考点09 两角和与差的正弦、余弦、正切
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
1、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．
3
【答案】π
4
tanα＋tanβ
【解析】因为(tanα－1)(tanβ－1)＝2，所以tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＋1＝2，即＝－1，
1－tanαtanβ3
所以tan(α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝π.
4
2.(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
9
【答案】
7
tanα－tanβ219
【解析】由三角函数的定义可知tanα＝＝2，tanβ＝，故tan(α－β)＝＝＝. 15171＋tanαtanβ
1＋2×
52
3、(2017苏北四市一模） 若tanβ＝2tanα，且cosαsinβ＝，则sin(α－β)的值为________．
31
【答案】 －
3
【解析】因为tanβ＝2tanα，所以
sinβ2sinα2
＝，即cosαsinβ＝2sinαcosβ.又因为cosαsinβ＝，所以sinαcosβcosβcosα3
1
2－5
1121＝，从而sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－＝－. 3333
π?1?π
＋α＝0＜α＜?，则sin(π＋α)＝________. 4、(2017扬州期末） 已知cos?2??3?3?【答案】
3－22
6
πππ1ππ5ππ
＋α?＝?0＜α＜?，所以＜＋α＜，从而sin?＋α?＞0，所以sin＋α＝【解析】因为cos?2??3?3??3?3363π22ππ?π＋α?cosπ－cosπ＋αsinπ＝3－22. ＋α?＝1－cos2?，因此sin(π＋α)＝－sinα＝－sin＋α－＝－sin?3?3?3?333336
π4
α＋?＝________. 5、(2016苏州暑假测试） 已知α∈(0，π)，cosα＝－，则tan??4?51
【答案】
7
3－＋14πtanα＋1431
α＋?＝【解析】由α∈(0，π)，cosα＝－，得tanα＝－，则tan?＝＝. ?4?1－tanα5437
1＋4
6、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________．
9
【答案】
7
tanα－tanβ219
【解析】由三角函数的定义可知tanα＝＝2，tanβ＝，故tan(α－β)＝＝＝. 15171＋tanαtanβ
1＋2×
5ππasin＋bcos
7710πb
7、(2019扬州期末）设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝________．
21aππ
acos－bsin
77【答案】 3
πππb
asin＋bcostan＋
777a10π10πb
解法1(方程法) 因为a，b是非零实数，由＝tan，得＝tan，解得＝
2121aππbπ
acos－bsin1－tan77a710ππ
－tan217π10ππ?b
，即＝tan?＝tan＝3. －a37??2110ππ
1＋tan·tan
217tan
ππππbπ
tan＋3sin＋3cossin＋cos
7777a710π10πππ
解法2(系数比较法) tan＝tan?＋?＝＝，tan＝＝
2121?73?ππππbπ
1－3tancos－3sincos－sin7777a7ππ
sin＋3cos77b
，所以＝3.
aππ
cos－3sin
77
【问题探究，开拓思维】 题型一 三角函数化简求值
知识点拨：本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.
1
2－5
tan?2??π??π?3，则sin?2???的值是_____. 例1、（2019江苏高考题）已知?tan????4??4??【答案】
2. 10【解析】由题意首先求得tan?的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求
tan??1?tan??tan?tan?2????值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.??tan??1tan??13， ?tan????4?1?tan??得3tan2??5tan??2?0， 解得tan??2，或tan???1. 3?????sin?2????sin2?cos?cos2?sin
4?44?22?2sin?cos??cos2??sin2????sin2??cos2??=?? 22?sin2??cos2??2?2tan??1?tan2??=??， 2?tan2??1?2?2?2?1?22?2=；当tan??2时，上式= ??2?22?1?102??1??1???2????1?????2??1?3??3??=2. 当tan???时，上式=2?2?103?1???????13????综上，sin?2??????2?. ?4?10ππ
－α?，α∈?，π?，则sin2α＝________． ?4??2?
【变式1】(2019镇江期末）若2cos2α＝sin?
7
【答案】－
8
πππππ3
解法1 设－α＝β?β∈?－π，－??，则α＝－β.由2cos2α＝sin?－α?，得2cos?－2β?＝2sin2β＝
444????4?4??2?π17
4sinβcosβ＝sinβ，而sinβ≠0，故cosβ＝.所以sin2α＝sin?－2β?＝cos2β＝2cos2β－1＝－.
48?2?
ππ2
解法2 由2cos2α＝sin?－α?得2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(cosα－sinα)．又α∈?，π?，
2?4??2?
则cosα－sinα≠0，故cosα＋sinα＝
27.两边平方得sin2α＝－. 28
π
sin?θ＋?4??4
【变式2】(2019无锡期末） 已知θ是第四象限角，且 cosθ＝，那么的值为________．
5cos(2θ－6π)【答案】
52
14
【解析】因为θ是第四象限角，所以sinθ<0， 3
则sinθ＝－1－cos2θ＝－，
5
πππ2
sin?θ＋?sinθcos＋cosθsin（sinθ＋cosθ）
4?442?
所以＝＝＝
cos（2θ－6π）cos2θcos2－sin2θ22（sinθ＋cosθ）2252
＝＝. （cosθ＋sinθ）（cosθ－sinθ）4?3?14
－－5?5?
ππ
α＋?，则tan?α＋?＝________. 【变式3】(2017苏锡常镇调研（一）） 已知sinα＝3sin??6??12?【答案】23－4
ππππππππ
α＋－?＝3sin?α＋＋?，即sin?α＋?cos－cos?α＋?·解法1 由题意可得sin?sin＝?1212??1212??12?12?12?12πππππ23－2πππ
α＋?cos＋3cos?α＋?sin，所以tan?α＋?＝－2tan＝－2tan?－?＝－3sin?＝23－4. ?12?12?12?12?12??34?121＋3
ππ?3－1πππ333
－＝解法2 tan＝tan?＝2－3.因为sinα＝3sinαcos＋3cosαsin，即sinα＝sinα＋cosα，?34?1＋31266223π＋2－3tanα＋tan2－3312π16－833
α＋?＝即tanα＝，所以tan?＝＝＝23－4. ?12?π3－42－33
1－tanαtan1－×?2－3?
122－33
ππ
α－?＝________. 【变式4】(2017苏州期末） 若2tanα＝3tan，则tan??8?81＋52
【答案】
49
π
【解析】思路分析 可先记t＝tan，最后再代入化简．
8
π31－cost－t
4π?22－1π3t?解法1 记t＝tan＝＝2－1，则tanα＝t.所以tan?α－8?＝＝＝2＝8π2322＋3t11－62sin1＋t42?2－1??11＋62?1＋52
＝.
4949