二 圆锥曲线的参数方程
学习目标 1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．
知识点一 椭圆的参数方程 思考1 圆x＋y＝r2
2
2
??x＝rcosθ，
的参数方程?
?y＝rsinθ?
的参数θ的几何意义是什么？
答案 是点(rcosθ，rsinθ)绕点O逆时针旋转的旋转角．
x2y2x2y2
思考2 对于椭圆2＋2＝1(a>b>0)，若令x＝acosφ(φ为参数)，那么椭圆2＋2＝1的参
abab数方程是什么？
??x＝acosφ，
答案 ?
?y＝bsinφ?
(φ为参数)．
梳理 (1)椭圆的参数方程
普通方程 参数方程 错误!(φ为参数) x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2
(2)φ是点M(acosφ，bsinφ)的离心角． 知识点二 双曲线的参数方程 思考1 化简?答案 ?
?1?2－tan2φ，它的值等于什么？
??cosφ?
?1?2－tan2φ＝1.
??cosφ?
x2y2
思考2 令y＝btanφ(φ为参数)，写出2－2＝1(a>0，b>0)的参数方程．
aba??x＝，cosφ答案 ???y＝btanφ
(φ为参数)．
1梳理 令＝secφ.
cosφ双曲线的参数方程
普通方程 参数方程 错误!(φ为参数) x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2
知识点三 抛物线的参数方程 1．抛物线的参数方程
普通方程 参数方程 错误!(α为参数) 错误!(t为参数) y2＝2px y2＝2px
2.参数的几何意义
(1)α表示OM的倾斜角．
??x＝2pt，1
(2)t＝.当t＝0时，?
tanα?y＝2pt?
2
表示原点.
类型一 椭圆的参数方程 命题角度1 利用参数方程求最值
例1 已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
2516
??x＝5cosφ，
解 椭圆＋＝1的参数方程为?
2516??y＝4sinφx2y2
x2y2
2
(φ为参数)，
代入目标函数，得z＝5cosφ－8sinφ＝5＋8cos(φ＋φ0) 8
＝89cos(φ＋φ0)(tanφ0＝)．
5所以目标函数zmin＝－89，zmax＝89.
反思与感悟 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
2
??x＝2cosφ，
跟踪训练1 已知曲线C1的参数方程是?
?y＝3sinφ?
(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在
C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为?2，?.
3
??
π??
(1)求点A，B，C，D的直角坐标； (2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；
(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的取值范围． 解 (1)由曲线C2的极坐标方程ρ＝2可知， 曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，
π??2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为?.3???
2
2
2
2
?5π?故B?2，?，
6??
由对称性，得直角坐标分别为A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)．
x??2＝cosφ，
(2)由曲线C的参数方程，得?y??3＝sinφ，
1
两式平方相加，得＋＝1.
49所以曲线是焦点在y轴上的椭圆．
??x＝2cosφ，
(3)由点P为曲线C1：?
?y＝3sinφ?
x2y2
上任意一点，
得P(2cosφ，3sinφ)， 则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|
＝(2cosφ－1)＋(3sinφ－3)＋(2cosφ＋3)＋(3sinφ－1)＋(2cosφ＋1)＋(3sinφ＋3)＋(2cosφ－3)＋(3sinφ＋1) ＝16cosφ＋36sinφ＋16＝32＋20sinφ， 因为32≤32＋20sinφ≤52，
所以|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的取值范围是[32,52]． 命题角度2 利用参数方程求轨迹方程 例2 已知A，B分别是椭圆的重心G的轨迹方程．
＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC369
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
解 由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式，可得
??
?0＋3＋3sinθ，??y＝3
x＝
6＋0＋6cosθ，3
2
??x＝2＋2cosθ，即???y＝1＋sinθ.
?x－2?2
消去参数θ，得＋(y－1)＝1.
4
反思与感悟 本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
|AM|1
跟踪训练2 已知点A在椭圆＋＝1上运动，点B(0,9)，点M在线段AB上，且＝，14436|MB|2试求动点M的轨迹方程．
解 由题意知B(0,9)，设A(12cosα，6sinα)，M(x，y)， 1
12cosα＋×0
2
则x＝＝8cosα，
11＋21
6sinα＋×92
y＝＝4sinα＋3，
11＋
2
??x＝8cosα，
∴动点M的轨迹的参数方程是?
?y＝4sinα＋3?
x2y2
?y－3?
(α是参数)，消去参数α，得＋＝6416
x2
2
1.
类型二 双曲线的参数方程
例3 已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上． (1)求双曲线的普通方程和参数方程；
(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值． 解 (1)设等轴双曲线C的普通方程为x－y＝a(a>0)， 依题意，得2a＝2，所以a＝1， 所以x－y＝1，化为参数方程为
??x＝secφ，
???y＝tanφ2
2
2
2
2
(φ为参数)．
(2)因为点P(0,1)，Q在双曲线C上， 设Q(secφ，tanφ)，