新编物理基础学(上下册1-17章)课后习题（每题都有）详细答案
王少杰，顾牡主编
第一章
1-1.质点运动学方程为：r?acos(?t)i?asin(?t)j?btk,其中a，b，?均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。
分析：由速度、加速度的定义，将运动方程r(t)对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。
解：v?dr/dt??a?sin(?t)i?a?cos(?t)j?bk
a?dv/dt??a?2??cos(?t)i?sin(?t)j??
1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/dt??Kv2， 式中K为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离
?Kx时的速度为 v?v0e 。 其中v0是发动机关闭时的速度。 分析：要求v?v(x)可通过积分变量替换a?证：
dvdv?v，积分即可求得。 dtdxdvdvdxdv???v??Kv2 dtdxdtdxdv ??Kdx
vv1xvln??Kx , dv??Kdx?v0v?0v0 v?v0e
1-3．一质点在xOy平面内运动，运动函数为x?2t,y?4t?8。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t=1 s和t=2 s 时质点的位置、速度和加速度。
分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运动学方程r(t)表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得v(t)和a(t)，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。
2解：（1）由x?2t,得：t?x,代入y?4t?8
2?Kx
?2 可得：y?x?8，即轨道曲线。
画图略 （2）质点的位置可表示为：r?2ti?(4t?8)j 由v?dr/dt则速度：v?2i?8tj 由a?dv/dt则加速度：a?8j
则：当t=1s时，有r?2i?4j,v?2i?8j,a?8j
当t=2s时，有r22?4i?8j,v?2i?16j,a?8j
221-4．一质点的运动学方程为x?t，y?(t?1)，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在t?2s时质点的速度和加速度。 分析同1-3.
1
解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由x?t2，，可得t?
x,代入y?(t?1)2
y?x?1，即轨迹方程
22 （2）质点的运动方程可表示为：r?ti?(t?1)j 则：v?dr/dt?2ti?2(t?1)j a?dv/dt?2i?2j
2 因此, 当t?2s时，有v?4i?2j(m/s),a?2i?2j(m/s)
11-5．一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?bt2，其中v0，b都是常量。（1）
2整理得：求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。
分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程s?s?t?，求导可求出质点的运动速率v?ds，因dtv2dv22而，a??，an?，a?a??0?ann0，a?a??an，当a?b时，可求出t，代入运动
dt?学方程s?s?t?，可求得a?b时质点运动的路程，解：（1）速率：v?dss即为质点运动的圈数。 2?R?v?bt，且dv??b
dtdt0(v0?bt)2dvv2?0?n0??b?0?n0 加速度：a?dt?R 则大小：a?a2??a2n?(v0?bt)2?2?b???……………………①
R??
2 方向：tan????v0?bt?2bRv
（2）当a=b时，由①可得：t?0
b
2v0v012（3）当a=b时，t?，代入s?v0t?bt,可得：s?
2bb22v0s? 则运行的圈数 N? 2?R4?bR1-6．一枚从地面发射的火箭以20m?s?2的加速度竖直上升0.5min后，燃料用完，于是像一个
自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。
分析：分段求解：0?t?30s时，a?20ms，求出v、a；t＞30s时，a??g。求出v2(t)、
2x2(t)。当v2?0时，求出t、x，根据题意取舍。再根据x?0，求出总时间。
解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s，且0.5min=30s
tvxdvx2, 得?axdt??dvx,ax?20(m/s)，
00dt vx?20t(m/s),t?30(s)时，v1?600(m/s)
则：当0≤t≤30s，由ax? 2
30x1dx 由vx?，得?vxdt??dx，则：x1?9000(m)
00dt当火箭未落地, 且t＞30s,又有：
?t30ax2dt??vx2v1dvx2,ax2??9.8(m/s2)，
则：vx2?894?9.8t(m/s) 且：
?t30vx2dt??dx，则：x??4.9t2?894t?13410(m)…①
x1x当vx2?0，即t?91.2(s)时，由①得，xmax?27.4km
（2）由（1）式，可知，当x?0时，t?166(s)，t≈16(s)＜30(s)（舍去）
1-7. 物体以初速度20m?s?1被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后
的1.5s末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？ 分析：（1）建立坐标系，写出初速度v0，求出v(t)、tan?，代入t求解。
（2）由（1）中的tan?关系，求出时间t；再根据y方向的运动特征写出y?t?，代入t求y。 （3）物体轨迹最高点处，vy?0，且加速度a?an?v2??g，求出?。
v2，求出?。
（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 an?gcos??00?解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立二维坐标系 （1）初速度v0?20cos60i?20sin60j?10i?103j(m/s)， 且加速度a??9.8j(m/s),
则任一时刻：v?10i?(103?9.8t)j(m/s)………………①
2103?9.8t……………………………②
10当t=1.5(s)时，tan??0.262,??14?41'
与水平方向夹角有tan??当t=2.5(s)时，tan???0.718,???35?41' （2）此时tan??1, 由②得t=0.75(s)
121gt?103?0.75??9.8?0.752?10.23(m) 22v2?g，（3）在最高处，v?10i(m/s),v?10(m/s),an?
高度y?vyot??v2 则：???10.2(m)
g（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知：
an?acos??gcos??g ?gvx v10?4.9(m/s2) 20v2400????82(m)
an4.93
1-8．应以多大的水平速度v把一物体从高h处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h的n倍？ 分析：若水平射程vt?hn，由h?1gt消去t，即得v?h?。 2解：设从抛出到落地需要时间t
则，从水平方向考虑vt?hn，即
从竖直方向考虑h?则有： v?12gt,消去t， 2n2gh 21-9．汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m?s-1，切向加速度的大小为0.2m?s-2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
分析：由某一位置的?、v求出法向加速度an，再根据已知切向加速度a?求出a的大小和方向。
102??0.25(m/s2), 方向指向圆心 解：法向加速度的大小an??400总加速度的大小
v2a?a2??a2n?0.22?0.252?0.32(m/s2)
a如图1-9，tan????0.8,??38?40',
an则总加速度与速度夹角??90????128?40'
? v0 ?? ????anat ?? ??v g
图1-10
1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为v0，与水平方向成?角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空
2气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为an ? v /? 。
分析：运动过程中，质点的总加速度a? g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小v?v0，其方向与水平线夹角也是?。可求出an ，如图1-10。再根据关系
an ? v 2/? 求解。
解：切向加速度 a??gsina 法向加速度 an?gcosa
2v0v2因 an? ? ????angcos?v2 4
1-11．火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地，A，B两地相距为S。火车先以加速度a1作匀加速运动，当速度达到v后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a2作匀减速行驶，使之刚好停在B地。求火车行驶的时间。
分析：做v-t图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S。 解：由题意，做v-t图（图1-11）
则梯形面积为S，下底为经过的时间t， tan??a1,tan??a2
v?t?(t?vcot??vcot?)? 2S111则：t??v(?)
v2a1a2则：S?
1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落，当它下落了距离h时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h为多大时，小球弹的最远？
分析：先求出小球落到A点的小球速度，再由A点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l,最后由极植条件求出h。 解：如图1-12，当小球到达A点时，有v?2gh 则速度大小：v?2gh,
设从A点落地的时间为t，则有H?h? 则t?212gt， 22(H?h) g1H时，l有最大值。 2小球弹射的距离，l?vt?2(H?h)h?2?h2?Hh 则当h? 1-13．离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。
分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为v0。可以由v0求出船速v和垂直绳的分量v1。再根据an?v12?关系，以及an与a关系求解a。
5
解：如图1-13，v2?v0 船速v?v2sec? 当船离岸的距离为s时， v?v0vhs2?h2,v1?v2tan??0 ss则，an?v12??v12s?h22?acos??ass?h22 v02h2 即：a?
s3
1-14. A船以30km?h-1的速度向东航行，B船以45km?h-1的速度向正北航行，求A船上的人观察到的B船的速度和航向。
分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。
解：如图1-14，vA?30i(km/h),vB?45j(km/h) B船相对于A船的速度vBA?vB?vA?45j?30i(km/h) 则速度大小：vBA?v方向：??arctan2B?v2A?54.1(km/h)
vB?56.3?，既西偏北56.3? vA-11-15. 一个人骑车以18km?h的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至
36km?h-1时，看见雨滴与他前进的方向成120°角下落，求雨滴对地的速度。
6
分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。
解：如图1-15，vr为雨对地的速度， vp1,vp2分别为第一次，第二次人对地的速度，
vr?p1,vr?p2分别为第一次，第二次雨对人的速度
??120?
