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1、 面积为1.0m的两平行金属板,带有等量异号电荷±

30μC,其间充满了介电常数ε=2的均匀电介质。略去边缘效应,求介质内的电场强度E和介质表面上的极化电荷面密度。

介质中的极化强度为

P?(?r?1)?0E0?(?r?1)?0U?r(d?t)?t

??USE0E??1.7?106(V/m)

解:介质内的电场强度为 ?r?0 极板上的极化电荷面密度为 ???(???0r0(2)极板上的电荷量为 Q??S??(d?t)?t

r)E?1.5?10?5(C/m2)

4、平行板电容器(极板面积为S,间距为d)中间有两层厚

度各为d1和d2(d1+d2=d),介电常数各为ε质层。试求: (1) (2)

电容C;

和ε

的电介

?rU???0?r(d?t)?t(3)各区域的电场强度为 ?UE???r?0?r(d?t)?tE0?r0(4)电容为 C?U??(d?t)?t

rQ??S10、平行板电容器的极板面积为S,间距为d,其间充满介

当金属极板上带电面密度为±σ0时,两层介

质,介质的介电常数是变化的,在一极板处为ε1,在另一极板处为ε2,其他处的介电常数与到ε系。略去边缘效应,求:

(3) (4)

极板间电位差U;

(1)

两层介质中的电位移D。

(2)

当两极板上的电荷分别为Q和-Q时,求介质内的极化电荷体密度和表面上的极化电荷面密度。

????2??0?1?21

质分界面上的极化电荷面密度σˊ; 处成线性关

电容器的电容;

?0S?0S???SQ??120解:(1)C??E0UE1d1?E2d2E0d1?2?d2?1d1?d2?1?2(2)?????????P?P1212?1 εε解:(1)介电常数的函数关系为

???2??1dx??1

?d??d2?1U?U1?U2?012(3) ?0?1?2 在导体内任一点 E?E0?

两极板之间的电位差 U??d0Edx??dQln2S?0??2??1??1

(4)

D?D1?D2??0

电容器的电容 C?Q?US?0??2??1?dln?2?1

(

7、如图所示,一平行板电容器两极板相距为d,面积为S,

电位差为U,其中放有一层厚为t的介质,介电常数为ε,介质两边都是空气,略去边缘效应,求: (1)

度P; (2) (3) (4)

极板上的电荷量Q; 极板和介质间隙中的场强E; 电容。

介质中的电场强度E、电位移D和极化强

??????P??P?D??0E?2

?0?xQ??1??S???x)

极化强度为

??2极

???dQ化

电荷的体密度为

???2???x??1d???s2 极化电荷的面密度为

解:(1)由介质中的高斯定理得 D0=D=σ

???E0???0D??r?0E???E????r?0????1?1?Q??1????1S????Pn???1?Q???2??2???S2?d

ε t 12、一平行板电容器两极板相距为d,其间充满了两部分介

质,介电常数为ε1的介质所占面积为S1,介电常数为ε2的介质所占面积为S2。略去边缘效应,求电容C。 解:两个电容器并联而成

U?E0(d?t)?Et???????(d?t)?t???r(d?t)?t??0?r?0?r?0?r?0U?r(d?t)?tε1

ε2

C1??1C0?C2??2C0??1?0S1?dd电场强度不变,则球面上需要有面密度为

多少的电荷?

解: (1)由高斯定理可求得场强分布为

?2?0S2???0??1S1??2S2???C?C1?C2?d??13、如图所示,一平行板电容器两极板的面积都是S,相距为d。今在其间平行地插入厚度为t,介电常数为ε的均匀介质,其面积为S/2。设两板分别带电荷Q和-Q。略去边缘效应,求:

(1) 两极板电位差U;

电位的分布为

E内?D??0?Qr(r?R)4???0r3

E外?D?0?Qr(r?R)4??0r3 t εd S/2 (2) 电容C;

(3)

介质的极化电荷面密度。

解:(1)设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ1,另一侧为σ

U??1d??2?d?t???2t??

?0?0?0???2???d??1???t??U?dQ?S??2?d??

?1???S12??S22?Q?0?r?t??

(2)电容器的电容为

C?Q?S?2?d??1??r?t??U?0?2d??d??1??t?d

??? (3)极化电荷面密度为

???Pn????1??E02???1?dQ0??S??2?d??1???t?

