有有有有有有有有有第七节 二次函数的综合应用

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1．(2018·衡阳中考)如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.

(1)若抛物线的解析式为y＝－2x＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N. ①求点M，N的坐标；

②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；

(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

2

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2．(2018·枣庄中考)如图1，已知二次函数y＝ax＋x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴

2交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC. 32

(1)请直接写出二次函数y＝ax＋x＋c的解析式；

2(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；

1

有有有有有有有有有(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

图1

图2

3．(2018·眉山中考)如图1，已知抛物线y＝ax＋bx＋c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2

有有有有有有有有有

参考答案

1．解：(1)①如图，

∵y＝－2x2

＋2x＋4＝－2(x－1292)＋2，

∴顶点M的坐标为(12，9

2)．

当x＝11

2时，y＝－2×2＋4＝3，

则点N的坐标为(1

2，3)．

②不存在．理由如下： MN＝92－3＝32

. 设P点坐标为(m，－2m＋4)，则D(m，－2m2

＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2

＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2

＋4m. ∵PD∥MN，

当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形， 即－2m2

＋4m＝3132，解得m1＝2(舍去)，m2＝2

，

3

有有有有有有有有有此时P点坐标为(3

2，1)．

∵PN＝

（12－32

）2＋（3－1）2

＝5， ∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不为菱形， ∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形． (2)存在． 如图，

OB＝4，OA＝2，则AB＝22＋42＝25. 当x＝1时，y＝－2x＋4＝2， 则P(1，2)，

∴PB＝12

＋（2－4）2

＝5. 设抛物线的解析式为y＝ax2

＋bx＋4，

把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2， ∴抛物线的解析式为y＝ax2－2(a＋1)x＋4.

当x＝1时，y＝ax2

－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，则D(1，2－a)，∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，

∴当PDBO＝PBBA时，△PDB∽△BOA，即－a4＝525，

解得a＝－2，

此时抛物线的解析式为y＝－2x2

＋2x＋4； 当

PDBA＝PBBO时，△PDB∽△BAO，即－a25＝54

， 解得a＝－52

，

此时抛物线的解析式为y＝－52

2

x＋3x＋4.

4