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(21)．（本小题满分12分）
x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线与C相交与A、
3abB两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为(Ⅰ)求a,b的值；
2 2????????????(Ⅱ) C上是否存在点P，使得当l绕F到某一位置时，有OP?OA?OB成立？若存在，求
出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
(22)．（本小题满分12分）
设函数有两个极值点x1，x2，且x1
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1-2ln2 4学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国2卷）全解全析
一、选择题 答案：A
解析：运用复数基本运算化为复数代数形式 2.B 3.D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. D 9. D 10. C 11. A 12. B 13.6 14.0 15.8? 16. 5 17.
解：b2?ac?sin2B?sinAsinC由??cos(A?C)?cosAcosC?sinAsinC?cos(A?C)?cosAcosC?sinAsinC?cos(A?C)?cosB?2sinAsinC?2sin2B?32
?sinB?32又cosB?32?cos（A-C）〉0故B为锐角，所以B?60018.
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（1）证明：取BC中点F，连EF、AF，WEI 依题意有矩形ADEF 因为DE?面BCC1，所以AF?面BCC1 所以AF?BC，又BF=CF，所以AB=AC(2)解：设AC=AB?1，AA1?2x 作AG?BD于G,则AG=xx2?1 依题意有CA?面ABB1，连CG，则CG?BD 所以?CGA?600，由AC?tan?CGA得AGx2?12?3, 解得x?,所以AA1?2x2?????????????以A为坐标原点，AB、AC、AA1分别为x、y、z轴正方向????????2建系，则BD?（-1，0，），BC?（-1，1，0）2??????2?z?0?n?BD??x?设n?（x,y,z),且?,2??????n?BC??x?y?0???????取n?(1,1,2),又CB1?（1，-1，2）????????????1于是可得cos?n,CB1??，所以?n,CB1??600,其余角即为所求， 2所以B1C与面BCD所成的角的大小为30019．
解：（1）由Sn?1?4an?2，有Sn?4an?1?2，两式相减得an?1?4an?4an?1 变形为an?1?2an?2(an?2an?1),即bn?2bn?1（,n?2) 由S2?a1?a2?4a1?2得a2?5,于是b1?a2?2a1?3 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列（2）由（1）得bn?3?2n?1,即an?1?2an=3?2 于是{?n1,所以
an?1an3a11??,且?n?1n42222
an13}是首项为，公差为的等差数列 242na131 所以n??（n-1)?(3n?1)442n2 所以an?(3n?1)2n?2,(n?N*)20．
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解：（1）因为抽取比为3111?，由10??2，5??1得10?5555 应在甲组抽取2人、在乙组抽取1人 （2）设从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的事件为A1C186C4 则P(A)=2?15C10
所以从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率为815（3）依题意??0、1、、231111C2C1C22284C36C4C34C2 由P（??0）?21?， P（??1）?21?21?，C10C525C10C5C10C575 P（??2）=CCCCCCC3110?21?， P（??3）??7575CCC10C5CC 0 1 2 3 262101315161412216221105
得?的分布列如表 ? P 2831 75752831108所以?的数学期望E??1??2??3???1?6
757575521.
2 2510 75解：（1）因为F（c,0),(c?0且a2-b2=c2)所以当直线l斜率为1时，l方程为y?x?c2c21222 依题意有?,得c?1,所以a-b=1,又e?2?23a2c 得a?3,b?2
x2y2（2）椭圆C的方程为??1,当斜率k存在时,直线l的方程为y=k(x-1)设点A（x1,y1),B(x2,y2),32???????????? ① 若存在点P(x0,y0)?C， 则由OP＝OA＋OB,可得x0?x1?x2,y0?y1?y2 由椭圆C和直线l两个方程联立消y得(2+3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 显然对任意x?R,??0恒成立,从而有6k24kx0?x1?x2?,y?y?y?k(x?x?2)??012122?3k22?3k2 将x0,y0代入椭圆方程并整理得 3k4?4k2?4?0,解得k??2 所以当直线l不垂直于x轴时,满足条件的点P存在
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3232 且当k?2时点P(,?),当k??2时,点P(,)2222 对应直线l的方程分别为y?2x?22,y??2x?222323),B(1,?)33此时点P(2,0)不在椭圆上,所以此种情况下满足条件的点p不存在②若直线l垂直于x轴,则点A(1, 22.
2x2?2x?a解：（Ⅰ）因为?(x)?，（x??1)x?1 所以设g(x)?2x2?2x?a(x??1)/?1?1??2〉?11依题意，由?g(?1)?0得0?a?，所以a的取值范围为（0,)22 ?1?g(?)?02?由?/(x)?0得?1?x?x1或x?x2 由?/(x)?0得x1?x?x2所以f(x)的单调增区间为（-1,x1)和(x2,??),单调减区间为(x1,x2)其中x1??1?2a?11?2a?11,x2?,且a?(0,)2221?2a?1(1?2a?1)21?2a?1（Ⅱ）证明：因为x2?，所以设h(a)?f(x2)??aln2421?1?2aa1?2a?11?2a?11?1 则h/(a)???ln?ln?ln?022221?2a1?2a(1?2a?1)11 所以h(a)在(0,)递减，又h(a)在a?处连续2211?2ln21－2ln2 所以h(a)?h()?，即f(x2)＞244
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