目 录
第一章 流体的物理性质 ................................................................................................. 1
一、学习引导 ........................................................................................................... 1 二、难点分析 ........................................................................................................... 2 习题详解 ................................................................................................................... 3 第二章 流体静力学 ......................................................................................................... 5
一、学习引导 ........................................................................................................... 5 二、难点分析 ........................................................................................................... 5 习题详解 ................................................................................................................... 7 第三章 流体运动学 ....................................................................................................... 13
一、学习引导 ......................................................................................................... 13 二、难点分析 ......................................................................................................... 13 习题详解 ................................................................................................................. 16 第四章 流体动力学 ....................................................................................................... 22
一、学习引导 ......................................................................................................... 22 习题详解 ................................................................................................................. 24 第五章 量纲分析与相似原理 ....................................................................................... 34
一、学习引导 ......................................................................................................... 34 二、难点分析 ......................................................................................................... 34 习题详解 ................................................................................................................. 36 第六章 粘性流体动力学基础 ....................................................................................... 40
一、学习引导 ......................................................................................................... 40 二、难点分析 ......................................................................................................... 40 习题详解 ................................................................................................................. 42 第七章 压力管路 孔口和管嘴出流 ........................................................................... 50
一、学习引导 ......................................................................................................... 50 二、难点分析 ......................................................................................................... 50 习题详解 ................................................................................................................. 51 主要参考文献 ................................................................................................................. 59
第一章 流体的物理性质
一、学习引导
1．连续介质假设 流体力学的任务是研究流体的宏观运动规律。在流体力学领域里，一般不考虑流体的微观结构，而是采用一种简化的模型来代替流体的真实微观结构。按照这种假设，流体充满一个空间时是不留任何空隙的，即把流体看作是连续介质。 2．液体的相对密度 是指其密度与标准大气压下4℃纯水的密度的比值，用δ表示，即
ρδ=
ρ水
3．气体的相对密度
是指气体密度与特定温度和压力下氢气或者空气的密度的比值。 4．压缩性
在温度不变的条件下，流体的体积会随着压力的变化而变化的性质。压缩性的大小用体积压缩系数βp表示，即
1dV βp=?
Vdp5．膨胀性
指在压力不变的条件下，流体的体积会随着温度的变化而变化的性质。其大小用体积膨胀系数βt表示，即 βt=1dV Vdt6．粘性
流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，简称粘性。
7．牛顿流体和非牛顿流体
符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。 8．动力粘度
牛顿内摩擦定律中的比例系数μ称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以反映流体粘性的大小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位为Pa·s，常用单位mPa·s、泊（P）、厘泊（cP），其换算关系：
1厘泊(1cP)=1毫帕斯卡·秒(1mPa.s) 100厘泊(100cP)=1泊(1P)
1
1000毫帕斯卡·秒(1mPa·s)=1帕斯卡.秒(1Pa·s)
9．运动粘度
流体力学中，将动力粘度与密度的比值称为运动粘度，用υ来表示，即
μυ=
ρ其单位为m2/s，常用单位mm2/s、斯（St）、厘斯（cSt），其换算关系： 1m2/s＝1×106mm2/s＝1×104 St=1×106 cSt 1 St=100 cSt 10．质量力
作用在每一个流体质点上，并与作用的流体质量成正比。对于均质流体，质量力也必然与流体的体积成正比。所以质量力又称为体积力。
重力、引力、惯性力、电场力和磁场力都属于质量力。 11．惯性力
（1）惯性系和非惯性系
如果在一个参考系中牛顿定律能够成立，这个参考系称作惯性参考系，牛顿定律不能成立的参考系则是非惯性参考系。 （2）惯性力
在非惯性坐标系中，虚加在物体上的力，其大小等于该物体的质量与非惯性坐标系加速度的乘积，方向与非惯性坐标系加速度方向相反，即
Fi??ma
12．表面力
表面力作用于所研究的流体的表面上，并与作用面的面积成正比。表面力是由与流体相接触的流体或其他物体作用在分界面上的力，属于接触力，如大气压强、摩擦力等。
二、难点分析
1．引入连续介质假设的意义 有了连续介质假设，就可以把一个本来是大量的离散分子或原子的运动问题近似为连续充满整个空间的流体质点的运动问题。而且每个空间点和每个时刻都有确定的物理量，它们都是空间坐标和时间的连续函数，从而可以利用数学分析中连续函数的理论分析流体的流动。 2．牛顿内摩擦定律的应用
（1）符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。常见的牛顿流体包括空气、水、酒精等等；非牛顿流体有聚合物溶液、原油、泥浆、血液等等。
（2）静止流体中，由于流体质点间不存在相对运动，速度梯度为0，因而不
2
存在粘性切应力。
（3）流体的粘性切应力与压力的关系不大，而取决于速度梯度的大小； （4）牛顿内摩擦定律只适用于层流流动，不适用于紊流流动，紊流流动中除了粘性切应力之外还存在更为复杂的紊流附加应力。 3．流体粘度与压力和温度之间的关系
流体的粘度与压力的关系不大，但与温度有着密切的关系。液体的粘度随着温度的升高而减小，气体的粘度随着温度的升高而增大。 4．流体力学中质量力的表示形式
流体力学中质量力采用单位质量流体所受到的质量力f来表示，即 F
?V?0mFyFFj?zk 或 f=xi?mmm=Xi?Yj?Zk
f=lim其中：X、Y、Z依次为单位质量流体所受到的质量力f在x、y、z三个坐标方向上的分量。 5．流体力学中表面力的表示形式
流体力学中表面力常用单位面积上的表面力来表示。
pn=limΔP
ΔA→0ΔA这里的pn代表作用在以n为法线方向的曲面上的应力。可将pn分解为法向应力p和切向应力τ，法向分量就是物理学中的压强，流体力学中称之为压力。 6．粘性应力为0表现在以下几种情况 绝对静止、相对静止和理想流体。
习题详解
【1－1】500cm3的某种液体，在天平上称得其质量为0.453kg，试求其密度和相对密度。
【解】
??m0.453??0.906?103 kg/m3 ?4V5?10?0.906?103????0.906
?w1.0?103【1－2】 体积为5m3的水，在温度不变的条件下，当压强从98000Pa增加到
3
4.9×105Pa时，体积减少1升。求水的压缩系数和弹性系数。
【解】由压缩系数公式
1dV0.001?p????5.1?10?10 1/Pa 5VdP5?(4.9?10?98000)E?1?1?1.96?109 Pa 5.1?p【1－3】温度为20℃，流量为60 m3/h的水流入加热器，如果水的体积膨胀系数βt=0.00055K-1，问加热到80℃后从加热器中流出时的体积流量变为多少？
【解】根据膨胀系数
?t?则
Q2?Q1?tdt?Q1
1dV Vdt?60?0.00055?(80?20)?60?61.98 m3/h
【1－4】图中表示浮在油面上的平板，其水平运动速度为u=1m/s，δ=10mm，油品的粘度μ=0.9807Pa·s，求作用在平板单位面积上的阻力。
【解】根据牛顿内摩擦定律
du?=?
dy则
y u δ 油 x 习题1-4图
1?98.07N/m2 0.01【1－5】已知半径为R圆管中的流速分布为
?=0.9807?r r2u=c(1?2)
R式中c为常数。试求管中的切应力τ与r的关系。
【解】根据牛顿内摩擦定律
du?=?
