x≥0即可（需验证等号不同时成立）. ……………… 12分 ex1xx?1设g(x)??x，x?(0,+?)，则g?(x)?x. ……………… 13分
eeex?1x?1因为当x?(0,1)时，g?(x)?x?0；当x?(1,??)时，g?(x)?x?0，
ee故只要证明? 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+?)上单调递增. 所以g(x)≥g(1)?0（当且仅当x?1时等号成立）. ② 因为①②两个不等式中的等号不同时成立， 所以当x?(0,??)时，f(x)?
7.（2020房山二模）已知函数f(x)?（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；
（Ⅱ）求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； （Ⅲ）求证：当x?(?答案
1ex2?. ……………… 15分 execosx?ex．
1?sinxππ,)时，f(x)≥2． 22π?2kπ(k?Z) 2π所以f(x)的定义域为{x|x???2kπ(k?Z)}
2cos0（Ⅱ）f(0)??e0?2
1?sin0（Ⅰ）由sinx??1，得x???sinx(1?sinx)?cos2xx1πxf?(x)??e???e （x???2kπ(k?Z)）
(1?sinx)21?sinx2f?(0)?0
所以，曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y?2 （Ⅲ）法一：由f?(x)?? 令g(x)??1?ex，
1?sinxcosx1x?e?ex，则g?(x)? 2(1?sinx)1?sinx 当x?(?ππππ,)时，g?(x)?0，则g(x)在(?,)上单调递增，且g(0)?0
2222 所以当x?(?π,0)时，f?(x)?0，f(x)单调递减， 2当x?(0,)时，f?(x)?0，f(x)单调递增，
π2f(x)的极小值为f(0)?2
ππ,)时，f(x)≥2 22所以，当x?(?法二：f?(x)??11?sinx?ex
当x?0时，f?(0)??11?sin0?e0?0；
当
x?(??2,0)时sinx?(?1,0),1?sinx?(0,1),11?sinx?(1,??),?11?sinx?(??,?1),
?ex?(e?2,1)，所以当x?(??2,0)时，f?(x)?0，f(x)单调递减，当
x?(0,?2)时sinx?(0,1),1?sinx?(1,2),11?sinx?(12,1),?11?sinx?(?1,?12),
?ex?(1,e2)，所以当x?(0,?2)时，f?(x)?0，f(x)单调递增， f(x)的极小值为f(0)?2 所以，当x?(?π2,π2)时，f(x)≥2 8. （2020朝阳二模）已知函数f(x)?2sinx?xcosx?ax(a?R)． （Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1．
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）证明：函数f(x)在区间(0,π)内有唯一极值点； （Ⅱ）当a?1时，证明：对任意x?(0,π)，f(x)?0． 答案 解
：（
Ⅰ
）（
ⅰ
）
因
为
f(x)?2sinx?xcosx?axf?(x)?2cosx?(cosx?xsinx)?a?cosx?xsinx?a．
因为曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1，
所以f?(0)?1，即1?a?1，故a?0． 经检验，符合题意．……………4分
，
，
所以
，（ⅱ)由（ⅰ）可知f(x)?2sinx?xcosx，f?(x)?cosx?xsinx．
设g(x)?f?(x)，则g?(x)?xcosx．
π． 2ππ当x?(0,)时，g?(x)?0；当x?(,π)时，g?(x)?0，
22ππ所以g(x)在(0,)内单调递增，在(,π)内单调递减．
22ππ又g(0)?1，g()?，g(π)??1，
22ππ 因此，当x?(0,]时，g(x)?g(0)?0，即f?(x)?0，此时f(x)在区间(0,]上无极值点；
22π当x?(,π)时，g(x)?0有唯一解x0，即f?(x)?0有唯一解x0，
2π且易知当x?(,x0)时，f?(x)?0，当x?(x0,π)时，f?(x)?0，
2π故此时f(x)在区间(,π)内有唯一极大值点x0．
2令g?(x)?0，又x?(0,π)，得x?综上可知，函数f(x)在区间(0,π)内有唯一极值点．……………10分
（Ⅱ）因为f?(x)?cosx?xsinx?a，设h(x)?f?(x)，则h?(x)?xcosx．
令h?(x)?0，又x?(0,π)，得x?时，h?(x)?0，
πππ．且当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,π)222ππ所以f?(x)在(0,)内单调递增，在(,π)内单调递减．
22??当a?1时，f?(0)?1?a?0，f?()??a?0，f?(?)??1?a．
22（1）当f?(?)??1?a?0，即a??1时，f?(x)?0．
此时函数f(x)在(0,π)内单调递增，f(x)?f(0)?0；
（2）当f?(?)??1?a?0，即?1?a?1时，因为f?(0)?1?a?0，
??f?()??a?0， 22ππ所以，在(0,)内f?(x)?0恒成立，而在区间(,π)内f?(x)有且只有一
22个零点，记为x1，
则函数f(x)在(0,x1)内单调递增，在(x1,π)内单调递减． 又因为f(0)?0，f(?)?(1?a)??0，所以此时f(x)?0．
由（1）（2）可知，当a?1时，对任意x?(0,π)，总有f(x)?0．……………15分
9.（2020顺义二模）（本小题14分）
x2已知函数f(x)?e?ax,a?R.
（I）当a?1时，求曲线y?f(x)在点A(0,f(0))处的切线方程； （II）若f(x)在(0,??)内单调递增，求实数a的取值范围；
（III）当a??1时，试写出方程f(x)?1根的个数.（只需写出结论）
解：（I）a?1时，f(x)?ex?x2．f?(x)?ex?2x
（或在这里求的f?(x)?ex?2ax也可以）． -------------2分 ∴ f(0)?e0?0?1，k?f?(0)?e0?0?1． -------------4分 所求切线方程为y?x?1 ---------------5分 （II）方法一：f?(x)?ex?2ax.
若f(x)?ex?x2在(0,??)上单调递增，则对任意x?(0,??)，都有f?(x)?0-------6分 exex即a?恒成立，等价于a?()min． ----------------7分
2x2xexex(x?1)设g(x)?，则g?(x)?， ---------------8分
2x2x2令g?(x)?0得x?1
当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)在(0,1)上单调递减； 当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)在(1,??)上单调递增，
所以函数g(x)的最小值为g(1)?e ． ------------------11分 2e??所以a????,?． ------------------12分
2??方法二：f?(x)?ex?2ax．
若f(x)?ex?x2在(0,??)上单调递增，则对任意x?(0,??)，都有f?(x)?0--------6分 等价于(f?(x))min?0．
设h(x)?ex?2ax，h?(x)?ex?2a．