电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答 下载本文

(z?)n??n?1Pn(cos?)22r?z??2rz?cos?n?0r

1?故得到

(z?)n?(r,?)?P(cos?)dz???n?1?4??0n?0?arql?a

ql?aa3a51an?1?(?a)n?1Pn(cos?)???3P2(cos?)?5P4(cos?)??n?12??0?r3r5r4??0n?0n?1rql????

4.20 一个半径为a的细导线圆环,环与xy平面重合,中心在原点上,环上总电荷量为Q,如题4.20图所示。证明:空间任意点电位为

4?1?r?23?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0a?8?a??2?a?Q???? (r?a) ???? (r?a)

4?1?a?23?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0r?8?r??2?r?Q解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分,分别写出两个场域的通解,并利用?函

数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度

z ?? Q?Q?(cos??cos)??(cos?)222?a22?a

再根据边界条件确定系数。

a x o y

设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?),则边界

条件为: ① ②

题 4.20图

?1(0,?)为有限值; ?2(r,?)?0(r??)

?1(a,?)??2(a,?),

??1??2?)?r?r?r?a?0(Q?(cos?)22?a

根据条件①和②,可得

?1(r,?)和?2(r,?)的通解为

?1(r,?)??AnrnPn(cos?)n?0?? (1)

?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?)n?0 (2)

代入条件③,有

n?n?1Aa?Bann (3)

?[Annan?1?Bn(n?1)a?n?2]Pn(cos?)?n?0?Q2??0a2?(cos?) (4)

将式(4)两端同乘以

Pm(cos?)sin?,并从0到?对?进行积分,得 (2n?1)Q?(cos?)Pn(cos?)sin?d??2??4??0a0

?Annan?1?Bn(n?1)a?n?2(2n?1)QPn(0)4??0a2 (5)

?0?Pn(0)??(n?1)n21?3?5(?1)?2?4?6n?其中

n?1,3,5,n?2,4,6,

QanQAn?P(0)Bn?Pn(0)n?1n4??0a4??0由式(3)和(5),解得 ,

代入式(1)和(2),即得到

4?1?r?23?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0a?8?a??2?a?Q??? (r?a) ????? (r?a)

4?1?a?23?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)?4??0r?8?r??2?r?Q4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d,如果把它移到无穷远处,需要作多少功?

q??x o x x xq 解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的

?点P处时,其像电荷q??q,与导体平面相距为x???x,如

题 4.21图

题4.21图所示。像电荷q在点P处产生的电场为

?E?(x)?ex?q4??0(2x)2

所以将点电荷q移到无穷远处时,电场所作的功为

We??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx??24??0(2x)16??0d

q2Wo??We?16??0d

外力所作的功为

4.22 如题4.22图所示,一个点电荷放在60的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求:(1)所

?q有镜像电荷的位置和大小;(2)点x?2,y?1处的电位。

解 (1)这是一个多重镜像的问题,共有5个像电荷,分布在以点电荷到角域顶点的距离为半径的圆周上,并且关于导体平面对称,其电荷量的大小等于,且正负电荷交错分布,其大小和位置分别为

qq???q,q1

???2cos75??0.366?x1???2sin75??1.366??y1 ???2cos165??1.366?x2???2sin165??0.366??y2?y ? q1??q,q2? q2 ? q3q (2,1,0) (1,1,0) 60? o ? q4? q5???q,q3???2cos195???1.366?x3???2sin195???0.366??y3 ???2cos285??0.366?x4???2sin285???1.366??y4???2cos315??1?x5???2sin315???1??y5

x

??q,q4 题 4.22 图

???q,q5(2)点x?2,y?1处电位

?q4???q2?q3?q51?qq1?(2,1,0)?????????4??0?RR1R2R3R4R5?

q4??0(1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?0.321q?2.88?109q(V)4??0

4.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体,放置在无限大导体平面下方,与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡(设m?2?10kg,h?0.02m)。 解 将小带电体视为点电荷q,导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的作用

?3??力。根据镜像法可知,镜像电荷为q??q,位于导体平面上方为h处,则小带电体q受到的静

q2fe??24??(2h) 0电力为

q2?mg2f4??(2h)mg0令e的大小与重力相等,即

z z z q ?0 h ? 题 4.24图(a)

o ? h q R1 q?q??P h ? o R? R2?0 h o ? 0 P 图 2.13q ? 题 4.24图(c)

4.24图( b) 题

于是得到

q?4h??0mg?5.9?10?8C

4.24 如题4.24(a)图所示,在z?0的下半空间是介电常数为?的介质,上半空间为空气,距离介质平面距为h处有一点电荷q,求:(1)z?0和z?0的两个半空间内的电位;(2)介质表面上的极化电荷密度,并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。

解 (1)在点电荷q的电场作用下,介质分界面上出现极化电荷,利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知,镜像电荷分布为(如题4.24图(b)、(c)所示)

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