dy则
u z 习题1-5图
dr22r?=?[c(1?2)]???c2
drRR 4
第二章 流体静力学
一、学习引导
1．相对静止
流体整体对地球有相对运动，但流体质点之间没有相对运动即所谓相对静止。 2．静压力
在静止流体中，流体单位面积上所受到的垂直于该表面的力，即物理学中的压强，称为流体静压力，简称压力，用p表示，单位Pa。 3．等压面 在充满平衡流体的空间里，静压力相等的各点所组成的面称为等压面。 4．压力中心
总压力的作用点称为压力中心。 5．压力体 是由受力曲面、液体的自由表面（或其延长面）以及两者间的铅垂面所围成的封闭体积。 6．实压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（+）来表示； 7．虚压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（-）来表示。
二、难点分析
1．静压力常用单位及其之间的换算关系 常用的压力单位有：帕(Pa)、巴(bar)、标准大气压(atm)、毫米汞柱(mmHg)、米水柱(mH2O)，其换算关系为：1bar=1×105 Pa；1atm=1.01325×105 Pa；1atm=760 mmHg；1atm=10.34 mH2O；1mmHg=133.28Pa；1mH2O=9800Pa。由此可见静压力的单位非常小，所以在工程实际中常用的单位是kPa(103Pa）或MPa(106Pa)。 2．静压力的性质
（1）静压力沿着作用面的内法线方向，即垂直地指向作用面；
（2）静止流体中任何一点上各个方向的静压力大小相等，与作用方向无关； （3）等压面与质量力垂直。 3．流体平衡微分方程的矢量形式及物理意义
5
f=1?p ρ该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相平衡。
???j?k，它本身为一个矢量，同时对其中：?称为哈密顿算子，??i??x?y?z其右边的量具有求导的作用。
4．静力学基本方程式的适用条件及其意义。
ppz1?1=z2?2
ρgρg
（1）其适用条件是：重力作用下静止的均质流体。
（2）几何意义：z称为位置水头，p/ρg称为压力水头，而z＋p/ρg称为测压管
水头。因此，静力学基本方程的几何意义是：静止流体中测压管水头为常数。
（3）物理意义：z称为比位能，p/ρg代表单位重力流体所具有的压力势能，简称比压能。比位能与比压能之和叫做静止流体的比势能或总比能。因此，流体静力学基本方程的物理意义是：静止流体中总比能为常数。
5．流体静压力的表示方法 绝对压力：pab=pa+?gh；
相对压力：pM=pab?pa??gh（当pab＞pa时，pM称为表压）； 真空压力：pv?pa?pab??pM（当pab＜pa时）。
6．等加速水平运动容器和等角速旋转容器中流体自由液面方程的应用（见习题详解）
ax+gzs?0
ω2r2?gzs?0 27．画压力体的步骤
（1）将受力曲面根据具体情况分成若干段； （2）找出各段的等效自由液面；
（3）画出每一段的压力体并确定虚实；
（4）根据虚实相抵的原则将各段的压力体合成，得到最终的压力体。
6
习题详解
【2－1】容器中装有水和空气，求A、B、C和D各点的表压力？
【解】
pMA??g(h3?h4)pMB?pMA??g(h3?h4?h2)???gh2pMC?pMB???gh2pMD?pMC??g(h3?h2)???g(h3?2h2)空气 pa ?B 空气 D h1 h2 ??C h3 h4
?A 题2－1图 pa
【2－2】如图所示的U形管中装有水银与水，试求：
(1)A、C两点的绝对压力及表压力各为多少？ (2)求A、B两点的高度差h？ 【解】
(1) pab ??wg?0.3(A)?papMA??wg?0.3
水 30cm h pa B
A 10cm pab(C)?pa??wg?0.3??Hg?0.1 pMC??wg?0.3??Hg?0.1
(2)选取U形管中水银的最低液面为等压面，则
?wg?0.3??Hgh ??0.3?22 cm 得 h?w?H
【2－3】 在一密闭容器内装有水及油，密度分别为ρw及ρo，油层高度为h1，容器底部装有水银液柱压力计，读数为R，水银面与液面的高度差为h2，试导出容器上方空间的压力p与读数R的关系式。
【解】选取压力计中水银最低液面为等压面，则
p??ogh1??wg(h2?R?h1)??HgR
水银 C 题2－2图 p ?油 h1 h2 水 R 得
p??HgR??ogh1??wg(h2?R?h1)
题2－3图 【2－4】 油罐内装有相对密度为0.7的汽油，为测定油面高度，利用连通器原理，把U形管内装上相对密度为1.26的甘油，一端接通油罐顶部空间，一端接压气管。同时，压力管的另一支引入油罐底以上的0.4m处，压气后，当液面有气逸出时，
7
根据U形管内油面高度差△h=0.7m来计算油罐内的油深H= ?
【解】选取U形管中甘油最低液面为等压面，由气体各点压力相等，可知油罐底以上0.4m处的油压即为压力管中气体压力，则
p0??gog?h?p0??og(H?0.4) 得
H?p0 ?H 0.4m 题2－4图
p压力气体
△h ?go?h1.26?0.7?0.4??0.4?1.66 m ?o0.7【2－5】 图示两水管以U形压力计相连，A、B两点高差1m，U形管内装有水银，
若读数△h=0.5m，求A、B两点的压力差为多少？
【解】 选取U形管内水银最低液面为等压A· 1m 面，设B点到水银最高液面的垂直高度为x，则 ·B pA??wg(1?x)??Hg?h?pB??wg(x??h)
得
pB?pA??wg?(?H??w)g?h ?7.154?104 Pa△h
题2－5图
T
【2－6】 图示油罐发油装置，将直径为d的圆管伸进罐内，端部切成45°角，
pa 用盖板盖住，盖板可绕管端上面的铰链
?旋转，借助绳系上来开启。已知油深H=5m，圆管直径d=600mm，油品相对H 密度0.85，不计盖板重力及铰链的摩擦力，求提升此盖板所需的力的大小？（提示：盖板为椭圆形，要先算出长轴
y 2b和短轴2a，就可算出盖板面积
A=πab）。
【解】 分析如图所示 以管端面上的铰链为支点，根据力矩平衡
T?d?P?L 其中
P??ogH?A??ogH?(??
8
o d d P d 题2－6图 yD yC C D L 2dx' d2d?)?1.664?104 N 22L?yD?yC?J2d2d ?C?2yCA2d2d3?()2d422??0.43 m ?2d2d2H?(???)22??可得
P?L1.664?104?0.43T???1.19?104 N
d0.6
【2－7】图示一个安全闸门，宽为0.6m，高为1.0m。距底边0.4m处装有闸门转轴，使之仅可以绕转轴顺时针方向旋转。不计各处的摩擦力，问门前水深h为多深时，闸门即可自行打开？
?o 【解】分析如图所示，由公式
JyD?yC?C可知，水深h越大，则形心
yCAyC 和总压力的作用点间距离越小，即D点上
移。当D点刚好位于转轴时，闸门刚好平衡。 即
BH3J12yD?yC?C??0.1 yCA(h?0.5)BHh?1.33m 得
【2－8】有一压力贮油箱（见图），其宽度（垂直于纸面方向）b=2m，箱内油层厚h1=1.9m，密度ρ0=800kg/m3，油层下有积水，厚度h2=0.4m，箱底有一U型水银压差计，所测之值如图所示，试求作用在半径R=1m的圆柱面AB上的总压力（大小和方向）。
【解】分析如图所示，首先需确定自由液面，选取水银压差计最低液面为等压面，则
h yD B P H D 0.4m y 题2－7图
PZ P ζ Px Ax yC o' (－) B o R=1m C A 油 ?等效自由液面
h*=pB/ρog
1.9m ?0.5m 水 汞 0.5m 题2－8图
9
?Hg?0.5?pB??og?1.9??wg?1.0
由pB不为零可知等效自由液面的高度
?g?0.5??og?1.9??wg?1.0ph*?B?H?5.35 m
?og?og曲面水平受力
RPx??og(h*?)Rb?91.728kN
2
曲面垂直受力
1PZ??ogV??og(?R2?Rh*)b?120.246kN
4则 P?Px2?Pz2?151.24kN
??arctan(Px)?arctan(0.763)?37.36o PZ【2－9】 一个直径2m，长5m的圆柱体放置在图示的斜坡上。求圆柱体所受的水平力和浮力。
【解】分析如图所示，因为斜坡的倾斜角为60°，?F Ax 故经D点过圆心的直径与自由液面交于F点。
1m A （－） BC段和CD段水平方向的投影面积相同，力方
D 水 B 向相反，相互抵消，故
C 圆柱体所受的水平力
60° Px??ghCAx ?1.0??103?9.8?0.5?1?5
?24.5kN圆柱体所受的浮力
PZ??g(V1?V2)11 ?1.0?103?9.8?(??1??1?3)?5
22 ?119.365kN题2－9图
【2－10】 图示一个直径D=2m，长L=1m的圆柱体，其左半边为油和水，油和水的深度均为1m。已知油的密度为ρ=800kg/m3，求圆柱体所受水平力和浮力。
【解】因为左半边为不同液体，故分别来分析AB段和BC段曲面的受力情况。
10
?水的等效 自由液面 油 (+) B (-) A Ax1 h*=poB/ρwg 水 Ax2 C 题2－10图
AB曲面受力
R?RL2 ?0.8?103?9.8?0.5?1?1 ?3.92kN1PZ1??og(R2??R2)?L
4Px1??og?1?0.8?103?9.8?(1?1???1)?1?1.686kN
4
BC曲面受力
