30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴EM=FM（中点定义）在△BME和△CMF中 BE=CF（已知） ∠B=∠C（已证） EM=FM（已证）∴△BME全等与△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E，M，F在同一直线上
31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． 证明：
∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF ∴⊿ABE≌⊿CDF（SAS）
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF 得AE=AF
D E A CB
DF 33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.又因为
AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以∠5=∠6
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE，BC平行EF所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）然后SSA（角角边）三角形全等
A125E6B34C
35．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
证明：因为 AB=AC， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BE＝CD
C D F B E A A 36、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． AAS证△ＡＤＥ≌△ADF
E F
B D 37.已知：如图, AC?BC于C , DE?AC于E , AD?AB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD C 的
长？
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE △ABC≌△DAE
AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形 ∴△BEM全等于△CEM∴MB=MC
39.如图，给出五个等量关系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C
⑤?DAB??CBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：
求证：
证明：
A B E C AD EBMFCＤ C Ｅ A B
已知1,2求证4因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB所以△ADB全等于△BCA 所以角D=角C
以4,5为条件，1为结论。即：在四边形ABCD中，∠D=∠C，∠A=∠B，求证：AD=BC
因为 ∠A+∠B+∠C+∠D=360∠D=∠C，∠A=∠B，所以 2(∠A+∠D)=360°， ∠A+∠D=180°，所以 AB//DC
40．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，
求证： ①?ADC≌?CEB；BE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
②DE?AD?BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE； 41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
（1）证明;因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB AF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F （2）(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证）所以角G=角CAF因为角CAF=90度所以EC垂直BF
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，AN4∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，3CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN
F（2）
E∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠M2BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN 1C
F E A B M
C
B
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF 连接BF、CE，
证明△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF 从而求得BC平行于EF 44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以∠ANE=∠ACE又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180 所以∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBNBE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明：∵AD是中线∴BD=CD∵DF=DE，
∠BDE=∠CDF∴△BDE≌△CDF∴∠BED=∠CFD∴BE‖CF
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE?BF． 求证：AB∥CD．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠AFB=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
D A F E
C B
【待定】
AD.1324CB