?16、在半径为R的金属球外有一层半径为Rˊ的均匀介质

层(如图所示)。设电介质的介电常数为ε,金属球带电量为Q,求: (1) 介质层内外的场强分布; (2) 介质层内外的电位分布; ε (3)

金属球的电位。RR

解:(1)由对称性及高斯定理可求得场强分布为 E?0?r?R?E?Q4???R?r?R??

0?rr2E?Q4???r?R??0r2 (2)电位分布为

U?R???Q??1??1?

内?rE?dl??R?E?dl4???0?r?R????U?Q

外??rE?dl?4??0r (3)金属球的电位为U??R?RE?dl???Q?R?E?dl?4???1球?R???1???0?R?

?18、半径为R、介电常数为ε的均匀介质球中心放有点电

荷Q,球外是空气。

(1) 求球内外的电场强度E和电位U的分布;

(2)

如果要使球外的电场强度为零且球内的

UR?Q?内??rE内?dr??RE外?dr?4????1???1??(r?R)0?rR?EQ外???RE外?dr?4??r(r?R)0

(2)要使E外=0而E内保持不变,应使球面上Q′

=-Q

电荷的面密度应为

???Q4?R

19、一半径为R的导体球带电荷Q,球外有一层同心球壳

的均匀电介质,其内外半径分别为a和b,介电常数为ε。求: a Q (1)

介质内外的电场强度E和电位移D; b R (2) 介质内的极化强度P和表面上的极化电

荷面密度; (3)

介质内的极化电荷体密度为多少?

解: (1)由介质中的高斯定理可得

DQ外?D内?4?r3rED??Q外?4??3r(r?a,r?b)

00rEQ内?D???4???3r(a?r?b)00r(2)介质内的极化强度P为

P?D??0?E???1?Q4??r3

r 介质表面的极化电荷面密度为

?内??P????1?Qn?4??a2

??外?PQn????1?4??b2 (3)均匀电介质,介质内极化电荷体密度为0。

20、球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球

壳构成,壳的内半径为R2,其间有两层均匀介质,

分界面的半径为r,

介电常数分

r R RR Q

别为ε

和ε

。 (1) 求电容C;

(2)

当内球带电-Q时,求介质表面上的极化

电荷的面密度。

解: (1)由介质中的高斯定理可得

ED1???Q4??r(R1?r?r1)01?0r31?EDQ

2????4??r(r1?r?R2)202?0r3电

差为 U??1rQ??2R2(r?R1)??1R1(R2?r)?R1E1?dr??R2r1E2?dr?4??

0?1?2rR1R2电容为

C?Q4?0?1?r2R?R12U???2R(2?r?)1R?(?R?R 112)(2)当内球带电为-Q时,各介质表面的极化电荷面密度分别为

??1?1?Q?Q??1??2?Q内??4??2

?外????2?110R14??2

?r?10R24??1?2r2

22、球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球

壳构成。壳的内半径为R2,其间一半充满介电常数为ε的均匀介质。求电容C。

解:将球形电容器看成是两个半球形电容器并联而成,其中

一个是空气,另一个是介质。

C?C?2??0R1R22??0?R1R21?C2

R?2?R1R2?R1

?2??0???1?R1R2R2?R1可以证明:

此时电容器的电容等于两壳间充满介电常数为

???02的均匀介质的电容。 下册

1、 一螺绕环横截面积的半径为a,中心线的半径为R,

R>>a,其上由表面互相绝缘的导线均匀地密绕两个线圈,一个N1匝,另一个N2匝,求两线圈的互感M。 解:设N1线圈中通有电流I1,在N2线圈中产生的磁链为

?N22a?0N1N2a221?N2B1S??0N12RI1?M??21I?

12R2、 一圆形线圈由50匝表面绝缘的细导线绕成,圆面积为

S=4.0cm2

,放在另一个半径R=20cm的大圆形线圈中

心,两者共轴,如图所示。大圆形线圈由100匝表面绝缘的导线绕成。

(1)

求这两线圈的互感M;

(2)

当大线圈导线中的电流每秒减少50A时,求小线圈中的感应电动势。 解:(1)设大线圈的电流为I,在中心产生的磁感强度B的

方向沿轴线,

大小为B??0NIdl?0NI2?R?04??R2?4?R2?NI2R

因小线圈的半径远小于大线圈半径,故在小线圈

的平面内,磁场可看作是近似均匀的。通过小

线圈的磁链为

S R ?0NI21?nBS?n?2RS

所求互感为

M??21?0I?nNS2R?6.3?10?6(H)

(2)小线圈中的感应电动势为

???MdIdt?3.1?10?4(V)