R)?RL2 ?1?103?9.8?(0.8?0.5)?1 ?12.74kNPx2??wg?(h*?1PZ2??wg(R?h*??R2)?L41 ?1?103?9.8?(1?0.8???1)?1
4 ?15.533kN则，圆柱体受力
Px?Px1?Px2?3.92?12.74?16.66kN
PZ?PZ2?PZ1?15.533?1.686?13.847kN（方向向上）
【2－11】 图示一个直径为1.2m的钢球安装在一直径为1m的阀座上，管内外水面的高度如图所示。试求球体所受到的浮力。
【解】分析如图所示，图中实压力体（＋）为一圆柱体，其直径为1.0m
PZ??g(V1?V2)4 ??g?(?R3???0.52?0.5)
3 ?5.016kN??（＋） ?0.5m （－） 1.0m
1.0m 题2－11图
【2－12】图示一盛水的密闭容器，中间用隔板将其分隔为上下两部分。隔板中有一直径d=25cm的圆孔，并用一个直径D=50cm质量M=139kg的圆球堵塞。设容器顶部压力表读数pM=5000Pa，求测压管中水面高x大于若干时，圆球即被总压力向上顶开？
11
【解】分析如图所示，图中虚压力体（－）为一球体和圆柱体体积之和 根据受力分析可知
?g(V1?V2)?Mg
等效自 由液面 h*=pM/ρg (－) x ?g[?R3??d2(x?h*)]?Mg
y (－) 4314则
4??R3)p?3x??M 2?d?g ?2.0m4(M
题2－12图
※【2－13】水车长3m，宽1.5m，高1.8m，盛水深1.2m，见图2-2。试问为使水不益处，加速度a的允许值是多少。
【解】根据自由夜面（即等压面方程）
z ax+gzs?0
得 y a gz9.8?(1.8?1.2) a=s??3.92m/s2
x1.5
图2－13图
1.8m
12
1.2m 第三章 流体运动学
一、学习引导
1．稳定流动 如果流场中每一空间点上的所有运动参数均不随时间变化，则称为稳定流动，也称作恒定流动或定常流动。 2．不稳定流动 如果流场中每一空间点上的部分或所有运动参数随时间变化，则称为不稳定流动，也称作非恒定流动或非定常流动。 3．迹线
流体质点在不同时刻的运动轨迹称为迹线。 4．流线 流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，在某一时刻该曲线上任意一点的速度矢量总是在该点与此曲线相切。 5．流管 在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上每一点的所有流线将构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。 6．流束和总流
充满在流管内部的流体的集合称为流束，断面无穷小的流束称为微小流束。管道内流动的流体的集合称为总流。 7．有效断面 流束或总流上垂直于流线的断面，称为有效断面。 8．流量 单位时间内流经有效断面的流体量，称为流量。流体量有两种表示方法，一是体积流量，用Q表示，单位为m3/s；另一种为质量流量, 用Qm表示，单位为kg/s。 9．控制体 是指根据需要所选择的具有确定位置和体积形状的流场空间，控制体的表面称为控制面。
二、难点分析
1．拉格朗日法和欧拉法的区别 （1）拉格朗日法着眼流体质点，设法描述出单个流体质点的运动过程，研究流体质点的速度、加速度、密度、压力等描述流体运动的参数随时间的变化规律，以及相邻流体质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点的运动状
13
况，整个流体的运动状况也就知道了。 （2）欧拉法的着眼点不是流体质点，而是空间点，即设法描述出空间点处的运动参数，研究空间点上的速度和加速度等运动参数随时间的变化规律，以及相邻空间点之间这些参数的变化规律。如果不同时刻每一空间点处流体质点的运动状况都已知道，则整个流场的运动状况也就清楚了。 2．欧拉法表示的加速度
a=dudt=?u?t?ux?u?x?uy?u?y?uz?u?z
或 a=其中：
du?u=?(u??)u dt?t（1）?u?t表示在同一空间点上由于流动的不稳定性引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度；（注：对于同一空间点，速度是否随时间变化）
（2）(u??)u表示同一时刻由于流动的不均匀性引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。（注：对于同一时刻，速度是否随空间位置变化）
（3）
ddt=??t?ux??x?uy??y?uz??z称为质点导数。
3．流动的分类
（1）按照流动介质划分：牛顿流体和非牛顿流体的流动；理想流体和实际流体的流动；可压缩流体和不可压缩流体的流动；单相流体和多相流体的流动等。
（2）按照流动状态划分：稳定流动和不稳定流动；层流流动和紊流流动；有旋流动和无旋流动；亚声速流动和超声速流动等。
（3）按照描述流动所需的空间坐标数目又可划分为：一元流动、二元流动和三元流动。 4．迹线方程的确定 （1）迹线的参数方程
x?x(a,b,c,t)?z?z(a,b,c,t)??
（2）迹线微分方程
dxu(x,y,z,t)?dyv(x,y,z,t)?dzw(x,y,z,t)?dt
y?y(a,b,c,t)?
? 14
5．流线方程的确定 流线微分方程
dxux(x,y,z,t)?dyuy(x,y,z,t)?dzuz(x,y,z,t)
6．流线的性质
（1）流线不能相交，但流线可以相切；
（2）流线在驻点（u=0）或者奇点（u→∞）处可以相交； （3）稳定流动时流线的形状和位置不随时间变化；
（4）对于不稳定流动，如果不稳定仅仅是由速度的大小随时间变化引起的，则流线的形状和位置不随时间变化，迹线也与流线重合；如果不稳定仅仅是由速度的方向随时间变化引起的，则流线的形状和位置就会随时间变化，迹线也不会与流线重合；
（5）流线的疏密程度反映出流速的大小。流线密的地方速度大，流线稀的地方速度小。 7．系统的特点
（1）系统始终包含着相同的流体质点； （2）系统的形状和位置可以随时间变化；
（3）边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。 8．控制体的特点
（1）控制体内的流体质点是不固定的； （2）控制体的位置和形状不会随时间变化；
（3）控制面上不仅可以有力的作用和能量交换，而且还可以有质量的交换。 9．空间运动的连续性方程
?ρ?t或
dρ??(ρux)?x??(ρuy)?y??(ρuz)?z?0
+ρdivu=0
dt（1）稳定流动
?(ρux)?x或
div(ρu)=0
??(ρuy)?y??(ρuz)?z?0
（2）不可压缩流体
15
?ux?x??uy?y??uz?z?0
divu=0 或
根据是否满足上述方程可判断流体的可压缩性。 10．流体有旋、无旋的判定
?1?uz?uy?)??x?(2?y?z??1?ux?uz???(?) ?y2?z?x??1?uy?ux??(?)?z2?x?y??上式的矢量形式为
i???xi??yj??zk?1?2?xuxj??yuyk??zuz ?12rotu=12??u
流体力学中，把??0的流动称为无旋流动，把??0的流动称为有旋流动。
习题详解
【3－1】已知流场的速度分布为 u=x2yi-3yj +2z2k
（1）属几元流动？
（2）求（x, y, z）=（3, 1, 2）点的加速度？ 【解】（1）由流场的速度分布可知
?ux?x2y??uy??3y ?2?uz?2z流动属三元流动。 （2）由加速度公式
16
dux?ux?ux?ux?ux?a???u?u?uxyz?xdt?t?x?y?z??duy?uy?uy?uy?uy? a???u?u?u?yxyzdt?t?x?y?z??du?u?u?u?u?az?z?z?uxz?uyz?uzzdt?t?x?y?z??得
?ax?2x3y2?3x2y? ?ay?9y?3?az?6z故过（3, 1, 2）点的加速度
?ax?27 ??ay?9 ??az?48 其矢量形式为：a?27i?9j?48k
【3－2】已知流场速度分布为ux=x2，uy=y2，uz=z2，试求（x, y, z）=（2, 4, 8）点的迁移加速度？
【解】由流场的迁移加速度
?ux?ux?ux?a?u?u?uxyz?x?x?y?z???uy?uy?uy? ?uy?uz?ay?ux?x?y?z???u?u?u?az?uxz?uyz?uzz?x?y?z??得
?ax?2x3?3?ay?2y ?3?az?2z故过（2, 4, 8）点的迁移加速度
?ax?16 ??ay?128 ??az?1024
17
【3－3】有一段收缩管如图。已知u1=8m/s，u2=2m/s，l=1.5m。试求2点的迁移加速度。
2 1 【解】由已知条件可知流场的迁移加速度为
?uax?uxx
?xL ?uxu1?u26其中：???4
?xl1.5题3－3 图 则2点的迁移加速度为
?uax?u2x?2?4?8 m/s2
?x【3－4】某一平面流动的速度分量为ux=-4y，uy=4x。求流线方程。
【解】由流线微分方程
dxdy? uxuy得
dxdy? ?yx解得流线方程
x2?y2?c
【3－5】已知平面流动的速度为u?ByBxi?j，式中B为常数。
2?(x2?y2)2?(x2?y2)求流线方程。
【解】由已知条件可知平面流动的速度分量
By?u?x?2?(x2?y2)? ?Bx?u?y?2?(x2?y2)?代入流线微分方程中，则
dxdy? yx解得流线方程
x2?y2?c
【3－6】用直径200mm的管输送相对密度为0.7的汽油，使流速不超过1.2m/s，
18
问每秒最多输送多少kg？
【解】由流量公式可知
Qm?v?则
?d24??