由三角形全等的知识，可知：????180??120??60
三角形ABC为正三角形，则：vr?vp2?36(km/h)，方向竖直向下偏西30?。
1-16如题图1－16所示，一汽车在雨中以速率v1沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方?角，速率为v2，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？
分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。 解：如图1-16（a），车中物体与车蓬之间的夹角 ??arctanl h若?＞?，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若?＜?，则图1-16（b） 则有v车?|BC|?|AC|?|AB|
=v雨对车sin??v雨sin??v雨cos?tan??v雨sin? 又v雨?v2 则：v车?v2(lcos??sin?) h1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥下时，一只水桶落入水中，0.5h后他才发觉，即回头追赶，在桥下游5.0km处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。 分析：设静水中船、水的速率分别为v1,v2(v1?v2)，从桶落水开始记时，且船追上桶时为t时
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刻。取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为v?v1?v2，逆水时船的速率为v?v1?v2,做v-t图，见图1-17
解： SABDC?SDEGF即：?(v1?v2)?(?v2)??0.5?(?v2)???(v1?v2)??(t?0.5) 则：t?1.0(h) 又：v2?t?5.0
则：水流速率v2=5.0(km/h)
1-18．一升降机以2g的加速度从静止开始上升，在2.0s末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m，求钉子从顶板落到底板的时间t, 它与参考系的选取有关吗？ 分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。
解：如图1-18建立坐标系，y轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为vo,钉子脱落后对地的运动方程为： y1?h?vot?升降机底面对地的运动方程为：
??12gt 21y2?vot??2gt2
2且钉子落到底板时，有y1?y2，即t?0.37(s)
t与参考系的选取无关。
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第二章
2-1分析：用隔离体法，进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。 解：以m、M整体为研究对象，有：F?(m?M)a…① 以m为研究对象，如图2-1（a），有F?FMm?ma…② 由①、②，有相互作用力大小FMm?MF
m?M若F作用在M上，以m为研究对象， 如图2-1（b）有FMm?ma…………③ 由①、③，有相互作用力大小FMm
m
FMm（a）
m
F mF，发生变化。 ?m?MFMm（b）
2-2. 分析：由于轻滑轮质量不计，因此滑轮两边绳中的张力相等，用隔离体法进行受力分析，运用牛顿第二定律列方程。
解：取向上为正，如图2-2，分别以M1、M2和m为研究对象， 有： T1?M1g?M1a
?(M2?m)g?T2?? (M2?m)a
FM2m?mg ? ?ma
2M1mg
M1?M2?m又：T1=T2，则： FMm =
2当M1=M2= 4m， F
?Mm210mg8mg 当M1=5m, M2=3m, ，发生变化。 ?FM2m992-3.分析：用隔离体法受力分析，运用牛顿第二定律列方程。 解：f为空气对气球的浮力，取向上为正。 分别由图2—3（a）、(b)可得：
f?Mg?Ma
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f?(M?m)g?(M?m)a1
则a1?
2-4．分析：用隔离体法受力分析，人站在底板上静止不动，底板、人受的合力分别为零. 解：设底板、人的质量分别为M，m， 以向上为正方向，如图2-4（a）、(b)， 分别以底板、人为研究对象， 则有：T1?T2?F?Mg?0 T3?F'?mg?0
F为人对底板的压力，F'为底板对人的弹力。 F=F'
Ma?mgm?a?g? ,?a?a?a1?m?Mm?M1T1 2(M?m)g则T2?T3??245(N)
4又：T2?T3?由牛顿第三定律，人对绳的拉力与T3是一对 作用力与反作用力，即大小相等，均为245（N）。 2-5．分析：加斜向下方向的力，受力分析，合力为零。 解：如图2—5，建坐标系，以沿斜面向上为正方向。与N所在的平面上做力F，且0???（若
在mg?2
?2则：?Fcos??mgsin??f?0 f??N
N?Fsin??mgcos??0
则有：F?????，此时F偏大）
mg(?cos??sin?)mg(?cos??sin?)1?,??arctan
?sin??cos??1??2sin(???) 10
即：Fmin?mg(?cos??sin?)1??2,此时???2???arctan?
2-6. 分析：利用牛顿定律、运动方程求向上滑动距离。停止滑动时合力为零。 解：由题意知： ??tan? ① 向上滑动时， mgsin???mgcos??ma ②
2v0?2aS ③
2联立求解得 S?v0/(4gsin?)
当它停止滑动时，会静止，不再下滑． 2-7. 分析：要满足条件，则F的大小至少要使水平方向上受力平衡。 解：如图2—7，Fcos??f??N??(mg?Fsin?) F??mg1??sin(???)2(??arctan1?)
当sin(???)?1时,Fmin=?mg1+?2?14.08N
2—8. 分析：垂直方向的力为零，水平方向的力提供向心力。先求速度，再求周期讨论。 证：设两个摆的摆线长度分别为l1和l2，摆线与竖直轴之间的夹角分别为?1和?2，摆线中的张力分别为F1和F2，则
F1cos?1?m1g?0 ① F1sin?1?m1v1/(l1sin?1) ② 解得：
2v1?sin?1gl1/cos?12?l1sin?1?2?v1
第一只摆的周期为 T1? l1cos?1 gm1 m2 题2-8
同理可得第二只摆的周期 T2?2?l2cos?2 g由已知条件知 l1cos?1?l2cos?2 ∴ T1?T2 2—9分析：受力分析，由牛顿第二定律列动力学方程。 证明：如图2—9（b）、（c），分别以M、M+m为研究对象，
a2（方设M、M+m对地的加速度大小分别为a1（方向向上）、
向向下），则有：对M，有：
11
（b） (c) 图2-9
h?12a1t2f?Mg?Ma1对M?m,有:
(M?m)g?f'?(M?m)a2又:f?f'mgt2-2Mh则:a2=(M+m)t2则质量重的人与滑轮的距离:
1m?12?h??h?a2t2?h?gt?。此题得证。 ?2M?m?2?2-10.分析：受力分析，由牛顿定律列方程。 解：物体的运动如图2—10（a ）， 以m1为研究对象，如图（b），有：
F1?m1a1
以m2为研究对象，如图（c），有：
F?F1'?m2a2
'又有：F1?F1
则：a2?F?m1a1?9.4m/s2 m2
2—11.分析：（1）小物体此时受到两个力作用：重力、垂直漏斗壁的支承力，合力为向心力；（2）小物体此时受到三个力的作用：重力、垂直漏斗壁的支承力和壁所施的摩擦力。当支承力在竖直方向分量大于重力，小球有沿壁向上的运动趋势，则摩擦力沿壁向下；当重力大于支承力的竖直方向分量，小球有沿壁向下的运动趋势，则摩擦力沿壁向上。这三个力相互平衡时，小物体与漏斗相对静止。 解：
12
（1）如图2—11（a），有：
mgtan?2?mv2htan?2，则：v?gh （2）若有向下运动的趋势，且摩擦力为最大静摩擦力(f2??N2)时，速度最小，则图2—11（b）有： 水平方向：N2cos?2?f2sin?2?mv2htan?2
竖直方向：N2sin?2 又：f2??N2
则有：v??f2cos?2?mg
1??tangh1??cot??2
2若有向上运动的趋势，且摩擦力最大静摩擦力(f3??N3)时，速度最大，则图2—11（c），有： 水平方向：N3cos?2?f3sin?2?mv2htan?2
竖直方向：N3sin?2 又：f3??N3
则有：v??f3cos?2?mg
1??tangh1??cot??2
21??tan综合以上结论，有gh??2?v?gh1??tan1??cot??2
1??cot222—12． 分析：因为滑轮与连接绳的质量不计，所以动滑轮两边绳中的张力相等，定滑轮两边绳中的张力也相等，但是要注意两物体的加速度不相等。
解：图2—12（a）以A为研究对象，其中FL、FR分别为滑轮左右两边绳子的拉力。有：
mAg?FL?FR?mAaA
且：FL?FR
'图2—12（b）以B为研究对象，在水平方向上，有：FL?f?mBaB '2又：FL?FL，aB?2aA,aA?1.0m/s
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mA?mB?m?3kg 联立以上各式，可解得：f?
2—13．分析：如图2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。 解：mgrcos??A 题图2－12 B mg?2maB?maA?7.2N
2FR FL
f mAg
图2－12a
N FL?
mBg 图2－12b
12mv…………① 2又：v???r,此时,v??r………② 由①、②可得： ??2gcos? r题图2－13
v2N?mgcos??m……③
r由①、③可得，N=3mgcos?
图2－13
2—14分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。 解：设阻力f?kv(k?0)，则加速度a?2F?kvmF则有：0?,k?2,从而:mvm2F?f，当a=0时，速度达到最大值vm， mf?F2v 2vm又a?F?fdv?，即：mdtF?F2v2vmdv?…………① mdt 14
Fdt?mtdvv2(1?2)vmdvv2(1?2)vmvm/2vm/2F?0mdt??0
?v??1?t?vm?F??vm?t??ln?v?m??0?2?1???vm??0t?mvmln3，即所求的时间 2FF?对①式两边同乘以dx，可得：
2vmvFdx?2dv2mvm?vF2v2vmdvdx?dx mdt?x02vm/2vmvFdx??dv20mvm?v2x2mvm/2
?F??v22?x??ln(v?vm)????m2??0??0x?mvmv4ln?0.1442F3F2m2m题图2－15
2-15．分析：相对运动。m1相对地运动，m2、m3相对B运动，T1?2T2。根据牛顿牛顿定律和相对运动加速度的关系求解。
解：如下图2-15，分别是m1、m2、m3的受力图。
设a1、a2、a3、aΒ分别是m1、m2、m3、B对地的加速度；a2B、a3B分别是m2、m3对B的加速度，以向上为正方向，可分别得出下列各式
?m1g?T1'?m1a1……………① ?m2g?T2'?m2a2…………②
?m3g?T2?m3a3……………③
又：
15
a2?aB?a2Ba3?aB?a3B
且：a2B??a3B
则：a2?a3?2aB,且aB??a1,则：
a2?a3??2a1
''又：T1?T1?T2?T2
…………④ …………⑤ …………⑥
T2'?T2
?4m2?3m1ga?g????1.96m/s2?13m1?4m25??4m2?m1g则由①②③④⑤⑥，可得：?a2??g????1.96m/s2
3m1?4m25??5m?4m23gg??5.88m/s2?a3?13m1?4m25?8m1m2g?0.784N。T1?2T2?1.57N （2）将a3的值代入③式，可得：T2?3m1?4m2aM?am，2-16．分析：：要想满足题目要求，需要M、m运动的加速度满足：
如图2-16（b），以M为研究对象，N1，N2，f1，f2分别为m给M的压力，地面给M的支持力，m给M的摩擦力，地面给M的摩擦力。 解：aM?F?f1?f2
M''如图2-16（c），以m为研究对象，N1,f1分别为M给m的支持力、摩
擦力。
f1'则有：am?
