江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)
数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，AB是圆O的直径，弦CA，BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F，连结FD.求证：∠DEA＝∠DFA.
B. (选修4-2：矩阵与变换) 已知矩阵M＝?
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
t??x＝1＋2，已知直线l的参数方程为?曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，试判断直线l
??y＝t，与曲线C的位置关系．
?2 m?的两个特征向量α＝?1?，α＝?0?，若β＝?1?，求M2β. ???12???n 1??0???1??2??D. (选修4-5：不等式选讲)
123
已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，求＋＋的最小值．
xyz
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束1
时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概22
率都为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
3
(1) 求第3局甲当裁判的概率；
(2) 记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．
222*
23. 记f(n)＝(3n＋2)(C22＋C3＋C4＋…＋Cn)(n≥2，n∈N)．
(1) 求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(2) 当n≥2，n∈N*时，试猜想所有f(n)的最大公约数，并证明．
(二十)
21. A. 证明：连结AD，∵ AB是圆O的直径， ∴ ∠ADB＝90°，∴ ∠ADE＝90°.(4分)
∵ EF⊥FB，∴ ∠AFE＝90°，∴ A，F，E，D四点共圆， ∴ ∠DEA＝∠DFA.(10分)
B. 解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，
??Mα1＝λ1α1，则由?可解得m＝n＝0，λ1＝2，λ2＝1.(4分)
?Mα2＝λ2α2，?
1??1?0???又β＝??＝??＋2??＝α1＋2α2，(6分) ?2??0??1?
?1?＋2?0?＝?4?.(10分) 2
所以M2β＝M2(α1＋2α2)＝λ1α1＋2λ2α＝4??????22
?0??1??2?
C. 解：直线l的普通方程为2x－y－2＝0；
曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，它表示圆．(4分)
44
由圆心到直线l的距离d＝＝5＜2，得直线l与曲线C相交．(10分)
55123149?＋＋(x＋2y＋3z) D. 解：＋＋＝?xyz?x2y3z?2y3z4x12z9x18y
＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋(4分)
xx2y2y3z3z≥14＋2
2y4x·＋2x2y
3z9x·＋2x3z
12z18y·＝36， 2y3z
?当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立?
6??
123
所以＋＋的最小值为36.(10分)
xyz
12
22. 解：(1) 第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，
3311214
所以第3局甲当裁判的概率为×＋×＝.(4分)
33329(2) X可能的取值为0，1，2.(5分) 2122
P(X＝0)＝××＝；(6分)
3239
11221?2121117
×＋×＋×＋××＝；(7分) P(X＝1)＝×?3?3332?323232712111?4
×＋×＝.(8分) P(X＝2)＝×?3?3233?27
217425
所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)
9272727
2223
23. 解：(1) 因为f(n)＝(3n＋2)(C22＋C3＋C4＋…＋Cn)＝(3n＋2)Cn＋1， 所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140.(3分)
(2) 由(1)中结论可猜想所有f(n)的最大公约数为4.(4分) 下面用数学归纳法证明所有的f(n)都能被4整除即可．
① 当n＝2时，f(2)＝8能被4整除，结论成立；(5分) ② 假设n＝k时，结论成立，即f(k)＝(3k＋2)C3k＋1能被4整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(3k＋5)C3k＋2
3
＝(3k＋2)C3k＋2＋3Ck＋2
22
＝(3k＋2)(C3k＋1＋Ck＋1)＋(k＋2)Ck＋1(7分)
22
＝(3k＋2)C3k＋1＋(3k＋2)Ck＋1＋(k＋2)Ck＋1
2
＝(3k＋2)C3k＋1＋4(k＋1)Ck＋1，
此式也能被4整除，即n＝k＋1时结论也成立． 综上所述，所有f(n)的最大公约数为4.(10分)