第7-3 电势能 电势(积分法) 一．填空题：
1．在电场线分布如图所示的电场中，把一个负点电荷从A点移到B点，电势能将 减少 (填增加，减少或不变)；Ａ、Ｂ两点中 B 点电势较高。
AE????12．均匀静电场，电场强度E?(400i?600j)V?m，则
点a (3，2)和点b (1，0)之间的电势差Uab??2000V。
B二．选择题：
3．真空中产生电场的电荷分布确定以后，则：( C ) (A) 电场中各点的电势具有确定值 (B) 电荷在电场中各点的电势能具有确定值 (C) 电场中任意两点的电势差具有确定值 4．在静电场中下列叙述正确的是：( B ) (A) 电场强度沿电场线方向逐点减弱 (B) 电势沿电场线方向逐点降低
(C) 电荷在电场力作用下一定沿电场线运动 (D) 电势能一定沿电场线的方向逐点降低
5．如图示，直线MN长为2R，弧OCD是以N点为中心，R为半径的半圆弧，N点有正电荷+q，M点有负电荷-q。今将一试验电荷+q0从O点出发沿路径OCDP移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功：（ D ） (A) W < 0 且为有限常量 (B) W > 0 且为有限常量 (C) W = ? (D) W = 0
-qMO+qNDPC
三．计算题：
6．电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试求球内、外的电势分布。
解: 因电荷Q的分布具有球对称性,所以球内外场强分布具有球对称性，可在球内、外作半径为r的同心球面为高斯面，
??由高斯定理?E?dS?S?q?0i?E?4?rQ2q??i?0 得:E??qi24??0r。
，E1?r?R时（即球外）
?4??0r2，所以球外任意一点的电势
V??r???E1?dr??rQ4??0rQ43?R3dr?2Q4??0r
，?qi?r?R时（即球内）
Qr43Qr3?r?3，故E2?
4??0R33R所以球内任意一点的电势为
V??Rr?R????E2?dr??E1?dr??Rr?QrQdr??R4??0r2dr
4??0R3Q(3R2?r2)(R?r)?? ? 334??R8??0R8??0R0Q22Q7．有两根半径都是R 的“无限长”直导线，彼此平行放置，两者轴线的距离是d(d≥2R)，沿轴线方向单位长度上分别带有＋λ和－λ的电荷，如图所示。设两带电导线之间的相互作用不影响它们的电荷分布，试求两导线间的电势差。
解：如图建立Ox轴，则由无限长均匀带电直导线的场强E? 可得P点（距离导线轴线为x处）的场强为
?， ? 2??0ro . x?? P x?E???????di?i?i 2??0x2??0(d?x)2??0x(d?x)两导线间的电势差(取沿x轴正方向为积分路径)为
U??
d?RRE?dx??d?RREdx??d?RRd?R?11??d?R(?)dx?lnx?ln(d?x)??R?ln2??0xd?x2??0??0R第7-4 电势（叠加法） 场强与电势关系 一．填空题：
1．电荷分别为q1，q2，q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上， 如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R，则b点处的电势V＝
q2 O q1 q3 ?8??R102q1?q2?2q3。
? b
2．半径为R的均匀带电细圆环，电荷线密度为?，则环心处的电势V=E= 0 。
?，场强大小2?03．一“无限长”均匀带电直线，沿z轴放置，线外某区域的电势表达式为V＝Aln(x2+y2)，
22式中A为常数，该区域电场强度的两个分量为：Ex??2Ax(x?y)，
Ey??2Ay(x2?y2)。
二．选择题：
4．下列各种说法中正确的是：（ B ） (A) 电场强度相等的地方电势一定相等 (B) 电势梯度较大的地方场强较大 (C) 带正电的导体电势一定为正 (D) 电势为零的导体一定不带电
5．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确的？（ C ） (A) 在电场中，场强为零的点，电势必为零 (B) 在电场中，电势为零的点，电场强度必为零 (C) 在电势不变的空间，场强处处为零 (D) 在场强不变的空间，电势处处相等
6．如图所示，边长为a的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q、2q、3q．若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心O处，外力所作的功为：（ C ） (A)
q23qQ
4??0a63qQ
4??0a (B)
43qQ
4??0a2qa .Oa (C) (D)
83qQ 4??0aa3q三．计算题：
7．电荷q均匀分布在长为2a的细棒上。⑴ 求棒的延长线上离棒的中点O为x的P点的电势；⑵ 由场强与电势关系求P点的场强。
解:（1）如图在离棒中点为l处的均匀带电细棒上取一线元dl,其带电量为
dqqdlq? dl，dq在P处产生的电势为dV?4??0(x ?l)8??0a(x?ld)l 2ap . . a -a O 所以整根带电细棒在P点处产生的电势 l x aqdlqx?a?ln V??dV??
?a8??a(x?l)8??ax?a00dq??dl?x ????V??qx?a?q11?q（2）E?Ex?? i??(ln)i??(?)i?i?x?x8??0ax?a8??0ax?ax?a4??0(x2?a2)8．球壳的内半径为R1，外半径为R2，壳体内均匀带电，电荷体密度为? ，Ａ、Ｂ、Ｃ点分别与球心O相距为a、b、c，求：Ａ、Ｂ、Ｃ三点的电势与场强。
解：（1）作半径为r的同心球面为高斯面，由于电荷分布具有球对称性，电场强度分布也呈球对称性，高斯面上各点的电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而由高斯定理
??E??dS?S?q?0i ? E?4?r2??q?0i 得:E??qi24??0r
R2 A B O . . R1 C . 所以A、B、C三点的场强分别为 EA?0
?(b3?R13)?(R23?R13)， EC? EB?3?0b23?0c2 电场强度沿径矢方向
（2）A、B、C三点的电势分别为
VA??0dr??aR1R2R133??(R?(r3?R13)?222?R1)?dr?dr?(R2?R1) 22?R2?03?0r3?0r2VB??R2b333??(R?(r3?R13)?R)2R?2221?dr??dr?(3R2?b?1) 22R6?0b3?0r3?0r2VC??
?C?(R23?R13)?(R23?R13) ?dr?3?0r23?0c