m又f1?f1??N1??N??mg,则aM?am可化为：则：Fmin''f2??N2???m?M?g
F??(M?m)g??mg?mg ?Mm?2?(m?M)g?19.4N
题图2－16
2-17．分析：如图2-17，对石块受力分析。在斜面方向由牛顿定律列方
oo程，求出时间与摩擦系数的关系式，比较??60与??45时t相同
求解?。
解：（1）其沿斜面向下的加速度为：
16
a?mgsina??mgcosa?gsina??gcosa
mL1又s??at2，则：
cosa2t?2L
gcosa(sina??cosa)2L，
gcos60?(sin60???cos60?)（2）又??60?时，t1???45?时，t2?2L
gcos45?(sin45???cos45?)又t1?t2，则：??0.27
2—18，分析：绳子的张力为质点m提供向心力时，M静止不动。 解：如图2—18，以M为研究对象, 有：Mg?T'……① 以m为研究对象，
v2水平方向上，有：T?man?m……②
r又有：T'?T…③
v2Mg?由①、②、③可得： rm0
题图2－18
-12-19．一质量为0.15kg的棒球以v0?40m?s的水平速度飞来，被棒打击后，速度与原来方
向成135角，大小为v?50m?s-1。如果棒与球的接触时间为0.02s，求棒对球的平均打击力大小及方向。
分析：通过动量定理求出棒对球在初速方向与垂直初速方向的平均打击力，再合成求平均力及方向。
解：在初速度方向上，由动量定理有： ?F1t?mvcos135??mv0 ①
在和初速度垂直的方向上，由动量定理有： F2t?mvcos45? ② 又F?F12?F22 ③
由①②③带入数据得：F?624N
?F2?F与原方向成arctan???F???155?角
?1?2-20. 将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高出盒底h将小钢珠以每秒B个的速率由静止开始掉入盒内，设每一个小钢珠的质量为m，若钢珠与盒底碰撞后即静止，试求自钢珠落入盒内起，经过t秒后秤的读数。
分析：秤的读数是已落在盒里石子的重量与石子下落给秤盘平均冲力之和，平均冲力可由动量定律求得。
17
解：对在dt的时间内落下的钢珠，由动量定理： 0?mBdt2gh??Fdt
所以t秒后秤的读数为： mgBt?mB2gh
2-21. 两质量均为M的冰车头尾相接地静止在光滑的水平冰面上，一质量为m的人从一车跳到另一车上，然后再跳回，试证明，两冰车的末速度之比为?M?m?/M。 分析：系统动量守恒。
解：任意t时刻，由系统的动量守恒有：Mv1?(M?m)v2?0
所以两冰车的末速度之比： v1/v2??M?m?/M
2-22. 质量为3.0kg的木块静止在水平桌面上，质量为5.0g的子弹沿水平方向射进木块。两者合在一起，在桌面上滑动25cm后停止。木块与桌面的摩擦系数为0.20，试求子弹原来的速度。 分析：由动量守恒、动能定理求解。
解：在子弹沿水平方向射进木块的过程中，由系统的动量守恒有：
Mv0?(M?m)v 一起在桌面上滑动的过程中，由系统的动能定理有：
①
1(M?m)v2??(M?m)gl 2由①②带入数据有： v0?600m/s
② 2-23. 光滑水平平面上有两个物体A和B，质量分别为mA、mB。当它们分别置于一个轻弹簧的两端，经双手压缩后由静止突然释放，然后各自以vA、vB的速度作惯性运动。试证明分开之后，两物体的动能之比为： 分析：系统的动量守恒。 解：由系统的动量守恒有：
EkAmB?。 EkBmAmAvA?mBvB?0
所以 vA/vB?mB/mA
2EkA(1/2)mAvAmB物体的动能之比为： ??2EkB(1/2)mBvBmA
2-24．如图2-24所示，一个固定的光滑斜面，倾角为θ，有一个质量为m小物体，从高H处沿斜面自由下滑，滑到斜面底C点之后，继续沿水平面平稳地滑行。设m所滑过的路程全是光滑无摩擦的，试求：（1）m到达C点瞬间的速度；（2）m离开C点的速度；（3）m在C点的动量损失。
分析：机械能守恒，C点水平方向动量守恒，C 点竖直方向动量损失。 解：（1）由机械能守恒有：
18
题图2－24
mgH?12mvc带入数据得vc?2gH， 2方向沿AC方向
（2）由于物体在水平方向上动量守恒，所以
mvccos??mv，得：v?2gHcos?
方向沿CD方向。
（3）由于受到竖直的冲力作用，m在C点损失的动量：
?p?m2gHsin?，方向竖直向下。
2-25．质量为m的物体，由水平面上点O以初速度v0抛出，v0与水平面成仰角α。若不计空气阻力，求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点落回至同一水平的过程中，重力的冲量。
分析：竖直方向由动量定力理求重力冲量。最高点竖直方向速度为零。落回到与发射点同一水平面时，竖直方向的速度与发射时竖直的方向速度大小相等，方向相反。 解：（1）在竖直方向上只受到重力的作用，由动量定理有：
0?(mv0sin?)?I重，得I重??mv0sin?，方向竖直向下。
（2）由于上升和下落的时间相等，物体从发射点落回至同一水平面的过程中，重力的冲量：
I重??2mv0sin?，方向竖直向下。
2-26．如图所示，在水平地面上，有一横截面S=0.20m2的直角弯管，管中有流速为v=3.0m?s?1的水通过，求弯管所受力的大小和方向。
分析：对于水竖直方向、水平方向分别用动量定理求冲力分量，弯管所受力大小为水所受的冲力合力。
解：对于水，在竖直方向上，由动量定理有：
0??vdtSv?F1dt
①
在水平方向上，由动量定理有：
?vdtSv?F2dt ②
由牛顿第三定律得弯管所受力的大小：
F?F12?F22 ③
由①②③带入数据得F=2500N，方向沿直角平分线指向弯管外侧。
?1题图2－26
2—27．一个质量为50g的小球以速率20m?s作平面匀速圆周运动，在1/4周期内向心力给它的冲量是多大？
分析：画矢量图，利用动量定理求冲量。 解：由题图2—27可得向心力给物体的冲量大小：
I?2mv1?1.41N?S
题图2－27
19
2—28．自动步枪连续发射时，每分钟射出120发子弹，每发子弹的质量为7.90g，出口速率
735m?s?1，求射击时枪托对肩膀的平均冲力。
分析：由动量定理及牛顿定律求解。
解：由题意知枪每秒射出2发子弹，则由动量定理有：
2dtmv?0?F?dt
由牛顿第三定律有：枪托对肩膀的平均冲力 F?F??11.6N
2—29. 如图2-29所示，已知绳能承受的最大拉力为9.8N，小球的质量为0.5kg，绳长0.3m，水平冲量I等于多大时才能把绳子拉断（设小球原来静止）。 分析：由动量定理及牛顿第二定律求解。 解：由动量定理有： mv?0?I
①
②
L v2由牛顿第二定律有：F?mg?m
l
由①②带入数据得：I?0.857kg?m/s
I 题图2－29
2—30. 质量为M的木块静止在光滑的水平面桌面上，质量为m，速度为v0的子弹水平地射入木块，并陷在木块内与木块一起运动。求（1）子弹相对木块静止后，木块的速度和动量；（2）子弹相对木块静止后，子弹的动量；（3）在这个过程中，子弹施于木块的冲量。
分析：由木块、子弹为系统水平方向动量守恒，可求解木块的速度和动量。由动量定理求解子弹施于木块的冲量。
解：（1）由于系统在水平方向上不受外力，则由动量守恒定律有：
mv0?(m?M)v
所以木块的速度：v?mv0mv0，动量：Mv?M
m?Mm?Mm2v0（2）子弹的动量： mv?
m?M（3）对木块由动量定理有： I?Mv?Mmv0
m?M2—31．一件行李的质量为m，垂直地轻放在水平传送带上，传送带的速率为v，它与行李间的摩擦系数为?，（1）行李在传送带上滑动多长时间？（2）行李在这段时间内运动多远？ 分析：由动量定理求滑动时间，由牛顿定律、运动方程求出距离。 解：（1）对行李由动量定理有： ?mg?t?mv?0
得：?t?v ?g（2）行李在这段时间内运动的距离，由：
?mg?ma，a??g，s?at2，
12 20
11v22 s??g?t?22?g2—32．体重为p的人拿着重为Q的物体跳远，起跳仰角为?，初速度为v0，到达最高点该人将手中物体以水平向后的相对速度u抛出，问跳远成绩因此增加多少？
分析：以人和物体为一个系统，系统在水平方向上不受外力作用，因此系统在水平方向上动量守恒。动量守恒中涉及的速度都要相对同一参考系统。 解：在最高点由系统动量守恒定律有：
(P?Q)v0cos??Pv?Q(v?u)
增加成绩?s?(v?v0cos?)由①②可得：?s?①
②
v0sin? gvsin?Qu0 P?Qg2—33. 质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）．
分析：以船和狗为一个系统，水平方向动量守恒。注意：动量守恒中涉及的速度都要相对同一参考系统。
解：设V为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒：
MV?m(V?u)?0 即： V??mu
M?mttmm船走过的路程为： L??Vdt?udt?l ?M?mM?m00狗离岸的距离为： S?S0?(l?L)?S0?2-34．设F?7i?6j(N)。
（1）当一质点从原点运动到r??3i?4j?16k(m)时，求F所作的功； （2）如果质点到r处时需0.6s，试求F的平均功率； （3）如果质点的质量为1kg，试求动能的变化。
分析：由功、平均功率的定义及动能定理求解，注意：外力作的功为F所作的功与重力作的功之和。 解：（1）A= =rMl
M?m?0rF?dr
(7i?6j)?(dxi?dyj?dzk)
40?0 =?7dx??6dy
0-3 21
??45J，做负功 （2）P?A45??75W t0.6（3）?Ek?A??r0?mgj?dr ?mgdy
= -45+ = -85J
?402—35．一辆卡车能沿着斜坡以15km?h?1的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切
tan??0.02，所受的阻力等于卡车重量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，则卡车的
速率是多少？
分析：求出卡车沿斜坡方向受的牵引力，再求瞬时功率。注意：F、V同方向。 解：sin??tg??0.02，且f?0.04G 上坡时，F?f?Gsin??0.06G 下坡时，F??f－Gsin??0.02G 由于上坡和下坡时功率相同，故
? 题图2—35
p?Fv?F?v?
