专题05 导数及其应用

多项选择题

1．（2019秋?滨州期末）已知定义在[0,)上的函数f(x)的导函数为f?(x)，且f(0)?0，

2f?(x)cosx?f(x)sinx?0，则下列判断中正确的是( )

??6?A．f()?f()

624C．f()?2f() 63【分析】结合已知可构造g(x)?的性质即可判断． 【解答】解：令g(x)?f(x)1，x?[0,?)， cosx2?B．f(ln)?0

3D．f()?2f()

43f(x)1，x?[0,?)，结合已知可判断g(x)的单调性，结合单调性及不等式cosx2????因为f?(x)cosx?f(x)sinx?0， 则g?(x)?f?(x)cosx?f(x)sinx?0， 2cosx1故g(x)在[0，?)上单调递减，

2因为f(0)?0，则f(x)?0，

f()f()?6???结合选项可知，g()?g()，从而有6?4，即f()?f()，故A错误，

624643222??1f(ln?)1113?0， 因为ln??0，结合g(x)在在[0，?)上单调递减可知g(ln?)?0，从而有

1233cosln?311由cosln??0可得f(ln?)?0，故B错误；

33?1f()f(?)?11?11g()?g(?)，从而有6?3，且f(?)?0，即f()?3f(?)?2f(?)．故C正确；

16336333221?f()f(?)?1?1g()?g(?)，从而有4?3即f()?2f(?)．故D正确．

14343222

故选：CD．

2．（2019秋?张店区校级期末）关于函数f(x)?A．x?2是f(x)的极大值点

B．函数y?f(x)?x有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得f(x)?kx成立

2?lnx，下列判断正确的是( ) xD．对任意两个正实数x1，x2，且x1?x2，若f(x1)?f(x2)，则x1?x2?4 【分析】A．求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断；

B．求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可；

C．利用参数分离法，构造函数g(x)?2lnx，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可； ?x2xD．令g(t)?f(2?t)?f(2?t)，求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可．

【解答】解：A．函数的的定义域为(0,??)，函数的导数f?(x)??21x?2??2， 2xxx?(0,2)上，f?(x)?0，函数单调递减，(2,??)上，f?(x)?0，函数单调递增， ?x?2是f(x)的极小值点，即A错误；

?x2?x?22?0， B．y?f(x)?x??lnx?x，?y??x2x函数在(0,??)上单调递减，且f（1）?1?2?ln1?1?1?0，f（2）?2?1?ln2?2?ln2?1?0，

?函数y?f(x)?x有且只有1个零点，即B正确；

C．若f(x)?kx，可得k?2lnx． ?x2x令g(x)?2lnx?4?x?xlnx，则， ?g?(x)?x2xx3令h(x)??4?x?xlnx，则h?(x)??lnx，

?在x?(0,1)上，函数h(x)单调递增，x?(1,??)上函数h(x)单调递减，

?h(x)?h（1）?0，?g?(x)?0，

?g(x)?2lnx在(0,??)上函数单调递减，函数无最小值， ?x2x?不存在正实数k，使得f(x)?kx恒成立，即C不正确；

D．令t?(0,2)，则2?t?(0,2)，2?t?2，

令g(t)?f(2?t)?f(2?t)?224t2?t， ?ln(2?t)??ln(2?t)?2?ln2?t2?tt?42?t4(t2?4)?8t22?t2?t?2?t?4t2?164?8t2则g?(t)??g?2???0，

(t2?4)22?t(2?t)2(t?4)24?t2(t2?4)2

?g(t)在(0,2)上单调递减，则g(t)?g(0)?0，

令x1?2?t，由f(x1)?f(x2)，得x2?2?t，则x1?x2?2?t?2?t?4， 当x2…4时，x1?x2?4显然成立，?对任意两个正实数x1，x2，且x2?x1， 若f(x1)?f(x2)，则x1?x2?4，故D正确． 故选：BD．

3．（2019秋?济宁期末）已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f?(x)，如图是函数y?xf?(x)的图象，则下列说法正确的是( )

A．函数f(x)的增区间是(?2,0)，(2,??) B．函数f(x)的增区间是(??,?2)，(2,??) C．x??2是函数的极小值点 D．x?2是函数的极小值点

【分析】根据题意，由函数y?xf?(x)的图象分析导函数的符号，进而可得f(x)的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，由函数y?xf?(x)的图象可知： 当x??2时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为增函数， 当?2?x?0时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为减函数， 当0?x?2时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为减函数， 当x?2时，xf?(x)?0，f?(x)?0，此时f(x)为增函数；

据此分析选项：函数f(x)的增区间是(??,?2)，(2,??)，则B正确，A错误； x??2是函数的极大值点，x?2是函数的极小值点，则D正确，C错误；

故选：BD．

14．（2019秋?漳州期末）定义在区间[?,4]上的函数f(x)的导函数f?(x)图象如图所示，则下列结论正确的

2是( )

A．函数f(x)在区间(0,4)单调递增

1B．函数f(x)在区间(?,0)单调递减

2C．函数f(x)在x?1处取得极大值 D．函数f(x)在x?0处取得极小值

【分析】结合函数的导数与单调性的关系及极值取得的条件对选项分别进行检验即可判断． 【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，

1x4时，f?(x)…当??x?0时，f?(x)?0，则函数单调递减，当0剟0，此时函数单调递增，

2故当x?0时，函数取得极小值，没有极大值， 故选：ABD．

5．（2019秋?临沂期末）已知函数f(x)?x?sinx?xcosx的定义域为[?2?，2?)，则( ) A．f(x)为奇函数 C．f(x)恰有4个极大值点

B．f(x)在[0，?)上单调递增 D．f(x)有且仅有4个极值点

【分析】先求出函数定义域，判断函数的定义域关于原点不对称，故可判断A；对函数求导，然后结合导数与单调性，极值的关系可对选项BCD进行判断． 【解答】解：因为f(x)的定义域为[?2?，2?)， 所以f(x)是非奇非偶函数，

又f?(x)?1?cosx?(cosx?xsinx)?1?xsinx，

当x?[0，?)时，f?(x)?0，则f(x)在[0，?)上单调递增． 显然f?(0)?0，令f?(x)?0，得sinx??1， x1分别作出y?sinx，y??在区间[?2?，2?)上的图象，

x由图可知，这两个函数的图象在区间[?2?，2?)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切， 故f(x)在区间[?2?，2?)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点．