3.14?0.22Qm?1.2??0.7?103?26.38 kg/s
4【3－7】 截面为300mm×400mm的矩形孔道，风量为2700m3/h，求平均流速。如风道出口处截面收缩为150mm×400mm，求该处断面平均流速。
【解】由流量公式可知
Q?v?bh
则
Q2700??6.25 m/s bh0.3?0.4?3600如风道出口处截面收缩为150mm×400mm，则
v?Q2700??12.5 m/s bh0.15?0.4?3600【3－8】已知流场的速度分布为ux=y+z，uy=z+x，uz=x+y，判断流场流动是否有旋？
【解】由旋转角速度
v??1?uz?uy1??(?)?(1?1)?0?x2?y?z2??1?ux?uz1??)?(1?1)?0 ??y?(2?z?x2??1?uy?ux1??(?)?(1?1)?0?z2?x?y2??可知
???xi??yj??zk?0
故为无旋流动。
【3－9】下列流线方程所代表的流场，哪个是有旋运动？
（1）2Axy=C（2）Ax+By=C （3）Alnxy2=C
【解】由流线方程即为流函数的等值线方程，可得 （1）速度分布
19
???u??xx??y? ??u??????y?y?x?
旋转角速度
?z?(1?uy?ux1?)?(0?0)?0 2?x?y2可知
???xi??yj??zk?0
故为无旋流动。
（2）速度分布
???u??Bx??y? ??u??????A?y?x? 旋转角速度
?z?(可知
1?uy?ux1?)?(0?0)?0 2?x?y2???xi??yj??zk?0
故为无旋流动。
（3）速度分布
??2?u??lnxy2x??yy? ??u??????1lnxy2y??xx? 旋转角速度
?z?(可知
1?uy?ux112?)?[2(lnxy2?1)?2(2?lnxy2)]?0 2?x?y2xy
???xi??yj??zk?0
故为有旋流动。
20
【3－10】已知流场速度分布为ux=-cx，uy=-cy，uz=0，c为常数。求：（1）欧拉加速度a=？；（2）流动是否有旋?（3）是否角变形?（4）求流线方程。
【解】（1）由加速度公式
?ux?ux?ux?a?u?u?u?c2xxyz?x?x?y?z???uy?uy?uy??uy?uz?c2y ?ay?ux?x?y?z???u?u?u?az?uxz?uyz?uzz?0?x?y?z??得 a?c2xi?cy2j
（2）旋转角速度
?1?uz?uy??(?)?0?x2?y?z??1?ux?uz???(?)?0 ?y2?z?x??1?uy?ux??(?)?0?z2?x?y??可知
???xi??yj??zk?0
故为无旋流动。
（3）由角变形速度公式
?1?uy?ux??(?)?0?xy2?x?y??1?ux?uz??)?0 ??xz?(2?z?x??1?uy?uz?)?0??zy?(2?z?y??可知为无角变形。
（4）将速度分布代入流线微分方程
dxdy? ?cx?cy解微分方程，可得流线方程
x?c y21
第四章 流体动力学
一、学习引导
1．动能修正系数 是总流有效断面上单位重力流体的实际动能对按平均流速算出的假想动能的比值。 2．水力坡降
沿流程单位管长上的水头损失称为水力坡降，用i表示，即
h
i?w
L
3．扬程
泵使单位重力液体增加的能量通常称为泵的扬程，用H来表示。
二、难点分析
1．理想流体伯努利方程
z1+p1ρg+u122g=z2+p2ρg+u222g
（1）适用条件
理想不可压缩流体，质量力只有重力，单位重力流体沿稳定流的流线或微小流束流动。
（2）几何意义
z、p/ρg以及两者之和的几何意义分别表示位置水头、压力水头和测压管水头，u2/2g称为速度水头。三者之和称为总水头。
因此，伯努利方程的几何意义是：沿流线总水头为常数。 （3）物理意义
z、p/ρg分别称为比位能和比压能，u2/2g表示单位重力流体所具有的动能，称为比动能。因此，伯努利方程的物理意义是：沿流线总比能为常数。
2．实际流体沿微小流束的伯努利方程式
z1+p1ρg+u122g=z2+p2ρg+u222g?hw1?2
式中：hw1?2——流线或微小流束上1、2两点间单位重力流体的能量损失。
22
3．实际流体总流的伯努利方程
z1+p1ρg+α1v12g2=z2+p2ρg+α2v222g+hw1-2
式中：a1、a2――为动能修正系数，工程中常取1；
v1、v2――分别为总流1、2断面的平均流速；
hw1?2――为1、2两断面间单位重力流体的能量损失。
适用条件是：稳定流；不可压缩流体；作用于流体上的质量力只有重力；所取断面为缓变流断面。
4．实际流体伯努利方程的几点注意事项
（1）实际流体总流的伯努利方程不是对任何流动都适用的，必须注意适用条件；
（2）方程式中的位置水头是相比较而言的，只要求基准面是水平面就可以。为了方便起见，常常取通过两个计算点中较低的一点所在的水平面作为基准面，这样可以使方程式中的位置水头一个是0，另一个为正值；
（3）在选取断面时，尽可能使两个断面只包含一个未知数。但两个断面的平均流速可以通过连续性方程求得，只要知道一个流速，就能算出另一个流速。换句话说，有时需要同时使用伯努利方程和连续性方程来求解两个未知数；
（4）两个断面所用的压力标准必须一致，一般多用表压； （5）方程中动能修正系数α可以近似地取1。 5．画水头线的步骤 （1）画出矩形边线；
（2）据各断面的位置水头画出位置水头线，位置水头线也就是管线的轴线； （3）根据水头损失的计算结果画出总水头线，总水头线一定要正确地反映出水力坡度的变化情况，注意：变径管、渐缩管和渐扩管总水头线的画法；
（4）再依据压力水头的大小画出测压管水头线。注意以下两点，一是测压管水头线与总水头线的高差必须能够反映出流速水头的变化情况，二是测压管水头线与位置水头线之间的高差必须能够正确地反映出压力水头的变化情况；
（5）给出必要的标注。 6．带泵的伯努利方程
在运用伯努利方程时，如果所取两个计算断面中一个位于泵的前面，另一个位于泵的后面，即液体流经了泵，那么就必须考虑两个断面之间由于泵的工作而外加给液体的能量，此时的伯努利方程为
z1?p1?v12?g2g?H?z2?p2?g?v222g?hw1?2
23
7．泵的有效功率
N泵=ρgQH
泵的有效功率与和泵轴功率之比称为泵效，用ε泵表示，即 ?泵?电动机的效率ε电
?电?
N泵N轴
N轴N电
8．应用动量方程的步骤 （1）选取控制体；
（2）建立坐标系（一般选取出口方向为x方向） （3）分析受力；
（4）分别列x、y方向的动量方程并求解。
习题详解
【4－1】直径d=100mm的虹吸管，位置如附图中所示。求流量和2、3的压力。不计水头损失。
【解】选取4点所在断面和1点所在3 · 断面列伯努力方程，以过4点的水平线为
2m 基准线。 1 2v4 5?0?0? 0?0?
2?9.8· · 2 d 4 题 4－1图
· 5m 得 v4=9.9 m/s，则
4选取1、2点所在断面列伯努利方程，以过1点的水平线为基准线
2p2v2 0?0?0? 0?? （v2=v4）
?g2gQ??d2v4?0.078 m3/s
得 p2??4.9?104Pa
24
选取1、3点所在断面列伯努利方程，以过1点的水平线为基准线
2p3v3 0?0?0? 2?? （v3=v4）
?g2g得 p3??6.86?104Pa
【4－2】一个倒置的U形测压管，上部为相对密度0.8的油，用来测定水管中点的速度。若读数△h=200mm，求管中流速u=?