3、 如图所示,两长螺线管共轴,半径分别为R1和R2(R

>R2),长度为l(l<<R1和R2),匝数分别为N1和N2。

求互感系数M12和M21,由此验证M1

=M21。

RR解:略去边缘效应,当里面螺线管载有电流I2时

B?0N2I22?l

通过外面螺线管的磁链为 ??0N1N2I221?N1B2S2?l?R22

由互感系数的定义

RM??0N1N221?21?l?R2I2

2 同理,当外面螺线管载有电流I1时,B1??0N1I1l,

通过里面螺线管的磁链为 ?N2I112?N2B1S1??0N1l?R22→

M??0N1N212??12?R2I21l

即:M12=M21

1、 如图所示,一条无穷长载流直导线在一处折成直角,P

r点在折线的延长线上,到折点的距离为a. (1) 设所载电流为I,求P点的B;

(2)

当I=20A,a=2.0cm时,B=?

解: (1)B??0I?r(cos?cos??I1?2)?044?a

?1??2,?2??

(2)B?0.4高斯

2、 如图所示,一条无穷长直导线在一处弯折成1/4圆弧,

圆弧的半径为R,圆心在O,直线的延长线都通过圆心。

已知导线中的电流为I,求O点的磁感应强度。

解:与上题同理,只有1/4圆弧在O点产生磁场

B?1?0I42R??0I8R

3、 如图所示,两条无穷长的平行直导线相距为2a,分别

载有方向相同的电流I1和I2。空间任一点P到I1的垂直距离为x1,到I2的距离为x2,求P点的磁感强度B。解:B2?B21?B22?2B1B2cos?

其中B1?20I21?x22?4a21??0I2?x B2?12?x

cos??x

22x1x2

B??022?x?I1?I2??I1x?I22x221??4aI1I2

1x24、 如图所示,两条无限长直载流导线垂直而不相交,其间

最近距离为d=2.0cm,电流分别为I1=4.0A , I2=6.0A,P点到两导线的距离都是d, 求P点的磁感强度B。

解: B??0I1I212?d 方向向里 B?02?2?d 方向向右

B?B21?B22?0.72高斯 方向为B1和B2的合矢量方向。5、 载流三角形线圈的边长为2a,电流为I,求轴线上距中

心为r0处的磁感强度。

解:B?0I?0I1?4?R(cos?1?cos?2)?(cos?

4??a/3?r20?21?cos?212) ?2?0IadB 4??a2/3?r2120??4a2/3?r220?1r0 2B?2B1cos??9?0Ia θ2??12a a2?3r20??4a2?3r20?2I θB的方向沿三角形线圈的轴线

6、 如图所示,两圆线圈共轴,半径分别为R1和R2,电流

分别为I1和I2,电流方向相同,两圆心相距为2b,联线的中点为O。求轴线上距O为x处P点的磁感应强度。

解:两线圈在I P点产生的磁感强度方向一致。

应用叠加原理a P RIO x R2IB?20R1I11?3B??0R2I22?R2221??b?x?2? 2?R223 22??b?x??2B?B??0?I2?1R1I22R2?1?B2?2? P点处B的

???R21??b?x?2?3?2?R22??b?x?2?32???方向向左

7、 如图所示,两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电

流,面电流密度分别为i1和i2,两电流

I 平行,求: (1)

两面之间的磁感应强度; (2)

两面之外的磁感应强度; (3)

i1=i2=i时,结果如何?

ii解:利用上题结果,一块电流均匀分布,面电流密度为i的

无限大平面,在空间产生的磁感强度的大小为

?0i2,其

方向与电流方向垂直且成右手螺旋关系。若以n为面法线方向,可以表示为 B??02i?n Ix (

之xB间

B???0i??1B2B2?11n02?2i???022n??1id ?2i?1n

⊙I

(2)两平面之外

I1

B?B?B??0i??

n00122112?2i???22n??1 i?2i ?1n

(3)i1=i2=i时, B内=0 B外=μ0i

8、 半径为R的无限长直圆筒上有一层均匀分布的面电流,

电流都绕着轴线流动并与轴线垂直,面电流密度为i,

求轴线上的磁感应强度。

解:半径为R的圆电流I在轴线上离圆心为r处产生的磁感

应强度B的方向为I的右旋进方向。其大小为

0B???0Idlsin904??r2?R2?sin???0I?2?RR?20IR4??r2?R2?r2?R2?2?3 将载流螺

r2?R2?2线管看成是共轴圆电流的集合,由叠加原理得

R