所以v??45km/h?12.5m/s
2—36．某物块质量为P，用一与墙垂直的压力N使其压紧在墙上，墙与物块间的滑动摩擦系数为?，试计算物块沿题图所示的不同路径：弦AB，圆弧AB，折线AOB由A移动到B时，重力和摩擦力作的功。已知圆弧半径为r。
分析：保守力作功与路径无关，非保守力作功与路径有关。 解：重力是保守力，而摩擦力是非保守力，其大小为f??N。 （1）物块沿弦AB由A移动到B时， 重力的功?pgh?pgr 摩擦力的功?f?AB?重力的功?pgh?pgr 摩擦力的功?f?AB?A O N B r 2?Nr
（2）物块沿圆弧AB由A移动到B时，
题图2—36
1??Nr 2（3）物块沿折线AOB由A移动到B时，
重力的功?pgh?pgr。摩擦力的功?f?AOB?2?Nr
2-37．求把水从面积为50m的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为1.5m，水面至街道的竖直距离为5m。
分析：由功的定义求解，先求元功再积分。
解：如图以地下室的O为原点，取X坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。 选一体元dV?Sdx，则其质量为dm?pdV?pSdx。 把dm从地下室中抽到街道上来所需作的功为
2 22
题图2-37
dA?g(6.5?x)dm
故A?
2-38．质量为m的物体置于桌面上并与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未压缩也未伸长的位置，并以速度v0向右运动，弹簧的劲度系数为k，物体与支承面间的滑动摩擦系数为?，求物体能达到的最远距离。 分析：由能量守恒求解。
解：设物体能达到的最远距离为x(x?0) 根据能量守恒，有
?1.50dA??1.50pSg(6.5?x)dx?4.23?106J
v0 1212mv0?kx??mgx 222mv02?mgx??0 即：x?kk2m 题图2-38 解得x??mg??2?kv01?22?1?
?k??mg??2—39．一质量为m、总长为l的匀质铁链，开始时有一半放在光滑的桌面上，而另一半下垂。试求铁链滑离桌面边缘时重力所作的功。
分析：分段分析，对OA段取线元积分求功，对OB段为整体重力在中心求功。 解：建立如图坐标轴
选一线元dx，则其质量为dm?mdx。 l铁链滑离桌面边缘过程中，OA的重力作的功为
11A1??dA??g(l?x)dm?mgl
28OB的重力的功为
1l201l20111mg?l?mgl 2243故总功A?A1?A2?mgl
8A2?题图2—39
2-40．一辆小汽车，以v?vi的速度运动，受到的空气阻力近似与速率的平方成正比，
2?2?1F??Av2i，A为常数，且A?0.6N?s?m。（1）如小汽车以80km?h的恒定速率行驶1km，
求空气阻力所作的功；（2）问保持该速率,必须提供多大的功率？ 分析：由功的定义及瞬时功率求解。 解：（1）v?80ikm/h?2?102im/s,?r?1?103im 9故F??Av2i?0.6?(?102)2i
29 23
??则A?F??r??300kJ
(2)P?Fv?Av3?6584W
2-41．一沿x轴正方向的力作用在一质量为3.0kg的质点上。已知质点的运动方程为
（1）力在最初4.0s内作的功；x?3t?4t2?t3，这里x以m为单位，时间t以s为单位。试求：（2）在t=1s时，力的瞬时功率。
分析：由速度、加速度定义、功能原理、牛顿第二定律求解。 解：(1)v(t)?dx?3?8t?3t2 dt则 v(4)?19m/s,v(0)?3m/s 由功能原理，有
1m?v(4)2?v(0)2????528J 2dxdv（2）v(t)??3?8t?3t2,a(t)??6t?8
dtdtA??Ek?t?1s时，F?ma??6N,v??2m/s
则瞬时功率p?Fv?12W
2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)
分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。
解：设铁钉进入木板内xcm时，木板对铁钉的阻力为
f?kx(k?0)
由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，故
?10fdx??fdx
1x所以，x?2。第二次时能击入(2?1)cm深。
2—43．从地面上以一定角度发射地球卫星，发射速度v0应为多大才能使卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转？
分析：地面附近万有引力即为重力，卫星圆周运动时，万有引力提供的向心力，能量守恒。 解：设卫星在距地心半径为r的圆轨道上运转速度为v, 地球质量为M, 半径为Re,卫星质量为m.
根据能量守恒，有
12GMm12GMmmv0??mv? 2Re2r又由卫星圆周运动的向心力为
GMmmv2FN?2?
rr
24
卫星在地面附近的万有引力即其重力，故
GMm?mg 2Re联立以上三式，得v0??1Re?2gRe?1?? 2r??2—44．一轻弹簧的劲度系数为k?100N?m?1，用手推一质量m?0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1?0.02m处，如图2-44所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2?0.1m而停止，求物体与水平面间的滑动摩擦系数。 分析：系统机械能守恒。
解：物体沿水平面移动过程中，由于摩擦力做负功，
致使系统（物体与弹簧）的弹性势能全部转化为内能（摩擦生热）。 根据能量关系，有
12kx1??mgx2所以，??0.2 2
2—45．一质量m?0.8kg的物体A，自h?2m处落到弹簧上。当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，物体再被弹回，试求弹簧弹回至下压0.1m时物体的速度。 分析：系统机械能守恒。
解：设弹簧下压0.1m时物体的速度为v。把物体和弹簧看作一个系统，整体系统机械能守恒，选弹簧从原长向下压缩x0的位置为重力势能的零点。
当弹簧从原长向下压缩x0?0.2m时，重力势能完全转化为弹性势能，即
题图2—44
题图2—45
12kx0 2当弹簧下压x?0.1m时，
11mg(h?x0)?kx2?mg(x0?x)?mv2
22mg(h?x0)?所以，v?3.1gm/s
2—46．长度为l的轻绳一端固定，一端系一质量为m的小球，绳的悬挂点正下方距悬挂点的距离为d处有一钉子。小球从水平位置无初速释放，欲使球在以钉子为中心的圆周上绕一圈，试证d至少为0.6l。
25
分析：小球在运动过程中机械能守恒；考虑到小球绕O点能完成圆周运动，因此小球在圆周运动的最高点所受的向心力应大于或等于重力。
证：小球运动过程中机械能守恒，选择小球最低位置为重力势能的零点。设小球在A处时速度为v，则:mgl?mg?2(l?d)?12mv 2mv2又小球在A处时向心力为: FN?mg?