δ=0.8 【解】选取如图所示1－1、2－2断面列
油 伯努利方程，以水管轴线为基准线
△h p1u2p21 0??? 0??0 2 ?g2g?g同时，选取U形测压管中油的最高液面为等
压面，则 u? 2p2?p1?2(?w??o)g?h?0.784m/s
水 u 2 ??1
【4－3】图示为一文丘里管和压力计，试推导体积流量和压力计读数之间的关系式。当z1=z2时，ρ=1000kg/m3，ρH=13.6×103kg/m3，d1=500mm，d2=50mm，H=0.4m，流量系数α=0.9时，求Q=？
【解】列1－1、2－2所在断面的伯努利方程、以过1－1断面中心点的水平线为基准线。
2p1v12p2v2 0??? z1?z2??
?g2g?g2g题 4－2图
水平基准线 2 Z2 Q d2 ρ选取压力计中汞的最低液面为等压面，则
p1?p2? z1?z2?12.6H ?g又由v1?QQv?、，得 2?d12?d22441 Z1 d1 1 汞 题 4－3图 H 2 Q?0.03H 所以 Q实际?Q??0.03H??0.017m3/s
25
【4－4】管路阀门关闭时，压力表读数为49.8kPa，阀门打开后，读数降为9.8kPa。设从管路进口至装表处的水头损失为流速水头的2倍，求管路中的平均流速。
【解】当管路阀门关闭时，由压
pa 力表度数可确定管路轴线到自有液面1 1 的高度H
H 2 pH?
?g当管路打开时，列1－1和2－2断面的伯努利方程，则
22p2v2v2H?0?0?0???2
?g2g2g2 题 4－4图
得
v2?2p?p2?5.16m/s
3?【4－5】为了在直径D=160mm的管线上自动掺入另一种油品，安装了如下装置：自锥管喉道处引出一个小支管通入油池内。若压力表读数为2.3×105Pa，吼道直径d=40mm，T管流量Q＝30 l/s，油品的相对密度为0.9。欲掺入的油品的相对密度为0.8，油池油面距喉道高度H=1.5m，如果掺入油量约为原输量的10%左右，B管水头损失设为0.5m，试确定B管的管径。
【解】列1－1和2－2断面的伯努利方程，则
2p1v12p2v20???0??
?1g2g?1g2g1 3 2 3 2 B 4 其中
v1?Q1?D24Q12?d4?1.49m/s
1 4 v2??23.89m/s
题 4－5图
得 p2??2.6?104Pa
列3－3和4－4自有液面的伯努利方程，以4－4断面为基准面，则
26
2p3v30?0?0?H???h
?2g2g4?3其中p3?p2、v3?0.1Q，代入上式，得 12?dB4dB?27mm
【4－6】一变直径的管段AB，直径dA=0.2m，dB＝0.4m，高差?h=1.0m，用压力表测得pA=70kPa，pB=40kPa，用流量计测得流量Q=0.2m3/s。试判断水在管段中流动的方向。
【解】列A点和B点所在断面的伯努利方程 B 22pAvApBvB0???1???h
?g2g?g2gwA?B?H 则
hwA?B22pA?pBvA?vB???1?0
?g2gA 题 4－6图
故流动方向为A-B。
【4－7】泄水管路如附图所示，已知直径d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，汞比压力计读数?h=175mm，不计阻力，求流量和压力表读数。
【解】列1－1、2－2断面的波努利方程
2p1v12p2v2z1?z2???0??
?g2g?g2g1 1 2 2 p 3 3 又由
p1?p2?12.6?h?(z1?z2) ?g2v1A1?v2A2?v3A3（即v1d12?v2d2?v3d32）
△h 题 4－7图
可得 v2?8.56m/s、v3?11.41m/s、Q?0.067m3/s
列压力表所在断面和出口断面的伯努利方程
27
22v3pMv20???0?0?
?g2g2g可得 pM?28.457kPa
【4－8】如图所示，敞开水池中的水沿变截面管路排出的质量流量Qm=14kg/s，若
d1＝100mm，d2＝75mm，d3＝50mm，不计损失，求所需的水头H，以及第二段管段中央M点的压力，并绘制测压管水头线。
【解】列1－1和3－3断面的伯努
1 1 测压管水头线 利方程，则
2v3H?0?0?0?0?
2gH 2 3 d3 3 其中
v2?Qmd2 M d1 ?3.17m/s、
12??d22 4Q题 4－8图 v3??7.13m/s 12??d34得 H?2.594m
列M点所在断面2－2和3－3断面的伯努利方程，则
22v3p2v20???0?0?
?g2g2g22v3?v2??20.394kPa 得 p2?2【4－9】由断面为0.2m2和0.1 m2的两根管子组成的水平输水管系从水箱流入大气
1若不计损失，中：○（a）求断面流速v1及v2；（b）绘总水头线及测压管水头线；（c）
2计入损失：第一段的水头损失为流速水头的4倍，第二段为求进口A点的压力。○
3倍，（a）求断面流速v1及v2；（b）绘制总水头线及测压管水头线；（c）根据所绘制水头线求各管段中间点的压力。
【解】（1）列自有液面和管子出口断面的伯努利方程，则
2v2H?0?0?0?0?
2g得 v2?2gH?8.85m/s 又由
Av11?A2v2
得 v1?4.425m/s
28
列A点所在断面和管子出口断面的伯努利方程，则
2p1v12v2 0???0?0? 总水头线（不计损失）?g2g2g2v2?v12??29.37kPa 得 p1?2（2）列自有液面和管子出口断面的伯努利方程，则
22v2v12v2H?0?0?0?0??4?32g2g2gv122gH=4m v12总水头线（计损失）42g测压管水头线 2v22v22g3测压管水头线 2g由
Av11?A2v2
A A1=0.2m2 v1 题 4－9图
A2=0.1m2 v2 得 v2?3.96m/s、v1?1.98m/s
2v21细管断中点的压力为：(?3?)??1.2?9.8?103?11.76kPa
22v122 粗管断中点的压力为：(2v2?)??33.32?103?33.32kPa
2【4－10】用73.5×103W的水泵抽水，泵的效率为90％，管径为0.3m，全管路的水头损失为1m，吸水管水头损失为0.2m，试求抽水量、管内流速及泵前真空表的读数。
【解】列两自由液面的伯努利方程，则
0?0?0?H?29?0?0?1 得 H=30m
27m 又由
N泵??gQH?N轴? 真空表 得
73.5?0.9?0.225m3/s
?gH9.8?30Qv??3.18m/s
12?d4列最低自由液面和真空表所在断面的伯努利方程，则
Q??N轴?2m 题 4－10图 pv20?0?0?2???0.2
?g2gv2得 p??(2.2?)?g??26.62kPa
2g故真空表的度数为26.62kPa。
【4－11】 图示一管路系统，欲维持其出口流速为20m/s，问水泵的功率为多少？设全管路的水头损失为2m，泵的效率为80％。若压水管路的水头损失为1.7m，则
29
压力表上的读数为若干？
【解】列自由液面和出口断面的伯努利方程，则
v120?0?0?H?20?0??2
2g其中 v1＝20m/s 得 H=42.4m
又由
N泵??gQH?N轴? 得 N轴?0.815kW
列压力表所在断面和出口断面的伯努利方程，则
2pMv2v120???19?0??1.7
?g2g2gD1=1cm D1=2cm 19m 压力表 1m 题 4－11图 其中 v2A2＝v1A1
2v12?v2)?g?390.4kPa 得 pM?(20.7?2g【4－12】图示离心泵以20m3/h的流量将相对密度为0.8的油品从地下罐送到山上洞库油罐。地下油罐油面压力为2×104Pa，洞库油罐油面压力为3×104Pa。设泵的效率为0.8，电动机效率为0.9，两罐液面差为40m，全管路水头损失设为5m。求泵及电动机的额定功率（即输入功率）应为若干？
40m 题 4－12图
【解】列两油罐液面的伯努利方程，则
pp0?1?0?H?40?2?0?5
?og?og得H?46.28m
又由
N泵??gQH?N轴?
