大学物理实验报告 - 图文 下载本文

1.8 逐差法

在实验中,常会遇到等间隔地测量线性连续变化的物理量,求其间隔平均值的问题。如研究金属金属材料实验中,金属丝因受到F的作用力而伸长△L,在金属丝下端加1kg,2kg,…,7kg的砝码,金属丝端点垂在标尺上的读数分别为l1,l2,?,l7设金属丝原长为l0。金属丝在1kg砝码作用下平均伸长为:

Δ1l?(l1?l0)?(l2?l1)???(l7?l6)l7?l0?77

由上式可知,l1,l2,?,l6等中间值全部被抵消了,只有始末两次测量值起作用,与一次增加7kg砝码的单次测量完全相同,如果这始、末两值测不准,就会给结果造成很大的误差。

为了保持多次测量的优点,需要在数据处理方法上做一些变化。将间隔连续测量值分成两组,一组为前半数据,l0,l1,l2,l3;另一组为后一半数据,l4,l5,l6,l7。取对应项的差值为l4?l0,l5?l1,l6?l2,l7?l3,再取平均值,即:

(l4?l0)?(l5?l1)?(l6?l2)?(l7?l3)Δ4l? (1.29)

7这样,充分利用了测量数据。上式计算的Δ4l是增加4kg砝码时,金属丝的平均伸长量,常称这种处理数据的方法为逐差法。实际上,求Δ1l形式的逐项逐差,在砝码重量作为自变量等间隔变化时,失去作用,而求Δ4l形式的逐项逐差才使数据充分发挥作用。

一般情况下隔项逐差称为分组逐差法。

广义上说,对于线性关系式y?ax?b,自变量为等间隔变化(xi?1?xi?c),求其斜率a和截距b时,可以采用分组逐差法。

具体如下:

测量得到多组对应数据x1,x2,?,xn和y1,y2,?,yn有

y1?ax1?b

y2?ax2?b?yn?axn?b(x2?x1?c)?[xn?x1?(n?1)c].24.

(1.30)

设测量次数n为偶数,令k=n/2,把上式分成两组,且各组数目相同。 1组

y1?ax1?b

y2?ax2?b?yk?axk?b(x2?x1?c)?[xk?x1?(k?1)c]

2组为

yk?1?axk?1?byk?2?axk?2?b?y2k?ax2k?b对应方程相减:

[xk?1?x1?kc][xk?2?x1?(k?1)c]?[x2k?x1?(2k?1)c]

?y1?yk?1?y1?a(xk?1-x1)?a(k)c?y2?yk?2?y2?a(xk?2-x2)?a(k)c

?yk?y2k?yk?a(x2k-xk)?a(k)c

Δya??Δx?(y?(xi?1i?1kkk?i?yi)??xi)?(yi?1kk?i?yi) (1.31)

KCk?i除上述条件外,符合下列条件也可用逐差法。 函数可以写成x的多项式形式,如:

y?a0?a1x?a2x2 y?a0?a1x?a2x2?a3x3

等。有些函数也可写成上述形式。

24?如弹簧振子的周期公式 T=2πm/k可写成T2=m,测量T2是m线性函数。

k逐差法特点:

1)逐差法比作图法精确,且简单易懂,运算方便,是物理实验中常用的数据处理方法。

.25.

2)能充分利用测量数据,绕过一些未知求出所需的物理量。如上例杨氏模量实验,由于钢丝不直,外加力F后,除了钢丝的伸长量?l,还有钢丝展直的伸展量?l,F=a(?l+?l),而?F=a?(?l),使误差消除,测量值不受其影响。

3)验证测量量的函数关系,如果逐项逐差数值基本上为常数,说明测量量间为线性关系(二次逐差值基本为一常数,则为二次多项式)。

4)局限性,只限于自变量等间隔变化,直线斜率是求差分平均得到,精度也受到限制。

??1.9 最小二乘法

最小二乘法是一系列近似计算中最为准确的一种,采用最小二乘法能从一组同精度的测量值中确定最佳值。最佳值是各测量值的误差的平方和为最小的那个值,或能使估计曲线最好地拟合于各测量点,使该曲线到各测量点的偏差的平方和达到最小。最小二乘法的原理和计算都比较繁琐,这里仅介绍如何应用最小二乘法进行实验曲线的拟合。已知函数关系,确定未定参量最佳值的方法。

yi+++(xi ,yi )+xi图1-9 y-x拟合直线

x

设已知函数的形式为:

y?a0?a1x

(1.32)

式中 自变量只有x一个,故称一元线性回归。实验得到的一组数据为

x?x1,x2,?,xi y?y1,y2,?,yi

.26.

如果实验没有误差,把(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi)代入(1.32)式时,方程左右两边应该相等。但实际上,测量总存在误差,我们把归结为y的测量偏差,并记作

?1,?2,?,?i,如图1-9所示,这样式(1.32)就应改写成:

y1?a0?a1x1?ε1?y2?a0?a1x2?ε2?? ?i?1,2,?,n

??yi?a0?a1xi?εi?? (1.33)

根据误差理论可以推证:要满足以上要求,必须使各偏差的平方和为最小,即

????(y?a2iii?1i?1nn0?a1xi)2

(1.34)

为求

??i?1n2i的最小值,把(1.34)式对a0和x分别求偏微商

??a0?(yi?1ni?a0?a1xi)2?0

?n(yi?a0?a1xi)2?0 ??a1i?1即

??2?(yi?a0?a1xi)xi?0?? i?1? n?2?(yi?a0?a1xi)?0??i?1?由(1.35)式,有

n (1.35)

?xyii?1nni?a1?xi?a0?xi?0

2i?1i?1nnn?yi?1i?a1?xi?na0?0

i?1令:

.27.