l?d其中，绳张力为0时等号成立。联立以上两式，解得d?0.6l
题图2—46
2—47．弹簧下面悬挂着质量分别为M1、M2的两个物体，开始时它们都处于静止状态。突然把M1与M2的连线剪断后，M1的最大速率是多少？设弹簧的劲度系数k?8.9N?m?1，而
题图2—47
M1?500g,M2?300g。
分析：把弹簧与M1看作一个系统。当M1与M2的连线剪断后，系统作简谐振动，机械能守恒。 解:设连线剪断前时弹簧的伸长为x，取此位置为重力势能的零点。M1系统达到平衡位置时弹簧的伸长为x?,根据胡克定律，有
kx?(M1?M2)g kx??M1g
系统达到平衡位置时，速度最大，设为v。由机械能守恒，得
12121kx?kx??M1g(x?x?)?M1v2 222联立两式，解之：v?1.4m/s
2—48．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功． 分析：由于水桶漏水，人所用的拉力F是变力，变力作功。 解：选竖直向上为坐标y轴的正方向，井中水面处为原点. 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F等于水桶的重量 即： F?P?P0?ky?mg?0.2gy?107.8?1.96y
26
人的拉力所作的功为： A??dA??Fdy＝?(107.8?1.96y)dy=980 J
00H102-49．地球质量为6.0?10kg，地球与太阳相距1.5?1011m，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。
分析：太阳绕地球一周365天，换成秒为，用质点角动量定义求解。
242?r2??1.5?10111124?1.5?10?6.0?10?2.68?1040kg?m2?s?1 解：L?rmv?rmT365?24?60?602-50．我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近?439km，远地点高度d远?2384km，地球半径R地?6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。 分析：卫星绕地球运动时角动量守恒。 解：(d近?R地)mv近?(d远?R地)mv远 所以
V近d远+R地??1.28 V远d近+R地22-51．一个具有单位质量的质点在力场F?(3t?4t)i?(12t?6)j中运动，其中t是时间，设
该质点在t?0时位于原点，且速度为零，求t?2s时该质点受到的对原点的力矩和该质点对原点的角动量。
分析：由牛顿定律、力矩、角动量定义求解。 解：对质点由牛顿第二律有
vttdv2(3t?4t)i?(12t?6)j?dt 所以?dv??adt?????000dt2F?ma 又因为a?32得v?(t?2t)i?(6t?6t)j 同样由v?dr12 得r?(t4?t3)i?(2t3?3t2)j dt432?1所以t=2时M?r?F??40k(N?m) L?r?mv??16k(kg?m?t)
2-52. 一质量为m的粒子位于（x, y）处，速度为v?vxi?vyj，并受到一个沿x方向的力f，求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。 分析：由质点力矩、角动量定义求解
解：L?r?mv?(xi?yj)?m(vxi?vyj)?m(xvy?yvx)k
M?r?f?(xi?yj)?fi??yfk
27
2-53．电子的质量为9.1?10电子的角动量为
?31kg，在半径为5.3?10?11m的圆周上绕氢核作匀速率运动。已知
h?34（h为普朗克常量, h?6.63?10J?s)，求其角速度。 2?分析：由角动量定义求解。
L?4.13?1016rad?s?1 2mr2-54．在光滑的水平桌面上，用一根长为l的绳子把一质量为m的质点联结到一固定点O. 起初，
解：由L?r2m?得??绳子是松弛的，质点以恒定速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到l时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？（2）当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动，绳断后质点对O的角动量如何变化？ 分析：绳子绷紧时，质点角动量守恒。 解：（1）当质点做圆周运动时，mv0b?mvl
可得其速度v?v0b l1bm(v0)2Ekb22l所以最终动能与初始动能之比??2?1，其他能量转变为绳子的弹性势能，
12Ek0lmv02以后转化为分子内能.
（2）绳子断后，质点将按速度v?v0b沿切线方向飞出，做匀速直线运动质点对0点的角动量lJ?mv0b?恒量。
2-55． 如题图2-55所示，质量分别为m1和m2的两只球，用弹簧连在一起，且以长为L1的线拴在轴O上，m1与m2均以角速度?绕轴在光滑水平面上作匀速圆周运动．当两球之间的距离为L2时，将线烧断．试求线被烧断的瞬间两球的加速度a1和a2．(弹簧和线的质量忽略不计) 分析：未断时，球2受的弹性力为圆周运动的向心力，线断瞬间弹性力不变仍为球2受的弹性力；该力使M1、M2 产生加速度。
解：未断时对球2有弹性力 f?m2?(L1?L2) 线断瞬间对球1有弹性力 f?m1a1 ?? 对球2有弹性力 f?m2a2 解得 a1?m2?(L1?L2)/m1 O 2 a2??(L1?L2)
?12L1 m1 L2 m2 2题图2-55
2-56．A、B两个人溜冰，他们的质量各为70kg，各以4m?s的速率在相距1.5m的平行线上相
28
对滑行。当他们要相遇而过时，两人互相拉起手，因而绕他们的对称中心作圆周运动，如图2-56所示，将此二人作为一个系统，求： （1）该系统的总动量和总角动量； （2）求开始作圆周运动时的角速度 分析：两人速度大小相等、方向相反。 解：（1）系统的总动量P?m1v1?m2v2?0
2?1总角动量L?r1m1v1?r2m2v2?420kg?m?s
A 1.5m B 题图2-56
（2）??
v4??5.33rad/s r1.5/22-57人造地球卫星绕地球中心做椭圆轨道运动，若不计空气阻力和其它星球的作用，在卫星运行过程中，卫星的动量和它对地心的角动量都守恒吗？为什么？ 分析：由守恒条件回答。
答：人造卫星的动量不守恒，因为它总是受到外力──地球引力的作用．人造卫星对地心的角动量守恒，因为它所受的地球引力通过地心，而此力对地心的力矩为零。
29
第三章
3-1 半径为R、质量为M的均匀薄圆盘上，挖去一个直径为R的圆孔，孔的中心在所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量。
分析：用补偿法（负质量法）求解，由平行轴定理求其挖去部分的转动惯量，用原圆盘转动惯量减去挖去部分的转动惯量即得。注意对同一轴而言。
解：没挖去前大圆对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为：
1R处，求2J1?1MR2 ① 2由平行轴定理得被挖去部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为：
1MRMR3J2?Jc?md2???()2??()2?MR2 ②
2424232由①②式得所剩部分对通过原圆盘中心且与板面垂直的轴的转动惯量为：
J?J1?J2?13MR2 323-2 如题图3-2所示，一根均匀细铁丝，质量为M，长度为L，在其中点O处弯成??120?角，放在xOy平面内，求铁丝对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。 分析：取微元，由转动惯量的定义求积分可得 解：（1）对x轴的转动惯量为：
L20Jx??rdm??(lsin600)22M1dl?ML2 L32（2）对y轴的转动惯量为：
L1ML2M5Jy???()??2(lsin300)2dl?ML2
0322L96（3）对Z轴的转动惯量为：
1ML1Jz?2???()2?ML2
322122题图3-2
3-3 电风扇开启电源后经过5s达到额定转速，此时角速度为每秒5转，关闭电源后经过16s风扇停止转动，已知风扇转动惯量为0.5kg?m，且摩擦力矩Mf和电磁力矩M均为常量，求电机的电磁力矩M。
分析：Mf，M为常量，开启电源5s内是匀加速转动，关闭电源16s内是匀减速转动，可得相应加速度，由转动定律求得电磁力矩M。 解：由定轴转动定律得：M?Mf?J?1，即
5?2?5?2??0.5??4.12N?m 5163-4 飞轮的质量为60kg，直径为0.5m，转速为1000r/min，现要求在5s内使其制动，求制动力F，假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数??0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上，尺寸如M?J?1?Mf?J?1?J?2?0.5?题图3-4所示。
30
分析：分别考虑两个研究对象：闸瓦和杆。对象闸瓦对飞轮的摩擦力f对O点的力矩使飞轮逐渐停止转动，对飞由轮转动定律列方程，因摩擦系数是定值，则飞轮做匀角加速度运动，由转速求角加速度。对象杆受的合力矩为零。
解：设闸瓦对飞轮的压力为N，摩擦力为f，力矩为M， 飞轮半径为R,则依题意得，
M?fR?J? ①
f??N?0.4N ② F?(0.5?0.75)?N?0.5 ③ J?mR2?60?0.252 ④
题图3-4 1000?2? ⑤
60?5解：①②③④⑤式得F?314N
3-5 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如题图3-5所示．轴
??水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．
分析：隔离物体，分别画出轮和物体的受力图，由转动定律和牛顿第二定律及运动学方程求解。 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T， 则根据牛顿运动定律和转动定律得：
r O mg?T?ma ①
Tr?J? ②
由运动学关系有： a?r? ③ 由①、②、③式解得：J?m(g-a)r又根据已知条件 v0?0 ?2m a ④
题图3-5
??2S1S?at2， a?2 ⑤
t22 r T a gt2?1) 将⑤式代入④式得： J?mr(2S
T mg 题图3-5
3-6 一轴承光滑的定滑轮，质量为M?2.00kg,半径为R?0.100m,一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m?5.00kg,的物体，如题图3-6所示．已知定滑轮
1MR2，其初角速度 ?0?10.0rad/s,方向垂直纸面向里．求：(1) 定滑轮2的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到??0时，物体上升的高度；(3) 当物
的转动惯量为J?体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向
分析：隔离体受力分析，对平动物体由牛顿第二定律列方程， 对定轴转动物体由转动定律列方程。 解：(1) ∵ mg?T?ma
31
TR?J? a?R? ∴ ?? R M ?0 mgRmgR2mg2 ???81.7rad/s21mR?JmR2?MR2?2m?M?R2方向垂直纸面向外
22 (2) ∵ ???0?2??
2?0当??0 时， ???0.612 rad
2?m 题图3-6 物体上升的高度h?R??6.12?10?2 m (3) ??2???10.0rad/s 方向垂直纸面向外.
3-7 如题图3-7所示，质量为m的物体与绕在质量为M的定滑轮上的轻绳相连，设定滑轮质量M=2m，半径R，转轴光滑，设t?0时v?0，求：（1）下落速度?与时间t的关系；（2）t?4s时,m下落的距离；（3）绳中的张力T。
分析：对质量为m物体应用牛顿第二定律、对滑轮应用刚体定轴转动定律列方程。 解：(1)设物体m与滑轮间的拉力大小为T，则
图3-6
T mg T a mg?T?ma ①
M?TR?J??1MR2? ② 2a?R? ③
v?at ④
解：①②③式得a?4.9m/s2，并代入④式得v?4.9t （2）设物体下落的距离为s，则
题图3-7
121at??4.9?42?39.2m 22（3）由（1）的②式得，T?mg?ma?4.9N s?3-8 如题图3-8所示，一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘质量M1?10kg，半径
R?0.10m，小盘质量M2?4kg，半径r?0.05m。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端
各悬质量m1?m2?2kg的物体，此物体由静止释放，求：两物体m1,m2的加速度大小及方向。 分析：分别对物体m1,m2应用牛顿第二定律，对滑轮应用刚体定轴转动定律 解：设物体m1,m2的加速度大小分别为a1,a2,与滑轮的拉力分别为T1,T2,
32
T1?m1g?m1a1 ①
m2g?T2?m2a2 ② a1?r? ③
a2?R?
