高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学

相交于A（图1-4-18）。

对空气、液体界面用折射定律有

sini?n?sinr

当光圈足够小时，B→E，因此有

（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向ACOE入射界面，无偏折地出射，进入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P点，折射角为r。折射光线PQ要能进入人眼E，P点应非常靠近O点，或说入射角i 折射角r应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律nsini?sinr可写为r?ni。这两条光线反向延长，在主轴上相交于A?，A?即为物A之虚像点（图1-4-19）

对?APA?用正弦定律，得

n?siniBE/AB?sinrBE/CB

n?CE40.0??1.33AE30.0

sin?A?PAsin(??i)sini????AAAPA?P

在小角（近轴）近似下：

sin?A?PA??A?PA?ni?i，sini?i

A?P?A?D

ni?ii?A?O 上式可写为 A?O?2R2R2RA?O???4R2?n2?3/2解上式得

为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB，即然A~A?是一对共轭点，只要选从B发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过A?垂轴线相交于

B?，B?是点物B虚像点，即A?B?是物AB之正立虚像。

选从B点发出过圆柱面轴心C之光线BC。该光线对界面来说是正入射（入射角为零），故无偏折地出射，反向延长BC线交过A?垂轴线于B?，从?A?B?C?~?ABC得

A?B?A?C3R???3ACR放大率=AB

例5、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平

面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿轴放置一细条形发光

体A1A2（A2离球心较近），其长度为L=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去（如图1-4-20），可以看到条形发光

图1-4-20 体的两个不很亮的像（此处可能还有亮度更弱的像，不必考虑），

当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随之移

动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一

A1OA2OA?A图1-4-21

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起，此时条形发光体的近端A2距球心O的距离为?1?0.020m。

试利用以上数据求出构成此半球的玻璃折射率n（计算时只考虑近轴光线）。

解: 1、条形发光体的两个像，一个是光线在平面部分反射而形成的，一个是光线经平面折射进入玻璃，在凹面镜上反射后，又经平面折射穿出玻璃而形成的。

OA??OA?a2、求半球外任一个在轴上的光点A的上述两个像。平面反射像在A?处，（见

图1-4-21）

凹面镜反射像D求法如下：

（1）A点发出的光经平面折射后进入玻璃，射向凹面镜，对凹面镜来说，相当于光线从B点射来（1-4-22）。令OB=b，则

b?na （1）

（2）用凹面镜公式

1112???u?fR

（f为焦距）求凹面镜成的像C的位置。令OC=C，则 u?b?R，??R?C

代入上式

BAOC图1-4-22

112??R b?RR?C解出C得

EODC图1-4-23

bRnaRC??2b?R2na?R （2）

由此可以看出，C点在半球之内。

（3）由C点发出的光线，经折射穿出玻璃外时，由外面观察其像点在D处（见图1-4-23）。令OD=d，则

D点就是人眼所看到的光点A的像的位置。 由（3）式可知，a越大，d也越大，且 d＜a

d?1aRC?n2nb?R （3）

?A2?，设经凹面镜反射所成的像为D1D2。3现在，条形发光体A1A2经平面反射成的像为A1?近。所根据（3）式所得的a与d间的关系，可知D2离球心O比D1和A2?重合 以当二像恰好头尾相接时，其位置应如图1-4-24所示，即D1与A2? （4） OD1?OA2a1R?a2即 2na1?R

A2D2D1A1OA2?A1?图1-4-24

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式中a1为A1距球心O的距离。因此得

a?a2ln?1R?R2a1a22a1a2 （5）

代入已知数据：R=0.128m，

SF2F1l?0.20m，a2?0.20m

a1?a2?l?0.40m

0.20n??0.123?1.602?0.20?0.40得

例6、某人的眼睛的近点是10cm，明视范围是80cm，

当他配上-100度的近视镜后明视范围变成多少？

解:在配制眼镜中，通常把眼睛焦距的倒数称为焦度，用D表示，当焦距的单位用m时，所配眼镜的度数等于眼镜焦度的100倍。

本题中此人所配的近视眼镜的度数是-100度，此人

SF1F2APMO??100?眼睛的度数

1?100f，所以此近视镜的焦距为 100??1.00m100

SOFM?

当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时，所成的虚像在他能看清的近点10cm，由

f?MMPOSO?F1M?F2M?111??f uvf?v?1.0?(?0.10)u???0.11mv?f?0.10?(1.0)解得物距

图1-5-1

因为此人的明视远点是10 cm +80 cm =90 cm，所以此人戴上眼镜以后在看清最远的物体

时，所成的虚像在离他90 cm处，再根据透镜公式可解得他能看清的最远物距是：

u?

所以，他戴上100度的近视眼镜后，明视范围是0.11m～9.0m。

说明 不管是配戴近视眼镜还是远视眼镜，他戴上眼镜后，不是把他的眼睛治好了，而是借助把他要看清的物体成虚像到他不戴眼镜时所能看清的明视范围内。

§1.5、透镜成像

1.5.1、透镜成像作图

f?v?1.0?(?0.90)??9.0mv?f?0.90?(1.0)

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（1）三条特殊光线

①通过光心的光线方向不变；

②平行主轴的光线，折射后过焦点； ③通过焦点的光线，折射后平行主轴。

OO?与焦平面 MM?（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴OO’平行于SA，

交于P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射光线

*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。

1.5.2、薄透镜成像公式 薄透镜成像公式是：

111??u?f

2式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令x?u?f，x????f，则有 xx??f

该式称为“牛顿公式”。式中x是物到“物方焦点”的距离，x?是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦S?2点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x?取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清

x1?0x2?0S1F1S2OF2S1???0x1x,x?的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。

一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心u1?30cm和

??0x2图1-5-2

u2?15cm的两点时，求像所在的位置及速度。

x1?u1?f?10cm，x2?u2?f??5cm

代入牛顿公式得

??40cm，x???f?60cm，?2?x2??f??60cm， ??80cm，?1?x12 x1?、x2?意义如图1-5-2所示。 上述x1、x2、x1设在△t时间内，点光源的位移为△x，像点的位移为 ?x?，有

f2f2(x??x)x???x???2x??xx??x2

当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，有

f2f2?xf2?xx???x???2?x??2xxx