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第一讲：规律性问题

教学目标

1、 学会从简单问题入手找规律

2、 能够利用数论、几何等专题解周期性问题 3、 归纳找规律问题的解题思想

知识点拨

一、知识点说明

同学们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法，或者称之为找规律，很多人也称之为周期问题。

二、考点总结

找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。这是为了考验我们是否能在最短时间里找到数字间的奥秘，即是在考察我们的数感和归纳能力，这种能力不是与生俱来的，是和我们日常积累分不开的，正所谓见多识广吧。所以找规律这类题目，需要同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。

找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.

三、提炼思想

找规律是奥数里最重要的思想之一，很多难题都是靠这种方法解决的，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，斐波那契数列，复合数列等等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列等精品文档

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等，所以同学们要好好的体会这种思想方法，争取在奥数的学习中能够克服难题，取得进步。

例题精讲

模块一、数论部分

【例 1】 下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1） 3，5，7，11，15，19，23，……

（2） 6，12，3，27，21，10，15，30，…… （3） 2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… （4） 2，3，5，8，12，16，23，30，……

【解析】 这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。因为：（1） 除了15其余都是质数；

（2）除了10其余都是3的倍数；（3） 除了5其余都是偶数；（4）相邻两数之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。注：本题答案不唯一，只要学生说明白道理就算正确。

【例 2】 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，

那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？

1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，…… 【解析】 运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，

奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。

【例 3】 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，……一共2005项，其中共有多少个是6

的倍数？

这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列，这串数除以6的余数依次是：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，……，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律计算余数，如前两个数是5，2，则下一个数是（5+2）÷6的余数为1 。余数数列从第一个起，每24个循环一次，每一次循环中有两个数是6的倍数，而2005 =24×83＋13，所以这2005个数中一共有2×83＋1=167个是6的倍数

模块二、几何部分

【例 4】 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样

的图形？

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【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个

数不变.因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。

【例 5】 观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形.

？

【解析】 本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增

多，从（2）起，每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（4）个方框中应填七个黑三角形.

【巩固】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。

（1）（2）（3）（4）（5）

【解析】 观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→

两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即：

【巩固】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列.

【解析】 第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，

第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第

六格的图应该是第五格图的一半，即：

练习1. 观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样

的图形？

【解析】 （方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行

图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形.

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(方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形.

练习2.

练习3. 观察下面由点组成的图形（点群），请回答：

（1）方框内的点群包含多少个点？

（2）第（10）个点群中包含多少个点？ （3）前十个点群中，所有点的总数是多少？

【解析】 （1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10.可以看出，在

每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大3.因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是10+3=13（个）. （2）列表，依次写出各点群的点数，

可知第（10）个点群包含有28个点.

（3）

（4） 前十个点群，所有点的总数是：

1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）

练习4. 下面是两个按照一定规律排列的数字三角形，请根据规律填上空缺的数：

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 10 10 5 1 1 6 15 15 6 1 (1)【解析】

1 2 4 3 6 9 4 8 12 16 5 10 15 25 6 12 18 24 30 36 7 21 28 35 42 49 （2）

【解析】 （1）这个是著明的“杨辉三角”，其最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1精品文档

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组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。（ ）处分别填上5、20。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 （2）

（3） 每行第k个数等于该行第一个数的k倍，故上、下空缺的数分别为20和14。

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