④
M?T2R?T1r?J? ⑤
J?11M1R2?M2r2 22⑥
题图3-8
把数据代入，解上述各式得
a1?0.6125m/s2 方向向上 a2?1.225m/s2 方向向下
3-9 如题图3-9所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，其上装有一个定滑轮，若一根轻绳跨过它，两端分别与质量都为m的物体1和物体2相连。 （1）若不考虑滑轮的质量，求物体1的加速度。
（2）若滑轮半径为r，其转动惯量可用m和r表示为J?kmr2（k是已知常量），绳子与滑轮之间无相对滑动，再求物体1的加速度。
分析：（1）对两物体分别应用牛顿第二定律列方程。
（2）两物体分别应用牛顿第二定律、对滑轮应用刚体定轴转动定律列方程。 解：设物体1、物体2与滑轮间的拉力分别为T1、T2它们对地的加速度为a。
（1）若不考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的拉力T1、T2相等，记为T。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律得，
mg?T?maT?mgsin30?ma0
2解上两式得：a?g/4m/s，方向竖直向下。
（2）若考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的 拉力T1、T2不相等。则对1、2两物体分别应用牛顿第 二定律，和对滑轮应用刚体定轴转动定律得
题图3-9
mg?T1?ma a?r? ③
①
T2?mgsin300?ma ②
M?T1r?T2r?J? ④ J?kmr2 ⑤
解上述各式得：a?gm/s2，方向竖直向下。
2(2?k)3-10一飞轮直径为0.3m，质量为5.0kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地绕中心轴加速，经 0.5s转速达每秒10转，假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮
33
的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所作的功；（3）从拉动后t?10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
分析：利用转动定律，力矩作的功定义，线量与角量的关系求解。 解：（1）角加速度为：???t11转过的角度为：???t2??1.26?102?0.52?15.7rad
22?10?2??1.26?102rad/s2 0.5??2.5圈 2?（2）由转动定律M?fR?J?得
转过的圈数为：N?J?0.5?5?0.152?1.26?102f???47.1N
R0.15力矩做的功为：A???0Md??M??47.1?0.15?15.7?111J
23（3）角速度为：???t?1.26?10?10?1.26?10rad/s 边缘一点的线速度为：v?R??0.15?1.26?103?1.88?102m/s
22652边缘一点的法向加速度为：an?R??0.15?1.26?10?2.37?10m/s 22边缘一点的切向加速度为：a??R??0.15?1.26?10?18.84m/s
3-11 一质量为M，长为l的匀质细杆，一端固接一质量为m的小球，可绕杆的另一端O无摩擦地在竖直平面内转动，现将小球从水平位置A向下抛射，使球恰好通过最高点C，如题图3-11所示。求：（1）下抛初速度v0；（2）在最低点B时，细杆对球的作用力。 分析：由机械能守恒定律、牛顿第二定律、角线量关系求解。 解：（1）如图3-11，取向下抛点作势能零点，由机械能守恒定律得，
121lmv0?J?2?Mg?mgl ① 2221
J=Ml2 ② 3
v0?l? ③
解①②③得，v0?(3M?6m)gl
3m?M题图3-11
（2）取最低点作势能零点，
由机械能守恒定律和牛顿第二定律得，
121mv?J?2?Mgl?2mgl 22 ①
v2N?mg?m ②
lv?l? ③
34
1 ④ J?Ml2
315m?7M解：①②③④得，N?mg
3m?M?13-12 物体质量为3kg,t?0时位于r?4im,??i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物
体上，求3s后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。
??分析：写出r(t)的表达式及力f对Z轴的力矩M。由动量定理、角动量定理求解。
解：（1）由动量定理得，动量的增量为：
t3?P??f?dt??5j?dt?15jkg?m?s?1
00（2）由角动量定理得，角动量的增量为：
?L??M?dt??M?dt ①
t00t3而M?r(t)?f ②
15r(t)?x(t)i?y(t)j?(x0?vx0t)i?(y0?vy0t?at2)j?(4?t)i?(6t?t2)j ③
26f?5j ④
把③④代入②解得：M?(20?5t)k 把⑤代入①解得：?L?⑤
?30M?dt??(20?5t)k?dt?82.5kkg?m2?s?1
033-13 水平面内有一静止的长为L、质量为m的细棒，可绕通过棒一末端的固定点在水平面内转动。今有一质量为出时速率减为
1m、速率为v的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射向棒的中点，子弹穿21当棒转动后，设棒上单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）v，2试求：（1）子弹穿出时，棒的角速度?0为多少？（2）当棒以?转动时，受到的阻力矩Mf为
多大？（3）棒从?0变为?0时，经历的时间为多少？
分析：把子弹与棒看作一个系统，子弹击穿棒的过程中，转轴处的作用力的力矩为零，所以击穿前后系统角动量守恒，可求待击穿瞬间棒的角速度。棒转动过程中，对棒划微元计算元阻力矩，积分可得总阻力矩，应用转动定律或角动量定理可求得所需时间。
解：（1）以子弹和棒组成的系统为研究对象。取子弹和棒碰撞中间的任一状态分析受力，子弹与棒之间的碰撞力f、f'是内力。一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和子弹组成的系统对转轴的合外力矩为零，则系统对转轴的角动量守恒。
12mvLmvL?????J?022222
12J?mL3 35
3v 8L（2）设在离转轴距离为l得取一微元dl，则该微元所受的阻力为： df?kvdl?kl?dl
解上述两式得：?0?该微元所受的阻力对转轴的力矩为：
dMf?ldf?k?l2dl
则细棒所受到的总阻力矩为：
LL1Mf??dMf??k?l2dl?k?L3
003（3）由刚体定轴转动定律得，
d?1?k?L3 dt3d?13即上式可化为：?J?kLdt
?3Mf?J???J对上式两边分别积分得：?J解上式积分得：t?把J????020d????13kLdt 03t3Jln2 3kL12mln2 mL代入上式得：t?kL3?13-14两滑冰运动员，质量分别为MA?70kg，MB?80kg，它们的速率?A?7m?s,，
?B?8m?s?1在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两人最接近时，便拉起手来，开始绕质心
作圆周运动并保持两人间的距离1.5m不变。求：（1）系统总的角动量；（2）系统一起绕质心旋转的角速度；（3）两人拉手前后的总动能，这一过程中机械能是否守恒，为什么？ 分析：利用系统质心公式，两人组成系统前后角动量守恒和动能公式求解。 解：（1）设两人相距最近时以运动员A作原点，由质心公式得，两运动员的质心为：
x?MAxA?MBxB70?0?80?1.5??0.8m
MA?MB70?80两人组成的系统对质心的总的角动量为：
L?MAvAx?MBvB(1.5?x)?70?7?0.8?80?8?(1.5?0.8)?840kg?m2?s?1
（2）两人拉手过程中，所受力对质心转轴的力矩之和为零，则两人组成系统前后角动量守恒。
22?L?J???Mx?M(1.5?x)AB???即:840=(70?0.8+80?0.7)?解上式得：??10rad/s （3）两人拉手前的动能为：
22
36
EK0?111122MAvA?MBvB??70?72??80?82?4275J 2222两人拉手后的动能为：
EK?11J?2??(70?0.82?80?0.72)?102?4200J 22因此，系统前后的机械能不守恒。我们可以把两人拉手的过程看作完全非弹性碰撞，因此系统前后机械能不守恒。
3-15 如题图3-15所示，一长为2l、质量为M的匀质细棒，可绕棒中点的水平轴O在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，求碰撞后小球的反弹速度v及棒转动的角速度?各为多少？
分析：以小球和棒组成的系统为研究对象。取小球和棒碰撞中间的任一状态分析受力，棒受的重力Mg和轴对棒的支撑力N对O轴的力矩均为零。小球虽受重力mg作用，但比起碰撞时小球与棒之间的碰撞力f、f'而言，可以忽略不计。又f、f'是内力，一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和小球组成的系统对O轴的合外力矩为零，则系统对O轴的角动量守恒。
解：取垂直纸面向里为角动量L正向，则系统初态角动量为mul，终态角动量为J?（小棒）和?mvl（小球），有角动量守恒定律得
mul?J??mvl ①
因为弹性碰撞，系统机械能守恒，可得
111mu2?mv2?J?2 ② 22211又J?M(2l)2?Ml2 ③
123联立式①，②，③解得
题图3-15
M?3muM?3m
6mu??(M?3m)lv?3-16 一长为L、质量为m的匀质细棒，如题图3-16所示，可绕水平轴O在竖直面内旋转，若轴光滑，今使棒从水平位置自由下摆。求：（1）在水平位置和竖直位置棒的角加速度?；（2）棒转过?角时的角速度。
分析：由转动定律求角加速度，由在转动过程中机械能守恒求角速度。 解：（1）有刚体定轴转动定律M?J?得，
LM2?3g 细棒在水平位置的角加速度为：???122LJmL3mg 37
题图3-16
细棒在竖直位置的角加速度为：??M0??0 12JmL3（2）细棒在转动的过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得，
L1sin??J?222
12又J?mL3mg解上述两式得：??3gsin? l3-17 弹簧、定滑轮和物体如题图3-17所示放置，弹簧劲度系数k为2.0N?m?1；物体的质量
m为6.0kg。滑轮和轻绳间无相对滑动，开始时用手托住物体，弹簧无伸长。求：
（1）若不考虑滑轮的转动惯量，手移开后，弹簧伸长多少时，物体处于受力平衡状态及此时弹簧的弹性势能；
（2）设定滑轮的转动惯量为0.5kg?m，半径r为0.3m，手移开后，物体下落0.4m时，它的速度为多大？
分析：（1）不考虑滑轮的转动惯量，由物体受力平衡求伸长量x， 再求弹性势能。
（2）若考虑滑轮的转动惯量，则弹簧、滑轮、物体和地球 组成的系统机械能守恒
解：（1）若不考虑滑轮的转动惯量，设弹簧伸长了x距离 时物体处于受力平衡状态， 则：mg?kx
题图3-17
2x?mg6?g??3g(m) k2121kx??2?(3g)2?9g2J 22此时弹簧的弹性势能为：Ep?（2）若考虑滑轮得转动惯量，设物体下落的距离为h时，它的速度为v，滑轮的角速度为?，则由机械能守恒定律得，
mgh?v?r?1211mv?J?2?kh2 222把数据代入上述两式得，
1116?10?0.4??6?v2??0.5??2??2?0.4 222v?0.3??解上述两式得：v?2.0m/s
3-18一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为?0．设它所受阻力矩与转动角速
38
度成正比，即M??k?(k为正的常数)，求圆盘的角速度从?0变为?0时所需的时间． 分析：由转动定律及角加速度的定义，对角速度积分可求解。 解：根据转动定律：
12M?J?