30
得 N轴?3.15kW、N电??3.5kW ?电【4－13】输油管线上水平90°转变处，设固定支座。所输油品δ=0.8，管径d=300mm，通过流量Q=100 l/s，断面1处压力为2.23×105Pa。断面2处压力为2.11×105Pa。求支座受压力的大小和方向？
【解】选取1－1和2－2断面及管壁围成的空间为控制体，建立如图所示坐标系。
y 列x方向动量方程
P1?Rx?0??oQv
2 2 N轴12其中P1?p1??d?15.75kN
4得 Rx?15.64k N
列y方向动量方程
F 1 x R 1 题 4－13图 Rx ζ Ry Ry?P2??oQv
1其中P2?p2??d2?14.91kN
4得 Ry?15.02k NRy22R?Rx?Ry?21.68kN ??arctan?Rxo43 .85【4－14】水流经过60°渐细弯头AB，已知A处管径dA＝0.5m，B处管径dB＝0.25m，
通过的流量为0.1m3/s，B处压力pB＝1.8×105Pa。设弯头在同一水平面上摩擦力不计，求弯所受推力。
y 【解】选取A和B断面及管壁围成
F A 的空间为控制体，建立如图所示坐标系。
列x方向动量方程
pA o Rx?PAcos60?PB??QvB??QvAcos60oo其中pA可由列A断面和B断面的伯努利方程得
22vB?vApA?pB??
2Ry R Rx 60° B pB x
题 4－14图 31
vA?Q12?dA42?dA、vB?Q12?dB44
PA?pA4、PB?pB2?dB
得 Rx?5.569kN
列y方向动量方程
PAsin60o?Ry?0??QvAsin60o
得Ry?6kN，则
22F??R??Rx?Ry??8.196kN
【4－15】消防队员利用消火唧筒熄灭火焰，消火唧筒出口直径d=1cm，入口直径
D=5cm。从消火唧筒设出的流速v=20m/s。求消防队员手握住消火唧筒所需要的力（设唧筒水头损失为1m）？
【解】选取消火唧筒的出口断面和入口断面与管壁围成的空间为控制体，建立如图所示坐标系。
y 1 列x方向的动量方程 2P1?R??Qv2??Qv1
xd R o 2 1 题 4－15图 D 其中p1可由列1－1和2－2断面的伯努利方程求得
2p1v12v2?? ?g2g2gF 又由
111v1??D2?v2??d2、P?D2 1?p1444得 R?0.472k N
【4－16】 嵌入支座的一段输水管，如图所示，其直径由D1=0.15m变化为D2=0.1m。当支座前端管内压力p=4×105Pa，流量Q=0.018m3/s，求该管段中支座所受的轴向力？
32
1 y M 2 D1 v1 R v2 D2 x 1
【解】取1－1、2－2断面及管壁围成的空间为控制体，建立如图所示坐标系。 列x方向即轴向动量方程
P1?P2?R??Qv2??Qv1
题 4－16图 2 其中p1可由1－1和2－2断面的伯努利方程求得
2p1v12p2v2??? ?g2g?g2g又由v1?Q1?D124、v2?112、P ?D12、P2?p2?D21?p11244?D24QR?3.827kN 得
【4－17】水射流以19.8m/s的速度从直径d=0.1m的喷口射出，冲击一个固定的对称叶片，叶片的转角α=135°，求射流叶片的冲击力。若叶片以12m/s的速度后退，而喷口仍固定不动，冲击力将为多大？
y 【解】建立如图所示坐标系 （1）列x方向的动量方程
F?2?Q0vcos(??90o)?(??Qv)
1其中 Q?2Q0?v??d2
4则
1F??v2??d2?(1?cos45o)?5.26kN
4（2）若叶片以12m/s的速度后退，其流体相对叶片的速度v=7.8m/s，代入上式得。
x o F α 题 4－17图
1F??v2??d2?(1?cos45o)?0.817kN
433
第五章 量纲分析与相似原理
一、学习引导
1．量纲
是指物理量的性质和种类。量纲公式为
[x]?[LTM]
2．基本量纲和导出量纲
量纲是相互独立的，不能由其它量纲导出的量纲称为基本量纲。其它物理量的量纲可由这些基本量纲按照其定义或者物理定律推导出来，称为导出量纲。 3．无量纲量 若某物理量的量纲表示为[x]= [L0T0M0]=[1]，则称x为无量纲量，也称纯数。 4．量纲和谐原理
一个正确、完整地反映客观规律的物理方程中，各项的量纲是一致的，这就是量纲和谐原理，或称量纲一致性原理。
5．相似准数与相似准则
在两个动力相似的流动中的无量纲数称为相似准数，例如雷诺数。作为判断流动是否动力相似的条件称为相似准则。
αβγ二、难点分析
1．无量纲数的特点
（1）无量纲数没有单位，它的数值与所选用的单位无关。
（2）在两个相似的流动之间，同名的无量纲数相等。如Re，常用无量纲数作为流动是否实现粘性的相似判据。
（3）在对数、指数、三角函数等超越函数运算中，都必须是对无量纲来说的，而对有量纲的某物理量取对数是无意义的。 2．量纲分析方法的应用 （1）瑞利法 （2）π定理
瑞利法对涉及物理量的个数少于5个的物理现象的是非常方便的，对于涉及五个以上（含5个）变量的物理现象虽然也是适用的，但不如π定理方便。 3．相似原理 （1）几何相似 指两个流动对应的线段成比例，对应角度相等，对应的边界性质（指固体边界的粗糙度或者自由液面）相同。
34
（2）运动相似
是指两个流动对应点处的同名运动学量成比例。 （3）动力相似
是指两个流动对应点上的同名动力学量成比例。即
?F=FpFm?GpGm?TpTm?PpPm?EpEm
4．相似准则
（1）重力相似准则
作用在流体上的合外力中重力起主导作用，此时有
Frp?Frm
其中：Fr=v/gl称为弗劳德数，其物理意义是惯性力和重力的比值。
（2）粘性力相似准则
作用在流体上的合外力中粘性力起主导作用，此时有
Rep?Rem
其中：Re=ρvdμ=vdυ称为雷诺数，其物理意义是惯性力与粘性力的比值。
（3）压力相似准则
作用在流体上的合外力中压力起主导作用，此时有
Eup?Eum
其中：Eu=p/ρv2称为欧拉数，其物理意义是压力与惯性力的比值。 5．雷诺模型
要求原型和模型的雷诺数相等，即Rep=Rem。一般来讲，设计完全封闭的流场内的流动（如管道、流量计、泵内的流动等）或物体绕流（潜水艇、飞机和建筑物的绕流等）的实验方案设计，应采用雷诺模型。
6．弗劳德模型
要求原型和模型的弗劳德数相等，即Frp=Frm。一般来讲，设计与重力波有关（如波浪理论、水面船舶兴波阻力理论、气液两相流体力学等）的实验方案设计，应采用弗劳德模型。
35
习题详解
【5－1】试用量纲分析法分析自由落体在重力影响下降落距离s的公式为s＝kgt2，假设s和物体质量m、重力加速度g和时间t有关。
【解】应用瑞利法
（1）分析物理现象，假定
s?kmx1gx2tx3
或
（2）写出量纲方程
[s]?k[mx1][gx2][tx3]
[L]?[1][Mx1][Lx2T?2x2][Tx3]
（3）利用量纲和谐原理确定上式中的指数
?1?x2??0??2x2?x3 ?0?x?1?x1?0??x2?1 ?x?2?3解得
回代到物理方程中得
s?kgt2
【5－2】检查以下各综合数是否为无量纲数：
ρQρLΔp?LQΔpQρQ?2。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）222ΔpLΔp?QρρLΔpL
【解】
（1）展开量纲公式
ΔpQL?1T?2M1L3T?12[]?[?3][2]?[L2T?2] 2ρLLML为有量纲量。
（2）展开量纲公式
ρQ[L?3M][L3T?1][]??1?1?[L?1] 22ΔpL[LTM][L]为有量纲量。
（3）展开量纲公式
ρL[L?3M][L][]??1?2?[L?7T4] 26?2Δp?Q[LTM][LT]为有量纲量。
36
（4）展开量纲公式
ΔpLQ[L?1T?2M][L][L3T?1][]??[L6T?3] ?3ρ[LM]为有量纲量。 （5）展开量纲公式
ρQL?3M1L3T?12[]?[?1?2][2]?[1] ΔpL2LTML为无量纲数。
【5－3】假设泵的输出功率是液体密度ρ，重力加速度g，流量Q，和扬程H的函数，试用量纲分析法建立其关系。 【解】利用瑞利法，取比重γ=ρg
（1）分析物理现象，假定
N泵?k?x1Qx2Hx3
或
[L2T?3M]?[1][L?2x1T?2x1Mx1][L3x2T?x2][Lx3]
（3）利用量纲和谐原理确定上式中的指数
?2??2x1?3x2?x3? ??3??2x1?x2?1?x1??x1?1??x2?1 ?x?1?3（2）写出量纲方程
[N]?k[?x1][Qx2][Hx3]
解得
回代到物理方程中得
N泵?k?QH?k?gQH
【5－4】假设理想液体通过小孔的流量Q与小孔的直径d，液体密度ρ以及压差?p有关，用量纲分析法建立理想液体的流量表达式。
【解】利用瑞利法
（1）分析物理现象，假定
Q?kdx1?x2?px3
（2）写出量纲方程
[Q]?k[dx1][?x2][?px3]
或
[L3T?1]?[1][Lx1][L?3x2Mx2][L?x3T?2x3Mx3]
（3）利用量纲和谐原理确定上式中的指数
37
?3?x1?3x2?x3? ??1??2x3?0?x?x23?解得
?x1?2??x2??1/2 ?x?1/2?3回代到物理方程中得
?【5－5】有一直径为D的圆盘，沉没在密度为ρ的液池中，圆盘正好沉于深度为H的池底，用量纲分析法建立液体作用于圆盘面上的总压力P的表达式。
【解】利用π定理 （1）分析物理现象
f(P,?,g,H,D)?0
（2）选取H、g、ρ为基本量，它们的量纲公式为
101?2[H]?[LTM0]，[g]?[LTM0]，[?]?[L?3T0M1]
其量纲指数的行列式为
1001?20??2?0 ?301Q?kd2?p所以这三个基本物理量的量纲是独立的，可以作为基本量纲。 （3）写出5－3＝2个无量纲π项
PD?1?a1b1c2，?2?a2b2c2
Hg?Hg? （4）根据量纲和谐原理，可确定各π项的指数，则
PD?1?3，?2?
