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指数与指数幂的运算

【学习目标】

1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.

2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．

4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.

5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数【要点梳理】

与对数函数

互为反函数(a＞0，a≠1).

要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质

2.分数指数幂的概念及运算性质

为避免讨论，我们约定a>0，n，m?N，且

*

m为既约分数，分数指数幂可如下定义： na?na 1na?(na)m?nam m-1an?m

an3．运算法则

当a＞0,b＞0时有：

（1）a?a?a（2）ammnm?nmn；

??n?amn；

amm?n（3）n?a?m?n，a?0?；

am（4）?ab??ambm.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如

4(?4)2?(4?4)2；

(3)幂指数不能随便约分.如(?4)?(?4).

2412要点二、根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义：

若x=y(n∈N，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根，即x=ny.

n

*

n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n0?0；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为?ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n0?0. 2．两个等式

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（1）当n?1且n?N时，（2）nan??*??nan?a；

?a,(n为奇数)?|a|(n为偶数)

要点诠释：

①计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误．

②指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．

负指数幂化为正指数幂的倒数

．

)，先要化成假分数（如15/4），

底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如

然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．

在化简运算中，也要注意公式： a2－b2＝（a－b）（a＋b），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）， （a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，的运用，能够简化运算.

指数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、指数函数的概念： 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2，y?3x?1等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

x

x

x1x①如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)x，当x?11,x?,???时，在实数范围内函数值不存在． 24②如果a?1，则y?1x?1是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义．

要点二、指数函数的图象： y=ax 0

a>1时图象 ?1?（2）指数函数y?a与y???的图象关于y轴对称。

?a?xx要点三、指数函数底数变化与图像分布规律

① y?ax ②y?bx ③y?cx ④y?dx 则：0＜b＜a＜1＜d＜c

观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越

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陡，而且指数函数都过点（0,1）

又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cx （底大幂大） x∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx（底小幂小）

要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法： (3)分类讨论法 (4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【要点梳理】

AA?1，或?1即可． BB对数及对数运算

要点一、对数概念 1.对数的概念

如果ab?N?a?0，且a?1?，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

要点诠释：

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R. 2.对数logaN?a?0，且a?1?具有下列性质：

(1)0和负数没有对数，即N?0； (2)1的对数为0，即loga1?0； (3)底的对数等于1，即logaa?1.

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN.

以e（e是一个无理数，e?2.7182???）为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN.

要点二、对数的运算法则 已知logaM，logaN?a?0且a?1，M、N?0? (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

loga?MN??logaM?logaN

(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；

logaM?logaM?logaN N(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

logaM???logaM

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： 错误1：loga(M?N)=logaM?logaN， 错误2： (M·N)=logaM·logaN， 要点三、对数公式 1．对数恒等式：

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?ab?NlogN??aa?N

logaN?b?2．换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:

(1) logaM?loganb

Mn(n?R)

bn

n

令 logaM=b， 则有a=M， (a)=M，即(an)b?Mn， 则b?log所以得出结论:logaM?log(2) logaM?ananMn

Mn.

logcM(c?0,c?1)，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 logcab?logcM(c?0,c?1)

logcalogcMlogcM即b?logca?logcM， 即b?，即logaM?(c?0,c?1)

logcalogca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得

到一个重要的结论:

logab?1(a?0,a?1,b?0,b?1).

logba对数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、对数函数的概念

1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是?0,???，值域为R． 2．判断一个函数是对数函数是形如y?logax(a?0,且a?1)的形式，即必须满足以下条件：

（1）系数为1；

（2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x． 要点诠释： （1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像y?loga(x?1),y?2logax,y?logax?3等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象 0＜a＜1 a＞1 图象 要点诠释： （1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.

（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0. （3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．

2．底数变化与图象变化的规律

在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。

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