Jd???k? dtd?k??dt ?J∴ 两边积分：
?得 t?(Jln2)k
0???021d????t0kdt J3-19 质量为m的子弹，以速度v0水平射入放在光滑水平面上质量为m0、半径为R的圆盘边缘，并留在该处，v0的方向与射入处的半径垂直，圆盘盘心有一竖直的光滑固定轴，如所示，试求子弹射入后圆盘的角速度?。
分析：在子弹射入圆盘的过程中，子弹和圆盘组成的系统对转轴的角动量和力矩为零，因此对转轴的角动量守恒。
解：设子弹射入后圆盘的角速度为?，则由角动量守恒定律得，
1mv0R?(mR2?m0R2)?
2解上式得：??
3-20一均质细杆，长L?1m，可绕通过一端的水平光滑轴O在铅垂面内自由转动，如题图3-20所示。开始时杆处于铅垂位置，今有一子弹沿水平方向以v?10m?s的速度射入细杆。设入射点离O点的距离为
?12mv0
2mR?m0R题图3-19
31（1）子弹和细杆开始共同运动的L ，子弹的质量为细杆质量的。试求：
94角速度。（2）子弹和细杆共同摆动能到达的最大角度。
分析：子弹射入细杆过程中，子弹和细杆组成的系统角动量守恒；细杆摆动时，机械能守恒。 解（1）子弹打进杆的过程中子弹和杆组成的系统角动量守恒， 设子弹开始时的角速度为?0，弹和杆一起共同运动的角速度 为?，则由角动量守恒定律得:
39
J子?0?(J子?J杆)? ①
又J子?m3L2m2()?L ② 9416O 1J杆＝mL2 ③
3v1040 ?0???333L?1443L 4④
L 40把②③④式代入①式并解得：??rad/s ⑤
19（2）设子弹与杆共同摆动能达到最大角度为?角， 在摆动的过程中杆和子弹及地球组成的系统机械能守恒， 则由机械能守恒定律得，
v 题图3-20
1mg3311(J子?J杆)?2?(L?Lcos?)?mg(L?Lcos?) ⑥ 294422把②③⑤式及g?10，L=1代入⑥式解得：cos??0.8496。即??0.56rad
40
第四章
4-1 观察者A测得与他相对静止的Oxy平面上一个圆的面积是12 cm，另一观察者B相对于A以 0.8 c (c为真空中光速)平行于Oxy平面作匀速直线运动，B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？
分析：本题考察的是长度收缩效应。
解：由于B相对于A以v?0.8c匀速运动，因此B观测此图形时与v平行方向上的线度将收缩为2R1?(v/c)2?2b，即是椭圆的短轴.
而与v垂直方向上的线度不变，仍为2R ? 2 a，即是椭圆的长轴. 所以测得的面积为(椭圆形面积)
S??ab??R1?(v/c)2?R??R21?(v/c)2=7.2cm
22
4-2 长度为1m的米尺L静止于K'中，与x轴的夹角?'?30?,K'系相对K系沿x轴运动，在（1）K'系相对K系的速度是多少？K系中观察得到的米尺与x轴的夹角为??45?，试求：（2）K系中测得的米尺的长度？
分析：本题考察的是长度收缩效应。根据两个参考系下米尺的不同长度再结合长度收缩效应我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度
解：（1）米尺相对S'系静止，它在x'和y'轴的投影分别为：
Lx'?L0cos?'?0.866mLy'?L0sin?'?0.5m
米尺相对S系沿x方向运动，设运动速度为v，为S系中的观察者，米尺在x方向将产生长度收缩，而y方向的长度不变，即
v2Lx?Lx'1?2
cLy?Ly'
故米尺与x轴的夹角满足
tg??LyLx?Ly'Lx'1?vc22 将?与Lx'、Ly'的值代入可得：
v?0.816c
（2）在S系中测得米尺的长度为：
L?Lysin45??0.707(m)
?84-3 已知x介子在其静止系中的半衰期为1.8?10s。今有一束?介子以??0.8c的速度离开
加速器，试问，从实验室参考系看来，当?介子衰变一半时飞越了多长的距离？
分析：本题考察的是时间膨胀效应。根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。
?8解：在?介子的静止系中，半衰期?t0?1.8?10s是本征时间。由时间膨胀效应，实验室参系
41
中的观察者测得的同一过程所经历的时间为：
?t??t01?v2c2?3?10?8(s)
因而飞行距离为：
d?v?t?7.2m
4-4 在某惯性系K中，两事件发生在同一地点而时间相隔为4s。已知在另一惯性系K'中，该两事件的时间间隔为6s，试问它们的空间间隔是多少？
分析：本题考察的是时间膨胀效应以及洛伦兹变换。根据时间膨胀效应我们可以求出两参考系的相对速度，继而根据洛伦兹变换演化出空间间隔变换的公式求出该两事件在S系中的空间间隔。
解：在k系中，?t0?4s为本征时间，在K'系中的时间间隔为?t?6s 两者的关系为：
?t??t01?v2?c2?t01??2
5??2?
9故两惯性系的相对速度为：
v??c?5?108(m/s)
由洛伦兹变换，K'系中两事件的空间间隔为：
?xk??11??2(?xk?v?t0)
两件事在K系中发生在同一地点，因此有?xk?0，故
?xk??v?t01??2?65?108(m)
4-5 惯性系K'相对另一惯性系K沿x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时起点。
4?4在K系中测得两事件的时空坐标分别为x1?6?10m,t1?2?10s以及
x2?12?104m,t2?1?10?4s，已知在K'系中测得该两事件同时发生。试问：（1）K'系相对K
系的速度是多少？（2）K'系中测得的两事件的空间间隔是多少？
分析：本题所考察的是洛伦兹变换的应用问题。根据洛伦兹变换在不同参考系下两个事件的时间变换关系，我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度。有了相对速度以后，再根据洛伦兹变换的空间变换关系，我们可以得到两事件的空间间隔。
解：（1）设S'系相对S系的速度为v，由洛伦兹变换，S'系中测得两事件的时间为：
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t1'?11?v12v1?2c2v??t?x?121?c??v??t?x?222?c??
t2'?c2由题意，
t1'?t2'?0
?t2?t1?因此有
v(x2?x1) c2v?c2t2?t1c????1.5?108(m)
sx2?x12其中负号表示S'系沿S系的?x方向运动。
（2）由洛伦兹变换，S'系中测得的两事件的空间位置为：
x1'?11?v11?v22(x1?vt1)c2(x2?vt2)c2
x2'?故空间间隔为：
x2'?x1'?11?v2?(x2?x1)?v(t2?t1)??5.2?104(m)
c24-6 （1）火箭A和B分别以0.8c和0.5c的速度相对于地球向?x和?x方向飞行，试求由火箭B测得的A的速度。（2）若火箭A相对地球以0.8c的速度向?y方向运动，火箭B的速度不变，试问A相对B的速度是多少？
分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。在火箭B为静止的参考系中，先求出地面参考系相对此参考系的运动速度（此即为两个参考系之间的相对速度），然后由火箭A相对地面的运动速度以及洛伦兹速度变换公式求出火箭A相对火箭B的速度。
解：（1）设火箭B的静止系为S，则地面参考系相对S的运动速度为u?0.5c。在地面参考系中，火箭A的运动速度为v'?0.8c，由洛伦兹速度变换公式可得火箭A相对火箭B的运动速度为：
v'?u0.8c?0.5c1.3??c?0.93c
1?uv'/c21?0.8?0.51.4（2）由于S系相对地面参考系以u1??u沿?x方向飞行，而在地面参考系中火箭A的运动速v?度为vx?0,vy?0.8c,vz?0。则根据洛伦兹速度变换公式在S系中火箭A的运动速度为：
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v'x?vx?u1?0.5cu11?2vxcvy1?1?u12c2?0.7c
v'y?u1v2xcu12v'z?vz1?1?u1vxv2c2?0所以火箭A相对火箭B的速度为：
22v'?v'2x?v'y?v'z?0.86c
4-7 静止在K系中的观察者测得一光子沿与x 轴成60°角的方向飞行，另一观察者静止于K'系中，K'系相对K系为0.6c的速度沿x轴方向运动，试问K'系中的观察者测得的光子运动方向是怎样的？
分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。根据两个参考系的相对速度以及光子在K系的速度，由洛伦速度变换可以求出光子在S系中的运动速度。
解：已知K'系相对K系的速度为u?0.6c，光子速度为c，在K系中的运动方向为与x轴成60°角，因此该光子在K系中的速度为vx?0.5c,vy?3c/2,vz?0。所以在K'系中光子的运动速度为：
v'x?vx?u1??cu71?2vxcvy1?u2243cv'y??c u71?2vxcuv2xc令该光子在K'系中的运动方向与X轴成?角，则有：
v'ytg????43 v'x1?v'z?vz1?u2c2?0???98.2?