Hg?H （5）无量纲关系式可写为
PDF(3,)?0 Hg?HPDD(2),?] 0或 F[2Hg?DHH总压力
D1D1P?F1()Hg?D2?F2()?gHD2???gHD2
H(D)2H4H【5－6】用一圆管直径为20cm，输送υ=4×10-5m2/s的油品，流量为12 l/s。若在实验室内用5cm直径的圆管作模型试验，假如采用（1）20℃的水，（2）υ=17×106m2/s
38
的空气，则模型流量各为多少时才能满足粘滞力的相似？
【解】依题意有Rep＝Rem，或
vpdpvmdm ??p?m（1）查表可知20℃的水的运动粘度为1.007×10-6m2/s，由此可得
?mdm1.007?10?6?0.05Qm?Qp?0.012??0.76 l/s
?pdp4?10?5?0.02
（2）若为空气，则
?mdm17?10?6?0.05Qm?Qp?0.012??12.75 l/s
?pdp4?10?5?0.02【5－7】一长为3m的模型船以2m/s的速度在淡水中拖曳时，测得的阻力为50N，
试求（1）若原型船长45m，以多大的速度行驶才能与模型船动力相似。（2）当原型船以上面（1）中求得的速度在海中航行时，所需的拖曳力（海水密度为淡水的1.025倍。该流动雷诺数很大，不需考虑粘滞力相似，仅考虑重力相似。）
【解】欲保持重力相似应维持弗劳德数相等，即
Frp?Frm
2vm或 ?gplpgmlmv2p（1）所以有 vp?vm
lplm?3?45?11.62 m/s 3（2）由同名力相似可知
Fp22?plpvp?Fm 22?mlmvm则有
22?plpvp452?11.622Fp?Fm?50?1.025??389.25 kN 22?mlmvm32?22
39
第六章 粘性流体动力学基础
一、学习引导
1．沿程阻力与沿程水头损失 流体沿均一直径的直管段流动时所产生的阻力，称为沿程阻力。克服沿程阻力引起的能量损失，称为沿程水头损失，用hf表示。
2．局部阻力与局部水头损失
流体流过局部管件时所产生的阻力，称为局部阻力。克服局部阻力所消耗的能量称为局部水头损失，用hj表示。
3．湿周
过流断面上流体与固体边壁接触的周界长度。 4．水力半径
将过流断面面积A与湿周长χ的比值称为水力半径，以Rh表示，即
Rh=A/χ
水力半径愈大，流体流动阻力愈小；水力半径愈小，流体的流动阻力愈大。
5．水力粗糙管
当???时，即管壁的粗糙凸出部分有一部分或大部分暴露在紊流区中流体流过凸出部分，将引起漩涡，造成新的能量损失，管壁粗糙度将对紊流流动产生影响。在流体力学中，这种情况下不可再将管壁看做是光滑的，这种管称为“水力粗糙管”
6．水力光滑管
当???时，即层流底层完全淹没了管壁的粗糙凸出部分，层流底层以外的紊流区域完全感受不到管壁粗糙度的影响，流体好像在完全光滑的管子中流动一样。在流体力学中，可将这种情况下的管壁看做是光滑的，这种管称为“水力光滑管”。
二、难点分析
1．影响管路阻力的断面要素
（1）过流断面面积A，其值越大内部阻力Fi越小，其值越小内部阻力Fi越大； （2）湿周χ，其值越大外部阻力F0越大，其值越小外部阻力F0越小；
（3）管壁的粗糙程度，通常用管道内壁上粗糙突起高度的平均值来衡量其大小，称为绝对粗糙度，用△来表示。绝对粗糙度与管径的比值称为相对粗糙度。
2．水力半径
圆管的水力半径为
40
πd2/4dRh==
πd4其中：d为圆管直径。
矩形截面渠道的水力半径为
Rh=其中：b为渠宽，h为水深。
井筒环形截面的水力半径为
bh b+2hπ(D2?d2)/4D?dRh==
π(D+d)4其中：D为外管内径，d为内杆外径。
3．流体在非圆形管道中流动时流态的判别 （1）先求出水力半径Rh；
（2）根据水力半径求当量直径De＝4Rh（阻力相同的圆管直径即为该非圆管的当量直径）；
（3）根据雷诺数判别其流态
vD?vDeRe?e=
??4．N-S方程的应用
??2ux?2ux?2uxdux1?pX?+υ(??)??ρ?x?x2?y2?z2dt???2uy?2uy?2uyduy1?p?Y?+υ(??)? ?222ρ?y?x?y?zdt???2uz?2uz?2udu1?p?Z?+υ(2?2?2)?zρ?z?x?y?zdt??（1）平行平板间的纯剪切流；
（2）平行平板间的泊谡叶流； （3）平行平板间的库特流；
（4）圆管层流速度分布、流量、最大流速、平均流速和切应力。 5．圆管层流沿程水头损失
Lν2hf=?
