令h″(x)＝0，解得x＝ln 2a.
所以h′(x)在(－∞，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增． 所以h′(x)min＝h′(ln 2a)＝2a－2aln 2a－1，
设m＝2a，g(m)＝m－mln m－1，而 g′(m)＝1－(1＋ln m)＝－ln m， 则g(m)在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
1
所以g(m)max＝g(1)＝0，即h′(x)min≤0 (当m＝1即a＝时取等)．
21
1° 当a＝时，h′(x)min＝0, 则h′(x)≥0恒成立．
2所以h(x)在R上单调递增，又h(0)＝0，则h(x)有一个零点； 1
2°当a>时，ln 2a>0，h′(x)min＝h′(ln 2a)<0，
2
有h′(x)在(－∞，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增， 且x→＋∞时，h′(x)＝e－2ax－1>0， 则存在x1>0使得h′(x1)＝0，又h′(0)＝0，
这时h(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增， 所以h(x1)
1
3°当0 2 有h′(x)在(－∞，ln 2a)上单调递减，在(ln 2a，＋∞)上单调递增， 且x→－∞时，h′(x)＝e－2ax－1>0， 则存在x2<0使得h′(x2)＝0.又h′(0)＝0， 这时h(x)在(－∞，x2)上单调递增，在(x2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 9 xx2 x所以h(x2)>h(0)＝0.又x→－∞时，h(x)＝e－ax－x－1<0，h(0)＝0. 所以这时h(x)有两个零点； 11 综上：a＝时，原方程一个解；当a≠且a>0时，原方程两个解． 22 x2 方法总结 【p40】 1．应用导数解决不等式的问题，构造函数应用导数推理求解是有效方法之一，也是近几年高考压轴题的常见命题方法之一． (1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式； (2)证明不等式f(x) (3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 2．应用导数解决方程根的探究等问题，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 理解题意 3．(1)利用导数解决生活中的优化问题的思路是：阅读审题――→引入建模将实际问题抽象为数学问题应用导数解决模型 ――→解模――→回归实际． (2)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点． 走进高考 【p40】 10 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； ?1??1??1?(2)设m为整数，且对于任意正整数n，?1＋??1＋2?…?1＋n?＜m，求m的最小值． ?2??2??2? 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞). ①若a≤0，因为f??11?2???＝－2＋aln 2＜0，所以不满足题意； ②若a＞0，由f′(x)＝1－a＝x－axx知， 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增， 故x＝a是f(x)在x∈(0，＋∞)的唯一最小值点． 由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0. 故a＝1. (2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x＞0 令x＝1＋1?12n得ln??1＋2n???＜1 2 n，从而 ln???1＋12???＋ln??1?1＋22???＋…＋ln??1?1＋2n??11 11?＜2＋2 2＋…＋2n＝1－2n＜1， 故??1?1＋2?????1?1＋22???…???1＋12n??? ＜e， 而???1＋12?????1?1＋22?????1?1＋23??? ＞2，所以m的最小值为3. 考点集训 【p195】 A组题 1．正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( ) 11 3333A.V B.2V C．2V D.4V 【解析】设底面边长为a，高为h，则V＝Sh＝ 32 ah， 4 ∴h＝4V43V＝2， 2 3a3a32343Va＝a2＋ 42a则表面积为S＝3ah＋243V则S′＝3a－2， a43V43V3 令S′＝3a－2＝0可得3a＝2，即a＝4V. aa【答案】D 2．若不等式2xln x≥－x＋ax－3对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞) 332 【解析】2xln x≥－x＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则 2 xxh′(x)＝ （x＋3）（x－1） .当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，2 x＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4. 【答案】B 3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3，且对任意实数x，总有f′(x)＜3，则不等式f(x)＜3x－15的解集为( ) A．(－∞，4) B．(－∞，－4) 12