发信人: tobi (Wrath of the Lich King), 信区: Pretest 标题: 泛函_2009-1-13_步尚全老师
发信站: 自由空间 (Tue Jan 13 17:10:13 2009), 站内
1复H空间，T为B(X,X)
(1)任意H中x，
(2)证 T正规<=>任意H中x，|Tx|=|T*x|; (3)实H空间举(1)反例
2.x赋范,f非零有界线性泛函，另E={X中x,f(x)=||f||} (1)E非空凸
(2)dim(x)>=2时，E无界 (3)inf(E中x的范数) = 1
3.X赋范，A X->X线性 B X'->X'线性，任意X中x，X'中f有 (Bf)(x)=f(Ax)，求证AB都是有界线性
4.课本P184 6
5.X1 X2为Banach，X=X1与X2笛卡尔积，定义 定义x范数：max{|x1|,|x2|}， (1)以上定义是范数 (2)X为Banach
6.叙述压缩影射和Banach不动点定理
比较厚道，而且这门课程锻炼抽象思维，挺好的一门课。
☆─────────────────────────────────────☆ Pretest (我是匿名天使) 于 (Fri Jun 15 11:13:35 2007) 提到:
1 设X=l^2，S_R为l^2上的右移算子，即 S_R(x_1,x_2,?)=（0,x_1,x_2,?) 令
M(x_1,x_2,…)=(x_1,x_2/2,x_3/3,…) T=MS_R
1)求||T^m||
2)求证：sigma(T)={0},sigma_p(T)=phi 3)求证：T为紧算子
2 设H为Hilbert空间，T in B(H,H),求证 1) T=0 <=> for all x in H 有
2) T正规<=> for all x in H 有 ||Tx||=||T^*x||
3) 若T正规，则存在酉算子U in B(H,H)，使得T^*=UT.U是否唯一？
4) 设Tn in B(H,H) 且 for all x in H,有lim_(n->oo)(Tnx)=0，问是 否一定有for all x in H,lim_(n->oo)(Tn^*x)=0
3 设X=C'[0,1],for all f in X，令||f||=||f||oo+||f'||oo
求证：X为有单位元的交换Banach代数，且其中的Gelfand表示 Gamma： X->C(M)为单射
4 设A为有单位元e的Banach代数，a,b in A，求证： 1) e-ab可逆<=>e-ba可逆
2) 若lambda!=0，则lambda in sigma(ab) <=> lambda in sigma(ba) 3) r(ba)=r(ab)
4) 若a,b中至少一个可逆，则sigma(ab)=sigma(ba)
5 设H为Hilbert空间，T in B(H,H)为正规算子，phi in C(sigma(T)) 求证：sigma(phi(T)) = phi(sigma(T))
2007/01/17 08:16 步尚全老师对以上文章发表的意见Re: 步老师:您能把其它题的答案也说一下吗?谢谢(: 如下
1. 由一致有界性定理，要证Fn一致有界，仅需证明任给X中的x，都有Fnx有界（需说明X为Banach空间），将每一个Fnx通过典范映射映到Y''中，仅需征C(Fnx）有界即可。任给f在Y'中，C(Fnx)(f）有界，再用一次一致有界性定理，即可以得到C(Fnx)的有界性（此处需说明Y'总是Banach空间）。
2 这个题第一问只需将u取为(
3 已经在“公告栏”给出
4. 第一问直接用三角不等式可证Xn的范数与Xm的范数的差的绝对值小于等于Xn-Xm的范数，。。。。，第二问：如X是完备的，S为其闭子集，所以S必然为完备的。若S完备，取X中柯西列Xn, 由第一问知Xn的范数为实柯西列，故收敛。若这个实柯西列收敛到0，则Xn收敛到X中的零元。若此实柯西列不收敛到0，则收敛到一个严格大于0的数，考虑Yn等于Xn与Xn范数的商，则Yn在S中，可证Yn为柯西列（这步较复杂），则Yn收敛（因为S完备），又由于Xn的范数收敛，故可推知Xn收敛。
5，这个题头两问很容易验证。第三问就是两个包含关系，证起来也不难。
6 这个题得满分的只有十几个人吧，正确叙述：设X为非空完备度量空间，T为从X到X的压缩映射，则T必有唯一的不动点。当然最好把压缩映射和不动点的定义给出，不给也可以。大多数人忘记了“非空”和“完备”这两条，很多人把X取为了Banach空间，T取成了有界线性算子，那就大错而特错了。
一，X为一内积空间，x,y为其上两个向量，求证 1，x,y正交，则x,y线性无关
2，x,y正交，当且仅当对于任意实数a，||x+ay||=||x-ay|| 3，x,y正交，当切仅当对于任意实数a，||x+ay||>=||x||
二，赋范空间X和Y, 称T: X-->Y为紧算子，若对于任意包含于X的有界序列(Xk)，(TXk)包含一个收敛子列。所有紧算子构成空间K(X,Y)，求证： 1，K(X,Y)包含于B(X,Y)，且K(X,Y)为线性子空间
2，对于S包含于B(X,Y)，T包含于B(Y,Z)，T，S中有一个是紧算子，则TS为紧算子
3，对于T包含于B(X,Y)，如果R(T)=(Tx)为有限维空间，则T是紧算子；对于无穷维赋范空间X，举例说明存在T包含于B(X,Y)/K(X,Y)
三，Banach空间X，泛函序列(fn)包含于X'，若对于任意x包含于X，极限limfn(x) 存在，定义 f(x)=limfn(x), 求证：
1，存在C，C>0，且对于所有n，||fn|| < C 2，f包含于X'，且||f|| <= sup ||fn||
3，上述证明中X的完备性是根本的，举例说明，如果X不完备，则论断1和论断2中的f包含于X'不一定成立
四，X=C[-1,1]，f(x)=3倍的[1,0]上x(t)的积分 - 2倍的[-1,0]上x(t)的积分。求证： f包含于X'，求||f||。
五，X=(x|x=(xn)，且存在C，使得对于任意n，|n xn| < C )。其上的范数定义为||x||=sup|nxn|。求证：
1，上述定义的范数||.||确为X上范数
2，X包含于c0，取T:X-->c0，T((xn))=(xn)，成为X忘c0上的嵌入，则T线性有界，求||T||，T为满射么？
2003泛函试题 步尚全
1、线性赋范空间X，f是属于X'的，并且||f||=1，M=f-1(0),任取 x0在X中，求证：d(x0,M)=|f(x0)|。
2、这个题很变态，共有8个小问，主要是关于线性算子T及共轭算子 T*,的一些变换关系。感觉是体力活。
3、线性赋范空间X，Bx是空间上的单位球壳。N是它的一个e-网。 证明：(1-e)Bx属于con(N)的凸包.
（ZHU:这个题目有一定难度，在考场上老师提示我们用凸集分离 定理）
4、R+上的Lipstz(R+)是满足下面条件的函数： |f(x)-f(y)|<=a|x-y|
定义 ||f||=|f(0)|+sup|f(x)-f(y)|/|x-y| x,y<-R+ 证明：
||.||是范数，并且Lipstz(R+)是Banach空间。 5、C={x<-l2,|xi<1/i} 证明：C为紧集。