D2g式中λ=64为圆管层流的沿程阻力系数或水力摩阻系数。 Re6．圆管紊流的沿程水头损失（即确定沿程阻力系数） （1）尼古拉兹实验曲线的应用；
41
（2）经验公式；
（3）莫迪图的应用――适用于工业管道； 7．局部阻力系数 （1）突然扩大
A12v12v12hj?(1?)?δ1
A22g2g或
22A2v22v2hj?(?1)?δ2
A12g2g （2）突缩管
δ?0.5(1?A2A1)
（3）管道锐缘进出口
δ进口?0.5及δ出口?1.0
习题详解
【6－1】用直径为100mm的管路输送相对密度为0.85的柴油，在温度20℃时，其
运动粘度为6.7×10-6m2/s，欲保持层流，问平均流速不能超过多少？最大输送量为多少？
【解】预保持层流，Re≤2000即
Re?则
vd?2000 υvmax?2000υ?0.134m/s d1Qmax?πd2vmax?0.001m3/s
4【6－2】用管路输送相对密度为0.9，粘度为0.045Pa·s的原油，维持平均速度不超过1m/s，若保持在层流的状态下输送，则管径最大不能超过多少？
【解】预保持层流，Re≤2000即
Re?vd?2000 υ42
其中
υ?μ0.045??5?10?5m2/s 3ρ0.9?102000υ2000?5?10?5则 d???0.5m
v1【6－3】相对密度为0.88的柴油，沿内径100mm的管路输送，流量为1.66 l/s。求临界状态时柴油应有的粘度为若干？
【解】根据临界状态时
vd?Re??2000
?即
4Q?4?1.66?0.88??2000 ?d?3.14?0.1??得 ??9.3?10?3Pa?s
【6－4】用直径D=100mm管道，输送流量为10 l/s的水，如水温为5℃。试确定
管内水的流态。如果该管输送同样质量流量的石油，已知石油的相对密度ρ=850kg/m3，运动粘滞系数为1.14×10-4m2/s，试确定石油的流态。
【解】查表（P9）得水在温度为5℃时的运动粘度为1.519×10-6m2/s。根据已知条件可知
Re?vd??4Q?83863 ?d?故为紊流。 因该管输送同样质量流量的石油，其体积流量为
Q?Qo?w?0.012m3/s
?o则
Re?vd??4Qo?1341 ?d?故为层流。
【6－5】沿直径为200mm的管道输送润滑油，流量9000kg/h，润滑油的密度ρ=900kg/m3，运动粘度系数冬季为1.1×10-4m2/s，夏季为3.55×10-5m2/s，试判断冬夏两季润滑油在管路中的流动状态。
【解】由雷诺数可知
Re?冬季为层流。
vd??4Q?161 ?d? 43
Re?vd??4Q?498 ?d?夏季为层流。
【6－6】 管径400mm，测得层流状态下管轴心处最大速度为4m/s，求断面平均流速？此平均流速相当于半径为若干处的实际流速？
【解】由圆管层流速度分布公式
?pu?(R2?r2)
4?L平均流速为最大流速的一半，可知平均流速
?p2?pv?R?D2?2m/s 8?L32?L同时可得 令u??p?100 s-1 4?L?p(R2?r2)?2可得 4?Lr?0.141m
【6－7】运动粘度为4×10-5m2/s的流体的直径d＝1cm的管径以v=4m/s的速度流动，求每米管长上的沿程损失。 【解】由雷诺数
Re?流动状态为层流，则
vd??4?0.01?1000
4?10?5641v264142i????8.71
LReD2g10000.012?9.8hf【6－8】水管直径d＝250mm长度l＝300m，绝对粗糙度△=0.25mm。设已知流量Q=95 l/s，运动粘度为1×10-6m2/s，求沿程损失。
【解】雷诺数
Re?相对粗糙度
4Q4?0.095??484076 ?d?3.14?0.25?10?6?/d?0.001
查莫迪图（P120）得
??0.02 lv2hf???4.59m
d2g【6－9】相对密度0.8的石油以流量50 l/s沿直径为150mm，绝对粗糙度△=0.25mm。
44
的管线流动，石油的运动粘度为1×10-6m2/s，试求每km管线上的压降（设地形平坦，不计高差）。若管线全程长10km，终点比起点高20cm，终点压强为98000Pa，则起点应具备的压头为若干？
【解】（1）雷诺数
Re?相对粗糙度
4Q4?0.05??424628 ?d?3.14?0.15?10?6?/d?0.0017
查莫迪图（P120）得
??0.023
又由
?plv2?hf?? ?gd2g得
l8Q210008?0.052?p????0.023???800?491.51kPa
d?2d40.153.142?0.154（2）列起点和终点的伯努利方程
p1p?p?0.2?2?10? ?g?g?gp1?640m ?g得
【6－10】如图所示，某设备需润滑油的流量为Q=0.4cm3/s，油从高位邮箱经d＝6mm，l=5m管道供给。设输油管道终端为大气压，油的运动粘度为1.5×10-4m2/s，求沿程损失是多少？油箱液面高h应为多少？
【解】雷诺数
4Q4?0.4?10?6Re???0.566
?d?3.14?0.006?1.5?10?4流动状态为层流，则
64l8Q2hf??0.963m
Red?2d4g列输油管道终端和自由液面的伯努利方程
v2h??hf
2gh 题6－10图
得 h?2m
【6－11】为了测量沿程阻力系数，在直径0.305m、长200km的输油管道上进行现
45
场实验。输送的油品为相对密度0.82的煤油。每昼夜输送量为5500t。管道终点的标高为27m,起点的标高为152m。起点压降保持在4.9MPa，终点压强为0.2MPa。油的运动粘滞系数为2.5×10-6m2/s。试根据实验结果计算沿程阻力系数λ值。并将实验结果与按经验公式所计算的结果进行对比。（设绝对粗糙度△=0.15mm）。
【解】（1）根据实验结果计算沿程阻力系数 列起点和终点的伯努利方程式，则
p?p2z1?z2?1?hf?710m
?glv2又 hf??
d2g5500?1033其中 Q??0.078m/s，则
0.82?103?3600?24lv2l8Q2hf????
d2gd?2d4g得 ??0.019
（2）按经验公式计算（P120） 雷诺数
Re?4Q4?0.078??130312 ?d?3.14?0.305?2.5?10?6???/R?2?/d?9.84?10?4
因
2000?Re?59.7/?8/7?160054
所以其流动状态为水力光滑，则沿程阻力系数（查表6-2）为
??0.3164/Re0.25?0.017
【6－12】相对密度为1.2、粘度为1.73mPa·s的盐水，以6.95 l/s的流量流过内径为0.08m的铁管，已知其沿程阻力系数λ=0.042。管路中有一90°弯头，其局部阻力系数ζ=0.13。试确定此弯头的局部水头损失及相当长度。
【解】（1）由局部水头公式
v28Q28?(6.95?10?3)2hj????24?0.13?0.013m
2g?dg3.142?0.084?9.8（2）相当长度
l当v2v2??令hf?hj，即?，则可得 2gd2gl当??d?0.025m ?【6－13】 图示的给水管路。已知L1=25m，L2=10m，D1=0.15m，D2=0.125m，，λ1=0.037，λ2=0.039，闸门开启1/4，其阻力系数ζ=17，流量为15 l/s。试求水池中
46
的水头H。
【解】列自有液面和出口断面的伯努利方程式
2v2H??hf?hj
2gH L1 题6－13图
L2 其中
2L1v12L2v2hf??1??2D12gD22g258?(15?10?3)2 ?0.037??
0.153.142?0.154?9.8108?(15?10?3)2 ?0.039???0.465m0.1253.142?0.1254?9.8222v2v2v2hj??(1??)?18?1.221m
2g2g2g故 H?1.686 m【6－14】图示两水箱由一根钢管连通，管长100m，管径0.1m。管路上有全开闸阀一个，R/D＝4.0的90°弯头两个。水温10℃。当液面稳定时，流量为6.5 l/s，求此时液面差H为若干？设△=0.15mm。 【解】此管路属长管，列两液面的伯努利方程 H H?hf
由雷诺数
Re?其中
vd??4Q?6.33?104 ?d?R/D?4.0R/D?4.0Q?6.5?10?3m3/s
题6－14图
10℃时水 ??1.308?10?6m2/s 相对粗糙度
?/d?1.5?10?3
查莫迪图得
??0.019
lv2?0.665m 故 H?hf??d2g
47
【6－15】如图所示有一定位压力水箱，其中封闭水箱液面上的表压强p=0.118MPa，水由其中流出，并沿着由三个不同直径的管路所组成的管路流到开口容器中。H1＝1m，H2＝3m，管路截面积A1＝1.5A3，A2＝2A3，A3＝0.002m2。试确定水的流量Q。
【解】设第三段管路的速度为v3，由连续性方程可知v2=0.5 v3，v1=0.67 v3 四处局部阻力系数依次为
?1?0.5A1?2?(1?1)2?A216A1?3?0.5(1?3)?A24p H1 H2
A1 A2 A3 ?4?1列两液面的伯努利方程，因管路较
短，仅考虑局部水头，则
题6－15图
22(0.67v3)21(0.67v3)21v3v3p1?H1?H2?0.5???1 ?g2g162g42g2g解得
v3?13.49m/s
Q?v3A3?13.49?0.002?0.027m3/s
【6－16】图示一管路全长l＝30m，管壁粗糙度△=0.5mm，管径d＝20cm，水流
断面平均流速v=0.1m/s，水温为10℃，求沿程水头损失。若管路上装有两个节门（开度均为1/2），一个弯头（90°折管）进口为流线型，求局部水头损失。若流速v=4m/s，l=300m，其它条件均不变时，求沿程及局部水头损失。
【解】(1)10℃时水的??1.308?10?6m2/s，则
vd0.1?0.2Re??=1.53?104 ?6?1.308?10???/R?2?/d?5?10?3
因
2000?Re?59.7/?8/7?25074
故
??0.3164/Re0.25?0.028
lv2300.12hf???0.028???0.002md2g0.22?9.8
48
题6－16图
(2) Re?vd??4?0.2=0.61?106 ?61.308?10?/d?2.5?10?3
查莫迪图得
??0.025
lv230042hf???0.025???30.61m
d2g0.22?9.8
49