＋b?2(a，b∈R)。

??2?

2

2

?a＋b?2≤a＋b(a，b∈R)。 (3)??2?2?

(4)＋≥2(a，b同号)。

以上不等式等号成立的条件均为a＝b。

1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。忽略某个条件，就会出错。

2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤?

baab?a＋b?2，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，

??2?

两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系。

3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。

一、走进教材

1．(必修5P99例1(2)改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 C．81

解析 因为x>0，y>0，所以(xy)max＝81。

答案 C

2．(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______m。

1

解析 设矩形的一边为x m，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－

2

2

B．77 D．82

x＋y2

≥xy，即xy≤?

?x＋y?2＝81，当且仅当x＝y＝9时，

??2?

x)≤?

?x＋?10－x??2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y＝25。

?max

2??

答案 25 二、走近高考

1a3．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2＋b的最小值为________。

811a3b－6

解析 由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2＋b＝2＋3b≥282

2

3b－6

1－3

×3b＝2×22

113b－6

＝，当且仅当2＝3b，即b＝1时等号成立。 42

1答案 4

a4＋4b4＋1

4．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________。

aba4＋4b4＋1?a2?2＋?2b2?2＋14a2b2＋1

解析 由题意得a>0，b>0，ab>0，所以＝≥＝4ab＋

ababab2

2

1

ab≥24＝4，当且仅当a＝2b＝答案 4 三、走出误区

22

2

时，等号成立。 2

微提醒：①基本不等式不会变形使用；②用错不等式的性质以及基本不等式变形错误。 1

5．若x<0，则x＋( )

xA．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为2 C．有最小值，且最小值为－2 D．有最大值，且最大值为－2

1

解析 因为x<0，所以－x>0，－x＋≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所

－x1

以x＋≤－2。故选D。

x答案 D

6．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A．≤ ab4C.ab≥2

11B．＋≤1

ab2

D．a＋b≥8

2

11

解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，≥，选ab411a＋b4222

项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a＋b＝(a＋b)－2ab＝16－2ab≥8，

ababab选项D成立。故选D。

答案 D

考点一配凑法求最值

【例1】 (1)(2019·泉州检测)已知0

A． 33C. 4

(2)若函数f(x)＝x＋A．1＋2 C．3

1B． 22D. 3

1

(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2

B．1＋3 D．4

解析 (1)因为0

－x，即x＝时等号成立。

2

?x＋?1－x??2＝3。当且仅当x＝1

?42??

(2)因为x>2，所以x－2>0，所以f(x)＝x＋2≥2·

?x－2?·

11＝(x－2)＋＋x－2x－2

112

＋2＝2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即(x－2)＝1时等号成立，x－2x－2

解得x＝1或3。又因为x>2，所以x＝3，即a等于3时，函数f(x)在x＝3处取得最小值，故选C。

答案 (1)B (2)C

通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应

注意以下几个方面的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。 【变式训练】 (1)若a>0，则a＋

8

的最小值为________。 2a＋1

(2)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是________。 8141

解析 (1)由题意可知a＋＝a＋＋－≥22a＋1212

a＋2

?a＋1?×4－1＝7，

当且仅?2?122??

a＋2

14387

当a＋＝，即a＝时等号成立。所以a＋的最小值为。

2122a＋12a＋2

11?x＋3y?211

(2)因为x>0，y>0，所以xy＝·x·3y≤?＝，当且仅当x＝3y＝时，等号?33?2?1221成立，故xy的最大值是。

12

71

答案 (1) (2)

212考点二常数代换法求最值

12

【例2】 若直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，则＋的最小值为( )

mnA．2 C．12

B．6 D．3＋22

解析 因为直线2mx－ny－2＝0(m>0，n>0)过点(1，－2)，所以2m＋2n－2＝0，即m＋12?12?n2mn2mn＝1，所以＋＝?＋?(m＋n)＝3＋＋≥3＋22，当且仅当“＝，即n＝2m”时

mn?mn?mnmn12

取等号，所以＋的最小值为3＋22。故选D。

mn答案 D

常数代换法求最值的步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值。

19?π?【变式训练】 (2019·大庆质检)若θ∈?0，?，则y＝2＋2的取值范围为2?sinθcosθ?