H=

=P

Q）

（ P

Q）)

H (（

P

Q）

（

=

= =M2

(m2)

（（m0 m1 m3））

= P为H的主合取式。

Q

一般地，若公式A中含n个命题原子，且A的主析取式中含有k个极小项：mi,...,mi，则

1kA的主析取式中必含有其余

12n?k的2n-k个极小项，不妨设为：mj,...,mjA=mj因此，

A=

A

1，即

?...?mjn2?k。

= （mj1?...?mjn12?k）

2?k =?mj =Mj1?...??mjn2?k

?...?Mjn。

由此可知，从一公式A的主析取式求其主合取式的步骤如下： （1）求出A的主析取式中没有包含的所有极小项。 （2）求出与（1）中极小项下标相同的极大项。

（3）将（2）求出的所有极大项合取起来，即得A的主合取式。

类似地，从一公式A的主合取式求其主析取式的步骤为： （1）求出A的主合取式中没有包含的所有极大项。 （2）求出与（1）中极大项下标相同的极小项。

（3）将（2）求出的所有极小项析取起来，即得A的主析取式。

3. 求主合取式和主析取式的方法

方法一. 真值表法。主析取式恰好是使得公式为真的解释所对应的极小项的析取组成，主合取式恰好是使得公式为假的解释所对应的极大项的合取组成。

方法二. 公式推导法。设命题公式G中所有不同原子为P1，…，Pn，则G的主析取式的求法如下： (a) 将公式G化为析取式。

(b) 删去析取式中所有恒假的短语。

(c) 用等幂律将短语中重复出现的同一文字化简为一次出现，如，PP=P。

(d) 对于所有不是关于P1，…，Pn的极小项的短语使用同一律，补进短语中未出现的所有命题原子，并使用分配律展开，即，如果短语Gi’不是关于P1，…，Pn的极小项，则Gi’中必然缺少原子，不妨设为P j1，…，Pjk，于是

Gi’= Gi’Pjk)

=mi1(Pj1 Pj1)…( Pjk

?...?mik

2这样，就将非极小项Gi’化成了一些极小项之析取。将相同的短语的多次出现化为一次出现，就得到了给定公式的主析取式。

主合取式的求法类似，留给读者作为练习。

由上面讨论可知，只要求出一种式，可立即得到另外一种式。

例2.2.8 求公式G= P→(Q→R)的主析取式与主合取式。 解：（1）使用真值表法。见表2.2.5。 P 0 0 0 0 1 1 1 1 Q 0 0 1 1 0 0 1 1 R 0 1 0 1 0 1 0 1 P→(Q→R) 1 1 1 1 1 1 0 1 表2.2.5

根据真值表中使得公式为真的解释，所对应的极小项的析取即为其主析取式：

G= (

P

QP

(

P

Q

R) (P

(P

= m0

R) Q QQ m1

(R)

P R) R) m2

m3

m4

m5

m7

(P

Q

R)

Q

R)

(

根据真值表中使得公式为假的解释，所对应的极大项的合取即为其主合取式：

G=

P

Q

（2）公式推导法

G= P→(Q→R) =

=（

P

Q

R Q） P）

（R

R））

R））

R= M6

P（Q（（R

Q（P P Q

（P Q

P）（Q

（R

Q）） P

Q

R)

(

= (P

Q

(

R) (

R) P

R) (P QR) (PQR)