?84-8 ?子的静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命?0?2?10s，若它在实
?8验室参考系中的平均寿命??7?10s，试问其质量是电子静止质量的多少倍？
分析：本题考察的是时间膨胀效应和相对论质量问题。根据时间膨胀效应我们可以求出该粒子
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在实验室参考系中的运动速度，然后根据该速度可以求出速度下的相对论质量。 解：设?子在实验室参考系中的速度为u、质量为m，依题意有：
???01?u2
c2将?和?0的值代入得：
1?u2c2??02? ?777?m0??207me?724.5me 22当?子速度为u时其质量为：
m?m01?u2c24-9 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少？ 分析：本题涉及的是相对论质量和长度以收缩问题。根据质量与静止质量之比可以求出该物体的运动速度，然后根据速度可以求出该物体在运动速度方向上的长度收缩。
解：设物体速度为u、质量为m、长度为L，静止质量和长度分别为m0和L0，依题意有：
m?m01?u22?1.1m0c2?m01?m1.1?1L0?90.9%L0 1.1
?1?uc2因此，根据长度收缩效应有：
2uL?L01?c2所以在运动方向上缩短了：
?L?9.1%L0
4-10 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电位差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少？（电子的静能为0.511MeV.）
分析：此题考察的是相对论质量与速度之间的关系。根据相对论质量公式可以很方便的求出电子的运动速度，再根据能量守恒，求出加速所需的电位差。
解：设电子速度为u、质量为m，静止质量为m0，所加的电位差为U。依题意有：
m?m01?u2?1.04m0 c2所以此时电子的速度为：
u?0.275c
根据能量守恒，有：
m0c2?eU?mc2
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?U?2.044?104(V)
4-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍，试求该粒子的速率。
分析：该题考察的是相对论的质能关系式。根据粒子的动能和静能比可以求出该粒子总能量和静能之比，这个比值也就是该粒子的质量与静止质量之比，根据相对论质量与速度的关系式，我们可以求出该粒子的速率，从而求出该粒子的动量。 解：依题意有：Ek?nE0 所以其质量与静止质量之比为：
mmc2Ek?E0???n?1 2m0m0cE0根据相对论质量与速度的关系有：
m?m01?u2
c2所以该粒子的速度为：
n2?2nu?c
n?14-12 一静止的粒子（质量为m0），裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c。求裂变过程的静质量亏损和释放出的能量。
分析：该题涉及到质量亏损的概念和动量守恒定律。由于反应后的两个粒子的质量未知，因此我们可以根据两个粒子之间的速度关系推导出二者的质量比，又由于该两个粒子的总动能来源于该反应的静质量亏损，因此结合反应后两个粒子的质量比以及各自的速度大小，我们可以求出该反应的质量亏损，从而求出该反应所释放的能量。
解：设反应后两粒子的质量分别为m1、m2，则根据动量守恒定律有：
m1?0.6c?m2?0.8c ?m1/m2?4/3 （1）
反应前后总的能量守恒，所以有：
11m0c2?m1c2?m1?(0.6c)2?m2c2?m2?(0.8c)2 （2）
22将（1）式代入（2）式，得：
m0?2.17m1
所以反应前后的静质量亏损为：
?m?m0?m1?m2?0.19m0
释放出的能量为：
E??mc2?0.19m0c2
4-13 试求静止质量为m0的质点在恒力F作用下的运动速度和位移。在时间很短（t??m0c/F）
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和时间很长（t??m0c/F）的两种极限情况下，速度和位移值又各是多少？
分析：根据力和动量的关系，经过积分后我们可以求解在恒力作用下的力与速度之间的关系，经过再次积分，可以得到位移和力的关系。 解：由于力代表的是动量的变化率，因此有：
F?m0dpdd?(mv)?(v)
22dtdtdt1?v/c将上式积分，由于力为恒力与时间无关，再代入初始条件（起始时为静止，即初速度为零）可得：
Ft?m01?v/c22v
因此可得速度与力之间的关系式：
v?Ft/m0dx ?2dt1?(Ft/m0c)2将上式再积分，并假定起始时所处位置为坐标原点，可得位移与力之间的关系：
24?m0c2?m0c22X??ct???2FF?? 21/2???2?Ft????m0c??x???1???1??mcF???0???????当t??m0c/F时，有：
Ftv??,2m1?(Ft/m0c)0当t??m0c/F时，有：v?Ft/m0Ft2x??vdt?
02m0tFt/m01?(Ft/m0c)22?c,x??vdt?ct
0t4-14 在原子核聚变中，两个H原子结合而产生4He原子。试求：（1）该反应中的质量亏损为多少？（2）在这一反应中释放的能量是多少？（3）这种反应每秒必须发生多少次才能产生1W的功率？已知H原子的静止质量为3.34365?102?27kg,4He原子的静止质量为
6.6425?10?27kg。
分析：已知反应前后各种反应物和生成物的质量，我们可以很方便的求出反应前后的质量亏损，并据此求出反应所释放的能量。 解：反应的质量亏损为：
?m?2mH?mHe?2?3.34365?10?27?6.6425?10?27?0.0448?10?27(kg)
该反应所释放的能量为：
?E??mc2?0.0448?10?27?9?1016?4.03?10?12(J)
要达到1W的功率需要每秒钟反应的次数为：
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n?1/4.03?10?12?2.48?1011
4-15 当一个粒子所具有的动能恰好等于它的静能时，试问这个粒子的速度有多大？当动能为其静能的400倍时，速度有多大？
分析：粒子的总能量可以用粒子的动质量与光速的平方的乘积来表示，而粒子的静能则等于粒子的静质量与光速的平方的乘积，因上我们可以很方便的把粒子的动能和静能之比用粒子的速度表示出来。
解：根据粒子的质量和速度之间的关系可得：
m(v)?m01?v2
c2所以粒子的总能与静能之比为：
Em1??2E0m01?v
c2?1 c2又该粒子的总能等于动能与静能之和，所以该粒子的动能与静能之比为：
EkE?E0m1???1?2E0E0m01?v所以当动能等于静能时，有：
11?v?v?2?1?1 c23c 2当动能等于静能的400倍时，有：
11?v2?1?400 c2?27?v?0.9999969c
4-16同位素3He核由两个质子和一个中子组成，它的静质量为3.01440u(1u?1.600?102kg)。
（1）以MeV为单位，3He的静能为多少？（2）取出一个质子使3He成为H（静质量为，试问需要多少能量？ 2.0135u）加一个质子（静质量为1.0073u）
分析：本题涉及的是静能以及质量亏损的概念。粒子的静能由粒子的静质量与光速的平方的乘积表示；而反应前后总能量守恒的要求指明反应进行需要的能量由反应前后的质量亏损所决定。 解：静能为：
E0?m0c2?3.01440?1.600?10?27?9?1016?4.34?10?10(J)?2.71?103(Mev)
当从同位素氦核中取出一个质子时，此时质量亏损为：
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?m?mD?mH?mHe?2.0135?1.0073?3.0144?0.0064(u)?1.024?10?29(kg)
所以反应需要能量为：
E??mc2?1.024?10?29?9?1016?9.216?10?13(J)
4-17 把一个静止质量为m0的粒子由静止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？
分析：此题涉及到的是粒子的总能量与速度之间的关系。根据能量守恒定律，通过计算任一速度下的总能量即可求出从该速度下再增加0.1c的速度所需要做的功。 解：粒子的静能量为：
E0?m0c2
速度为0.1c时，该粒子的总能量为：
E1?m1c?2m0c21?0.12?1.005m0c2
因此将粒子由静止加速到0.1c所需要做的功为：
?E?E1?E0?0.005m0c2
同理粒子在速度为0.89c和0.99c时的总能量分别为：
E2?m2c?E3?m3c2?2m0c21?0.892m0c21?0.992?2.193m0c2
?7.089m0c2所以将粒子由0.89c加事到0.99c时所需做的功为
?E??E3?E2?4.896m0c2
4-18 两个静止质量都是m0的小球，其中，一个静止，另一个以??0.8c运动，在它们做对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。
分析：由于碰撞前后，体系的总能量不变，所以可以得出碰后合成小球的动质量与m0的关系；再根据碰撞前后动量守恒，加上已求出的合成小球的动质量，可以求出合成小球的速度；最后根据合成小球的速度和相应的动质量可以求出合成小球的静质量。
解：设碰撞前运动小球的质量为m1，碰撞后合成小球的质量和速度分别为M和u，根据题意，显然有：
m1?m01?v?c?2?5?m0 （1）
1?(0.8)23m0由能量守恒，有：
m0c2?m1c2?Mc2
49
8?M?m0
3（2）
碰撞前后动量守恒，
m1v?Mu （3）
由（1）、（2）和（3）式可得：
5u?v?0.5c
8所以合成小球的静质量为：
M0?M1?u
?c?2843?m01?0.52?m0 3350