则|PQ|＝secφ＋?1－tanφ? ＝secφ＋tanφ－2tanφ＋1 ＝2tanφ－2tanφ＋2 ＝
1?23?2?tanφ－?＋≥2?2?
36
＝. 22
22
2
22
16
当且仅当tanφ＝时，|PQ|min＝.
22
反思与感悟 双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sinφ＋cosφ＝1?1＋tanφ＝
1222
＝secφ?secφ－tanφ＝1. 2
cosφ2
2
2
2
2
跟踪训练3 设P为等轴双曲线x－y＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|. 证明 如图，
2
设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－2，0)，F2(2，0)，双曲线的参数方程为
?x＝secθ，????y＝tanθ，
(θ为参数)，
2
则(|F1P|·|F2P|)
＝[(secθ＋2)＋tanθ]·[(secθ－2)＋tanθ]
＝(secθ＋22secθ＋2＋tanθ)(secθ－22secθ＋2＋tanθ)＝(2secθ＋1)(2secθ－1)＝(2secθ－1).
又|OP|＝secθ＋tanθ＝2secθ－1， 由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|. 类型三 抛物线的参数方程 例4 已知抛物线C?x＝8t，?
的参数方程为?
??y＝8t2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)＋y＝r(r>0)相切，则r＝________. 答案
2
2
解析 由题意知抛物线的普通方程为y＝8x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为1的直线方|4－0－2|
程为x－y－2＝0，由题意知圆心(4,0)到直线的距离d＝＝2，即半径r＝2.
2反思与感悟 在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟
练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能．
x＝tant，??
跟踪训练4 将方程?1－cos2ty＝??1＋cos2t答案 y＝x
2
(t为参数)化为普通方程是________．
1－cos2t2sint2
解析 由y＝＝2＝tant，
1＋cos2t2cost将tant＝x代入上式，得y＝x，即为所求方程．
2
2
??x＝2cosφ，
1．参数方程?
?y＝sinφ?
(φ为参数)表示( )
B．圆 D．双曲线
A．直线 C．椭圆 答案 C 2．曲线?
??x＝3secφ，??y＝4tanφ
(φ为参数)的焦点与原点的距离为( )
A．2B．3C．4D．5 答案 D
??x＝－1＋cosθ，
3．曲线?
?y＝2＋sinθ?
(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 答案 B
解析 曲线可化为(x＋1)＋(y－2)＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.
4．把椭圆的普通方程9x＋4y＝36化为参数方程是( )
??x＝3cosθ，
A.?
?y＝2sinθ???x＝9cosθ，C.?
?y＝4sinθ?
2
2
2
2
(θ为参数)
??x＝2cosθ，B.?
?y＝3sinθ???x＝4cosθ，D.?
?y＝9sinθ?
(θ为参数)
(θ为参数)
(θ为参数)
答案 B
解析 椭圆的普通方程9x＋4y＝36可化为＋＝1，令x＝2cosθ，y＝3sinθ，
49
??x＝2cosθ，
可得参数方程为?
?y＝3sinθ?
2
2
x2y2
(θ为参数)．
5．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大． 2516
??x＝5cosθ，
解 椭圆的参数方程为?
?y＝4sinθ?
x2y2
(θ为参数)．
设P(5cosθ，4sinθ)，则 |PA|＝?5cosθ－3?＋?4sinθ? ＝9cosθ－30cosθ＋25
＝?3cosθ－5?＝|3cosθ－5|≤8， 当cosθ＝－1时，|PA|最大．
此时，sinθ＝0，点P的坐标为(－5,0)．
1．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等．
2．当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程． 3．如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用．
2
2
2
2
一、选择题
??x＝2cosθ，
1．椭圆?
?y＝5sinθ?
(θ为参数)的焦点坐标为( )
A．(0，21)和(0，－21) B．(21，0)和(－21，0) C．(0，29)和(0，－29) D．(29，0)和(－29，0) 答案 A
??x＝2cosθ，
解析 把参数方程?
?y＝5sinθ?
(θ为参数)化为普通方程是＋＝1，它表示焦点在y425
x2y2
轴上的椭圆，其中a＝5，b＝2，c＝a－b＝21，故焦点坐标为(0，±21)．
??xcosθ＝a，
2．方程?
??y＝bcosθ22
(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
B．椭圆
D．双曲线的一部分
A．圆 C．双曲线 答案 D
解析 由xcosθ＝a，∴cosθ＝，代入y＝bcosθ，得xy＝ab.又由y＝bcosθ知，y∈[－|b|,0)∪(0，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分．
??x＝4t，
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线?
?y＝4t?
2
ax
(t为参数)上，则|PF|等于( )
A．2B．3C．4D．5 答案 C
解析 抛物线为y＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4. 4．当θ取一切实数时，连接A(4sinθ，6cosθ)和B(－4cosθ，6sinθ)两点的线段的中点的轨迹是( )
A．圆B．椭圆C．直线D．线段 答案 B
?x＝sinθ，?
5．若曲线?
??y＝cosθ－1
22
(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是
( ) A．R C．(0,1) 答案 D
??x＝sinθ，
解析 将曲线?
?y＝cosθ－1?
2
B．(0，＋∞) D．[0,1)
化为普通方程，得(y＋1)＝－(x－1)(0≤x≤1)，它是抛物线
2
的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
??x＝cosθ－1，
6．两条曲线的参数方程分别是?2
??y＝1＋sinθ2
??x＝3cost，
(θ为参数)和?
??y＝2sint
(t为参数)，
则其交点个数为( )