高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学

出光线经透镜折射后射向平面镜的光路，但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律，这是我们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。

解: （1）用作图法求得物AP的像A?P?及所用各条光线的光路如图1-5-25所示。 说明：平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M组合LM，如图1-5-25所示。图中O为L的光心，AOF?为主轴，F和F?为L的两个焦点，AP为物。作图时利用了下列三条特征光线：

①由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主光轴的夹角等于入射角，均为α。反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的

L MOP?。

P S/ ②由P发出且通过L左方焦点F的Q 入射光线PFR，它经过L折射后的出射 H / 线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然F A F/ ?后被M反射，反射光线平行于L的主轴，A ? O / 并向左射入L，经L折射后的出射线通P过焦点F，即为图个中RFP。

③由P发出的平行于主轴的入射光

S T 线PQ，它经过L折射后的出射线将射向图1-5-25 L的焦点F?，即沿图中的QF?方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向

与F?对称的F点，即沿QF方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出：通过O作平行于QF辅助线S?OS，S?OS通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。

上列三条出射光线的交点P?即为LM组合所成的P点的像，对应的A?即A的像点。由图可判明，像A?P?是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得A?P?，即为正确的答案。

（2）按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小。

物AP经透镜L成的像为第一像，取u1?2f，由成像公式可得像距?1?2f，即像在平面镜后距离2f处，像的大小H?与原物相同，H??H。

第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后2f处，对M来说是虚物，成实像于M前2f处。像的大小H??也与原物相同，H???H??H。

第二像作为物，再经透镜L而成的像为第三像。这是因为光线由L右方入射。且物（第二

111??u??2f，由透镜公式u3?3f可得像距 像）位于L左方，故为虚物，取物距3fu3?3??0u?f3

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2f3上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离处，像的大小H???可

H????31????u33求得，即 由H11H????H???H33

1像高为物高的 3。

C F O F 例6、如图1-5-26所示，凸透镜焦距f=15cm，

OC=25cm，以C为圆心、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。

y,yˊ 分析: 先考虑发光圆环上任意一点

P P经透镜所成之像，当P点绕圆环一周时，

对应的像点的集合就构成整个发光圆环x xˊ F O F C 通过透镜所成的像。因此可用解析几何的Pˊ 方法讨论本题。

解: 如图1-5-27所示，以O点为直

图1-5-27

角坐标系原点建立坐标系xOy和x?Oy?。

考虑发光圆环上任一点P（x，y），则有

图1-5-26

(x?25)2?y2?52 ①

发光点P（x，y）的像为P?(x?,y?)，根据透镜成像公式及放大率关系可有

111??xx?f ② y?x??yx ③

联立②、③式解得

x?15x?x??15 ④ 15y?y?x??15 ⑤

将④、⑤式代入①式中并整理得

(x??45)2y?2??12215(53) ⑥

⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心45cm处，以主光轴为长轴的椭

圆。

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讨论 如果把发光圆环用一球壳取代，则根据对称性，球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。

点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状，至于是什么样的曲线，要视具体情r1 r2 F B A 况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一

d 椭圆环就是一例。本题的关键是要建立恰当的物

f 方和像方坐标系来球解问题。

例7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜，讨论可行性。

图1-5-28 解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征；球形表面的半径r1和r2，厚度d和折射n（图1-5-28），焦距f=BF由下式给出

?111?n?1?1??(n?1)???d???frrnrr??212? ?1焦距是从主点B算起的。B离表面的距离为

BA?h?

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给满意结果，因为是在一定的近似下得到的。

光被透镜色散。透镜对波长?0的折射率是na，对波长?b的折射率是nb。按折射率n的幂次整理焦距公式，得

r2dn(r1?r2)?d(n?1)

f(r1?r2?d)n2?[2fd?f(r1?r2)?r1r2]n?fd?0

这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可以解决。 先后以

na和nb代入方程，并令其相等

?11na?1??(na?1)???d??rrnar1r2?2?1?

?11nb?1???(nb?1)???d??rr?nrr12b12??

整理后得到

?1?r1?r2?d?1??nn??ab??

如果半径r1,r2与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两不同的折射率来说，

a）焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积ab在起作用，而不是色散（b。因折射率大于

1，于是括号内的数值小于1，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。

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结果讨论：首先，透镜不可以是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，r1和r2之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。

如果要求的不是f而是（f-h）对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。

例7、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的最相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图1-3-29所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。

1、求插入玻璃板后，像的新位置。

2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？

解: 解法1

1、折射率为n，厚度为d 两面平行的玻璃板，对于会聚在像点P?的傍轴光束的折射作用可如下方法求出：如图1-3-30，iD取任一指向P?点的傍轴光线CP?，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDEP??，在平板第一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向延长EP??交D点处的法线于F，容易看出，DEP??P?为

平行四边形，则

P?P???DF?b/tan??b/tani 平行板厚度d为

d?b/tan?

得 P?P???d(1?tan?/tani) 因为i与r都很小，所以 tan?/tani?sin?/sini?1/n 故得

dP?P??L0.90cm zzPAzBz8.0cm 12.0cm 图1-3-29

FECrb 图1-3-30

?1?P?P???d?1???n?

以上结果对任何会聚于P?点的傍轴光线均成立，所以向轴上P?点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上P??点。在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向

移动距离P?P??，由题给数据得

P?P???0.9?(1?1/1.5)?0.3(cm) 故像成在镜头后面12.0+0.3=12.3（cm）处。 2、设照像机镜头焦距为f， 不放玻璃板时有

1/228+1/2=1/f，

可得 f=11.4cm。

插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面v处，即