题型练8 大题专项(六)函数与导数综合问题

1.已知f(x)=x++aln x,其中a∈R.

(1)设f(x)的极小值点为x=t,请将a用t表示. (2)记f(x)的极小值为g(t),求证:

①g(t)=g

;

②函数y=g(t)恰有两个零点,且互为倒数.

2.已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x-2ax+4a-2},其中min{p,q}=2

(1)求使得等式F(x)=x-2ax+4a-2成立的x的取值范围; (2)①求F(x)的最小值m(a);

②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

2

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3.已知函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性;

(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好

是(-∞,-3)∪,求c的值.

ax4.已知a>0,函数f(x)=esin x(x∈[0,+∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:

(1)数列{f(xn)}是等比数列;

(2)若a≥

,则对一切n∈N,xn<|f(xn)|恒成立.

*

5.已知函数f(x)=aln x-ax-3(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性;

2

(2)若f(x)+(a+1)x+4-e≤0对任意x∈[e,e]恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);

2222*(3)求证:ln(2+1)+ln(3+1)+ln(4+1)+…+ln(n+1)<1+2ln n!(n≥2,n∈N).

6.设函数f(x)=,g(x)=-x+(a+b)(其中e为自然对数的底数,a,b∈R,且a≠0),曲线

y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=ae(x-1). (1)求b的值;

(2)若对任意x∈

,f(x)与g(x)有且只有两个交点,求a的取值范围.

参考答案

题型练8 大题专项(六) 函数与导数综合问题

1.(1)解f'(x)=1-,t=>0,

当x∈(0,t)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(t,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.

由f'(t)=0得a=-t.

(2)证明①由(1)知f(x)的极小值为g(t)=t+lnt,则

g+t+ln=t+lnt=g(t).

②g'(t)=-lnt,

当t∈(0,1)时,g'(t)>0,g(t)单调递增; 当t∈(1,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.

又g=g(e2)=-e2<0,g(1)=2>0,

分别存在唯一的c和d∈(1,e),

2

使得g(c)=g(d)=0,且cd=1,

所以y=g(t)有两个零点且互为倒数.

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2.解(1)由于a≥3,故当x≤1时,(x-2ax+4a-2)-2|x-1|=x+2(a-1)(2-x)>0,当x>1

22

时,(x-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].

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(2)①设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},

即m(a)=

②当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),

当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.

所以,M(a)=2

3.解(1)f'(x)=3x+2ax,

令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-2

当a=0时,因为f'(x)=3x>0(x≠0),

所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;

当a>0时,x(0,+∞)时,f'(x)>0,x时,f'(x)<0,